巴特沃斯高通数字滤波器

1、 数字信号处理课程设计题目巴特沃斯高通数字滤波器老师陈忠泽老师学院电气工程学院班级电子信息工程0 81班学号20084470110姓名何依阳二0一一年五月目录:一、IIR数字高通滤波器的设计1、数字滤波器的概述2、数字滤波器的设计步骤3、设计方法4、IIR巴特沃斯数字高通滤波器的实例计算二、软件仿真工具及实现环境简介1、计算机辅助设计方法2、 MATLAB直接设计IIR巴特沃斯数字高通滤波器三、滤波器结构对数字滤波器性能指标的影响分析1、 IIR系统的基本网络结构(1直接型(2级联型(3并联型四、有限字长运算在网络结构中对数字滤波器的影响1 、运算量化效应对数字滤波器的影响2 、参数的字长对数

2、字滤波器性能指标的影响2.1 、系数量化对数字滤波器的影响五、运用MATLAB的辅助工具FDATOOL画出系统函数图像六、设计心得IIR 数字高通滤波器的设计一、IIR 数字高通滤波器的设计 1、数字滤波器的概述所谓数字滤波器,是指输入、输出均为数字信号,通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例,或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。2、 数字滤波器的设计步骤设计一个IIR 数字滤波器主要包括下面5个步骤: (1 确定滤波器要求的规范指标。(2 选择合适的滤波器系数的计算(如图一流程图所示。 (3 用一个适当的结构来表示滤波器(实现结构。 (4 有限字长效应对滤波器性能的影响分析。

3、(5 用软件或硬件来实现滤波器。本次设计的IIR 数字滤波器系数的计算是根据已知的模拟滤波器的特性转换到等价的数字滤波器。本次设计用双线性变换法得到数字滤波器。而且,双线性变换法得到的数字滤波器保留了模拟滤波器的幅度响应特性。确定数字巴特沃斯高通滤波器指标推导出归一化模拟巴特沃斯低通滤波器指计算出归一化模拟巴特沃斯低通滤波去归一化推导出模拟巴特沃斯高通滤波器双线性变换推导出数字巴特沃斯高通图一 流程图3 、设计方法频率变换法设计思想:1 、从归一化模拟低通原型出发,先在模拟域内经频率变换成为所需类型的模拟滤波器;然后进行双线性变换,由 S 域变换到 Z 域,而得到所需类型的数字滤波器。2 、先

4、进行双线性变换,将模拟低通原型滤波器变换成数字低通滤波器;然 后在 Z 域内经数字频率变换为所需类型的数字滤波器。4 、IIR 巴特沃斯数字高通滤波器的实例计算 (1设计要求设计一个巴特沃斯数字高通滤波器,要求通带截止频率0.32p = rad ,通带衰减不大于1dB,阻带截止频率0.16p =rad ,阻带衰减不小于15dB(2确定数字高通的技术指标:通带截止频率0.32p = rad ,通带最小衰减 1p a = dB阻带截止频率0.16p = rad ,阻带最大衰减 15s a = dB(3将巴特沃斯高通数字滤波器的技术指标转换成巴特沃斯高通模拟滤波器的设计指标:令T=2s ,预畸变校正

5、得到的模拟边界频率:1tan 0.5494/,12ph p p rad s dB =;1tan 0.2566/,152shs s rad s dB=。(4模拟低通滤波器的技术指标计算如下:对通带边界频率归一化,由于本设计的为1dB 截止频率,所以1,1p c p dB=把1p =和-sh 带入p phssh-=求得归一化巴特沃斯低通滤波器的阻带截止频率为:2.141p phs sh-= ,15s = dB(5设计归一化巴特沃斯模拟滤波器G (p 。30.622810.87571010.2589S Pspk -=-:2.141ssp p=:lg 3.1349lg sp spk N =:所以取N=

6、4,根据巴特沃斯归一化低通滤波器参数表(见附录可得归一化模拟低通原型系统函数G(p为:4321( 2.613 3.4142 2.61311G p p p p p =+221(0.76541( 1.84781p p p p =+ (6利用频率变换公式p p phs =将G(p转换成模拟高通(HP H s :p (p |p pha sH s G =4432234S +2.613S+3.4142S +2.6131S +S ph ph ph ph =把0.5494ph =代入此式可得:4234s s s s =+用双线性变换法将模拟高通(a H s 转换成数字高通(H z :令zz T S 11112

