结构力学第8章位移法

1、第八章 位 移 法8-2 等截面直杆的转角位移方程8-3 位移法的基本未知量和基本结构8-4 位移法的典型方程及计算步骤8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程8-6 对称性的利用8-1 概述8-1 概 述力法是计算超静定结构的最基本方法。力法是计算超静定结构的最基本方法。当结构庞大复杂时，超静定次数很高，力法基本未知量当结构庞大复杂时，超静定次数很高，力法基本未知量多，求解力法基本方程困难，限制力法在分析大型结构多，求解力法基本方程困难，限制力法在分析大型结构中的应用。中的应用。位移法：以结点的位移(角位移和线位移）为基本未知量, 运用结点或截面的平衡条件建立位移法方程求出未知位移利用位移与

2、内力之间确定的关系计算相应的内力。力法与位移法是计算超静定结构的两种基本方法。 力法：以未知力为基本未知量,运用位移协调条件建立力法方程,求出未知力,计算出全部的内力和相应的位移。 在一定的外因作用下，线弹性结构的内力与位移之间存在确定的关系。可以先设定某些位移为基本未知量。一、位移法的提出一、位移法的提出8-1 概 述解题过程：解题过程：超静定结构超静定结构拆成基本结构拆成基本结构加上某些条件加上某些条件原结构的变形协调条件（力法基本方程）原结构的变形协调条件（力法基本方程）力法：力法：先求多余未知力先求多余未知力结构内力结构内力结构位移结构位移8-1 概 述位移法：位移法：先求某些结点位移

3、先求某些结点位移结构内力结构内力解题过程：解题过程：结构结构拆成单根杆件拆成单根杆件的组合体的组合体加上某些条件加上某些条件1.1.杆端位移协调条件杆端位移协调条件2.2.结点的平衡条件结点的平衡条件8-1 概 述8-1 概 述位移法位移法：先确定某些位移，再推求内力。：先确定某些位移，再推求内力。 图图a a所示刚架在荷载所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将结构分解如图结构分解如图b b、c c。思路思路：将结点：将结点1的角位移的角位移Z1 作为基本未知量，求作为基本未知量，求 出出Z1，进而求出各杆，进而求出各杆 内力。内力

4、。需解决的问题需解决的问题：（：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力下的内力 （2）确定哪些位移作为基本未知量）确定哪些位移作为基本未知量 （3）如何求出这些位移）如何求出这些位移8-2 等截面直杆的转角位移方程 图图a所示两端固定的等截面梁，所示两端固定的等截面梁，两端支座发生了位移。取基本结构如两端支座发生了位移。取基本结构如图图b。 X3对梁的弯矩无影响，可不考虑，对梁的弯矩无影响，可不考虑，只需求解只需求解X1、X2。符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正；符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正； 均以顺时针方向为正；均以顺时针

5、方向为正； AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。以使整个杆件顺时针方向转动为正。BA、力法典型方程为力法典型方程为BAXXXX22221211212111作作X1、X2分别等于分别等于1时的弯矩图如图时的弯矩图如图c、d。EIlEIlEIl63,321122211由图由图e可得可得lABAB21AB弦转角，顺时针方向为正。弦转角，顺时针方向为正。解典型方程得解典型方程得ABABABBAlEIlEIlEIXlEIlEIlEIX22216246248-2 等截面直杆的转角位移方程令令杆件的线刚度杆件的线刚度lEIi MAB=X1，MBA=X2，可得，可得固端弯矩固端弯矩 ：单跨梁在荷载作用及温度

6、变化时产生的：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的 杆端弯矩。杆端弯矩。FFBAABMM、ABABBAABBAABliiiMliiiM624624 当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时，当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时，其杆端弯矩为其杆端弯矩为FBAABABBAFABABBAABMliiiMMliiiM624624转角位移方程转角位移方程8-2 等截面直杆的转角位移方程对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B端为铰支，则有端为铰支，则有0624FBAABABBAMliiiM)213(21FBAABABMilB不是独立的不是独立的FFFF2

7、133BAABABABABAABMMMMliiM杆端弯矩杆端弯矩杆端剪力杆端剪力8-2 等截面直杆的转角位移方程AABABF1AB42ABBAMiMi 4i2iAB6i/lAB6 /SFi l 1AB6i/l6i/lAB12i/l2AB6 /6 /ABBAMi lMi l 212 /SFi l 8-2 等截面直杆的转角位移方程3iAB1AB3ABMi 3i/lAB3 /SFi l 3 /ABMi l 23 /SFi l 1AB3i/lAB3i/l2AB1ABiiABBAMiMi AB0SF AB8-2 等截面直杆的转角位移方程FF/ 2/ 2SABSBAFqlFql F2F2/12/12ABB