7、-+-=,1112341234z z z z H z H s z z z z -=+-+-+=-+-+二 、 软件仿真工具及实现环境简介 1、 计算机辅助设计方法在优秀科技应用软件MATLAB 的信号处理工具箱中提供了一整套模拟,数字滤波器的设计命令和运算函数,方便准确,简单容行使得设计人员除了可按上述传统设计步骤快速的进行较复杂高阶选频滤波器的计算、分析外,还可通过原型变换直接进行各种典型数字滤波器设计,即应用MATLAB 设计工具从模拟原型直接变换成满足原定频域指标要求有数字滤波器。2、 MATLAB 直接设计IIR 巴特沃斯数字高通滤波器MATLAB 编程如下: fs=5000; wp=

8、800*2/fs; ws=400*2/fs; rp=1; rs=15; Nn=128;N,wn=buttord(wp,ws,rp,rs b,a=butter(N,wn,'high' freqz(b,a,Nn,fsMATLAB 运算结果如下:N = 4 wn = 0.2388b = 0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647 a = 1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331 三、 滤波器结构对数字滤波器性能指标的影响分析 1 、 IIR 系统的基本网络结构IIR 系统的基本网络结构有三种,即直接型、级联型和并联型。(1

9、直接型N 阶差分方程如下:=-+-=Mi Ni i i i n y a i n x b n y 01(对应的系统函数为=-=-=Ni ii Mi i iz a z b z H 101(设M=N=2,按照差分方程可以直接画出网络结构如下图(a 所示。图中第一部分系统函数用(1z H 表示,第二部分用(2z H 表示,那么(21z H z H z H =,当然也可以写成(12z H z H z H =,按照该式,相当于将下图(a中两部分流图交换位置,如下图(b 所示。该图中节点变量w1=w2,因此前后两部分的延时支路可以合并,形成如下图 (c所示的网络结构流图,我们将下图 (c所示的这类流图称为I

10、IR 直接型网络结构。 M=N=2时的系统函数为2211221101(-+=z a z a z b z b b z H对照下图 (c的各支路的增益系数与(z H 分母分子多项式的系数可见,可以直接按照(z H 画出直接型结构流图。 IIR 网络直接型结构由bz 和az 写出数字滤波器系统函数:12341234-+-+有H (z 写出差分方程如下:( 2.0578(1 1.8545(20.7895(30.1331(4y n y n y n y n y n =-+-0.3647( 1.4587(1 2.1881(2 1.4587(30.3647(4x n x n x n x n x n +-+-+

11、-直接型网络结构如下图:直接型网络结构图在后面的分析中我们将发现,直接型系统对滤波器的性能控制作用不明显,极点对系数的变化不灵敏,易出现不稳定或较大误差,而且运算的累积误差较大。因此,在设计时一般不选用直接型。(2级联型级联型结构是将系统传递函数H(z写成具有实系数的二阶节的乘积。将分子和分母多项式分解为各自的根,然后将一对复数共轭根(或者任意两个实数根组合成二阶多项式。在直接型表示的系统函数H(z中,分子、分母均为多项式,且多项式的系z 1z -x(ny(n-1.85450.7895-0.1331-0.14582.18811.45870.3647z 1z -z 1z -z 1z-数一般为实数

12、。现将分子、分母多项式分别进行因式分解,得到:=-=-=Nr rMr rz dz C Az H 11111(1(上式中, A 是常数; Cr 和dr 分别表示H(z的零点和极点。由于多项式的系数是实数,Cr 和dr 是实数或者是共轭成对的复数,将共轭成对的零点(极点放在一起,形成一个二阶多项式,其系数仍为实数;再将分子、分母均为实系数的二阶多项式放在一起,形成一个二阶网络(z H j 。(z H j 如下式:2j 21j 12j 211j 0j j 1(-+=z a z a z z z H 上式中(z H j 表示一个一阶或二阶的数字网络的子系统函数,每个(z H j 的网络结构均采用前面介绍

13、的直接型网络结构,如下图所示,H(z则由k 个子系统级联构成。 一阶和二阶直接型网络结构级联型的MATLAB 的表示与实现:将数字滤波器系统函数H (z :12341234-+-+=-+-+用MATLAB 转换成级联型的程序如下:bz=0.3647 -1.4587 2.1881 -1.4587 0.3647; az=1.0000 -2.0578 1.8545 -0.7895 0.1331; S,G=tf2sos(bz,az freqz(bz,az说明:S,G=tf2sos(bz,az:实现直接型到级联型的变换。B 和A 分别为直接型系统函数的分子和分母多项式系数向量。返回L 级二阶级联型结构的

14、系数矩阵S 和增益常数G 。MATLAB 运算结果如下:S = 1.0000 -2.1807 1.1988 1.0000 -0.8976 0.2272 1.0000 -1.8190 0.8341 1.0000 -1.1602 0.5859 G = 0.3647由S 和G 写出数字滤波器级联型系统函数:1212-+-+=-+-+级联型网络结构如下图:级联型网络结构图在级联型结构中,每一级分子的系数确定一对零点,分母的系数确定一对极点,因为子网络的零极点也即整体网络的零极点,所以整个系统的零极点都可以准确的由每一级的系数来调整和控制,这样便于调整滤波器的频率响应性能,其灵敏度特性优于直接型和正准型

15、结构。其次,级联结构具有最少的存储器。并联-0.2961x(ny(n-0.8976-0.2272-2.18071.1988z 1z -z 1z-1.0003-0.123780.06189z 1z -z 1z -支路的极点也是整个网络的极点,而并联支路的零点却不是整个网络的零点,因此并联网络能独立的调整系统的极点位置,但不能控制零点。并联结构的灵敏度由于直接型和正准型,运算累积误差比级联型小。(3并联型如果将级联形式的H(z展成部分分式形式,则得到:(21z H z H z H z H k +=对应的网络结构为这k 个子系统并联。上式中,Hi(z通常为一阶网络或二阶网络,网络系统均为实数。二阶网

16、络的系统函数一般为22111101(-+=z z z z H i i i i i 式中,i 0、i 1、i 1和i 2i 都是实数。如果i 1=i 2=0,则构成一阶网络。由上式,其输出Y(z表示为(21z X z H z X z H z X z H z Y k +=上式表明将x(n送入每个二阶(包括一阶网络后,将所有输出加起来得到输出y(n。在并联型结构中,每一个一阶网络决定一个实数极点,每一个二阶网络决定一对共轭极点,因此调整极点位置方便,但调整零点位置不如级联型方便。另外,各个基本网络是并联的,产生的运算误差互不影响,不像直接型和级联型那样有误差积累,因此,并联形式运算误差最小。由于基本

17、网络并联,可同时对输入信号进行运算,因此并联型结构与直接型和级联型比较,其运算速度最高。四、有限字长运算在网络结构中对数字滤波器的影响 1 、 运算量化效应对数字滤波器的影响在实现数字滤波器时,将遇到相乘与求和运算。在定点制运算中,每一次乘法运算之后都要作一次舍入(或截留处理,研究定点实现相乘运算的流图如下图所示。图(a 表示无限精度乘积y(n;图(b 表示有限精度乘积(n y ,表示舍入运算。采用统计分析方法时,可以将舍入误差作为独立噪声e(n叠加在信号上,如图(c所示。(n x (n y a(n x (n y a(n y(n x a(n y(n ea 理想相乘b 实际相乘的非线性流图c 统

18、计模型的线性流图 定点相乘运算的流图表示显然,采用统计分析方法后,实际的输出可以表示为: (n e n y n y+=对于舍入处理,e(n的均值为零,方差为:1222q e=现在以一个一阶IIR 巴特沃斯数字高通滤波器为例来讨论分析方法。表示其输入与输出关系的差分方程为(1(n x n ay n y +-=, n 0式中|a|<1。它含有乘积项1(-n y a ,这将引入一个舍入噪声,其统计分析流图示于下图。 一阶IIR 滤波器的幅频特性整个系统可以当作线性系统来处理。输出噪声(n e f 是由噪声源e(n造成的输出误差,可由量化误差通过线性系统的方法求得输出噪声。由于e(n叠加在输入端

19、,因此(n u a n e n h n e n e n f *=*=式中h(n=anu(n是一阶系统的单位脉冲响应,由式=-=002222(m l m eefm h l m l h m h (2f为输出噪声方差和z dz z H z H j c ef(21122-=可求得输出噪声的方差=0222m me f a 式中H(z为一阶IIR 系统的传递函数,即a z zz H -=(有此可以求得1(321(12112222222a a q a bef-=-=-=-,(b q -=2,由此可见,字长b 越大,数字滤波器输出端的噪声越小。2 、参数的字长对数字滤波器性能指标的影响 2.1 、系数量化对数

20、字滤波器的影响系统对输入信号进行处理时需要若干参数或者称为系数,这些系数都要存储在有限位数的寄存器中,因此存在系数的量化效应。系数的量化效应误差直接影响系统函数的零、极点位置,如果发生了偏移,会使系统的频率响应偏移理论设计的频率响应,不满足实际需要。下面分析系数量化误差对极零点位置的影响。如果极零点位置改变了,严重时不仅IIR 系统的频率响应会发生变化,还会影响系统的稳定性。因此研究极点位置的改变更加重要。为了表示系数量化对极点位置的影响,引入极点位置灵敏度的概念,所谓极点灵敏度, 是指每个极点对系数偏差的敏感程度。相应的还有零点位置灵敏度,分析方法相同。下面讨论系数量化对极点位置的影响。 现

21、分析一个N 阶直接型结构的IIR 滤波器的传递函数(1(1z A z B z a z b z H Nk kk Mk k k=-=-=-上式表示了一个N 阶直接型结构的IIR 数字滤波器的系统函数,该滤波器的极点都在单位圆内聚集在z=1附近。系数ak 和bk 必须用有限位二进制数进行量化,存储在有限长的寄存器中,经过量化后的系数误差为ar 和br ,量化后的系数用r a 和r b ,即r r r a a a+= r r r b b b +=则实际的系统函数可表示为:=-=-=Nk k k Mk kk z az b z H101(显然,系数量化后的频率响应已不同于原来设计的频率响应。用直接型结构来

22、实现该滤波器时,系数ak 和bk 都将直接出现在信号流程图中,其中ak 影响着极点的位置。当由于系数量化误差使一个极点从单位圆内移动到单位圆上或单位圆外时,滤波器的稳定性即受到破坏。所以,只要有一个系数由于量化产生很微小的误差,就有可能使系统失去稳定。反馈支路的阶次N 越高,使滤波器失去稳定的系数量化误差的绝对值就越小,则越容易使滤波器变得不稳定。设滤波器的传输函数(z H ,系数ak 和bk 经舍入量化后为r r r a a a+=和r r r b b b +=,这里ar 和br 是量化误差。分母多项式有N 个极点,用ip (i=1,2, N 表示。这样,实际的滤波器的传输函数为:=-=-=

23、-=-+-=-=Ni Mk k kNk k k Mk kkz pi pi z b z azb z H 1110(11(上式中， pi 是第 i 个极点的偏差，称为极点误差，它应该和各个系数偏差都有 关，它和各系数偏差的关系用下式表示: p i = pi a k k =1 a k N pi pi a a pi 上式中， ak 的大小决定着系数 k 的偏差 k 对极点偏差 的影响程度。 ak pi a pi p 越大， k 对 影响也越大。称 ak 为极点 i 对系数变化的灵敏度。 MATLAB 五 、运用 MATLAB 的辅助工具 FDATOOL 画出系统函数图像 系统函数系数向量经过 1 位二

24、进制舍入量化前后幅频特性和相位响应 系统函数系数向量经过 4 位二进制舍入量化前后幅频特性和相位响应 系统函数系数向量经过 1 位二进制舍入量化前后零极点特性图 系统函数系数向量经过 4 位二进制舍入量化前后零极点特性图 由 MATLAB 运算 1 位和 4 位二进制舍入量化后结果可以看出，因为系数的量化， 使极点位置发生变化，系数量化的相对误差（p-pq）不到 10%，极点位置的相对 误差 ap 达到了 70%。问题不但是数量的变化，算一下极点的模，可以发现所有 根的模都变大了，说明量化后的极点离单位圆稍远一些，如系统函数系数向量经 过 1 和 4 位二进制舍入量化前后的零极点特性图如图（c）（d）所示。这致使数 、 字高通滤波器的幅频特性降低，运用 MATLAB 的辅助工具 FDATOOL 画出 1 位和 4 位量化墙后的幅频特性曲线分别如图（a）（b）中的实线和虚线所示，这说明由 、 于系数量化效应， 使极点位置发生了变化， 从而改变了原来设计的频率响应特性。 另外，我们还注意到 4 位二进制舍入量化