8、AMqlMql qql2/12ql2/12ql/2ql/2ABABABFPFP/8/8ABBAMF lMF l FPFP/ 2/ 2SABSBAFFFF FPFP l/8l/2l/2FP l/8FP/2FP/2ABABAB8-2 等截面直杆的转角位移方程lt1t2F0SF F12F12/ABBAMEItthMEItth ABABABqABql2/85ql/83ql/8ABABFF5/ 83/ 8SABSBAFqlFql F2/8ABMql 8-2 等截面直杆的转角位移方程FP3FP l/16l/2l/211FP/165FP/16ABFP3/16ABMF l FPFP11/165/16SABSB

9、AFF lFF l ABABlt1t2ABABAB 12F12F3232ABBAEIttMhEIttMh 1232FSEIttFhl 8-2 等截面直杆的转角位移方程qql2/3qlql2/6lABFF0SABSBAFqlF F2F2/3/6ABBAMqlMql ABABFPl/2l/23FPl/8FP l/8FPABABABFPFP3/8/8ABBAMF lMF l FPF0SABSBAFFF 8-2 等截面直杆的转角位移方程lFPFPl/2FPl/2FPt1t2lABFPFP/2/2ABBAMF lMF l FPSFF ABAB F12F12/ABBAMEItthMEItth 0FSF A

10、BABAB8-2 等截面直杆的转角位移方程利用前面的公式，单跨超静定梁的杆端内力可以利用单位杆端利用前面的公式，单跨超静定梁的杆端内力可以利用单位杆端位移引起的杆端力和荷载引起的杆端力的叠加而求得位移引起的杆端力和荷载引起的杆端力的叠加而求得单位杆端位移引起的杆端力相当于系数，乘以相应的杆端位移单位杆端位移引起的杆端力相当于系数，乘以相应的杆端位移就可表示杆端位移引起的杆端力。就可表示杆端位移引起的杆端力。642642FABABABABFBABAABBAiMiiMliMiiMl8-2 等截面直杆的转角位移方程8-3 位移法的基本未知量和基本结构前面已经提到前面已经提到结构内力结构内力杆件内力杆

11、件内力杆端位移杆端位移只要求得各杆端位移，就可求得结构内力只要求得各杆端位移，就可求得结构内力？有？有n根杆件，就有根杆件，就有nX3个杆端位移，有个杆端位移，有3n个未知量个未知量可将杆端位移作为基本未知量可将杆端位移作为基本未知量？能简化吗？能简化吗杆端与结点和支座相连，因此杆端位移与结点和支座的杆端与结点和支座相连，因此杆端位移与结点和支座的位移相等。位移相等。只需将未知的结点位移做为基本未知量。只需将未知的结点位移做为基本未知量。8-3 位移法的基本未知量和基本结构1、基本未知量、基本未知量：结点的角位移、线位移。：结点的角位移、线位移。结点角位移基本未知量数目=刚结点的数目。 注意：

12、在忽略的直杆的轴向变形时，受弯直杆两端之间的距离保持不变。 铰结点处(包括铰支座处的铰结点)的角位移，在计算杆端弯矩时不独立，一般不选作基本未知量。（1）确定独立的结点角位移8-3 位移法的基本未知量和基本结构图图a所示刚架独立结点角位移数目为所示刚架独立结点角位移数目为2（2）确定独立结点线位移的方法）确定独立结点线位移的方法 观察法、换铰法观察法、换铰法观察法略去受弯杆件的轴向变形略去受弯杆件的轴向变形，设弯矩变形是微小的。，设弯矩变形是微小的。如图如图a， 4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖向位移。点均无竖向位移。两根横梁长度不变。因而，

13、两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的平位移。点有相同的平位移。独立结点线位移数目为独立结点线位移数目为1。8-3 位移法的基本未知量和基本结构确定独立的结点线位移另种一方法确定独立的结点线位移另种一方法-换铰法换铰法。把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点铰结体系铰结体系，如图，如图b。（1）如果铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。）如果铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。（2）如果铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几）如果铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变，添加的链杆数目既是原结构独立的结点

14、线位移数目。如图何不变，添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加加1个水平支座链杆，体系成为几何不变的。个水平支座链杆，体系成为几何不变的。1 1个独立的线位移个独立的线位移8-3 位移法的基本未知量和基本结构8-3 位移法的基本未知量和基本结构附加刚臂附加刚臂： 阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。附加支座链杆附加支座链杆：阻止结点的线位移。：阻止结点的线位移。只控制结点沿某一方向的移动，只控制结点沿某一方向的移动，不控制结点转动。不控制结点转动。 图图a所示刚架，在刚结点所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点处分别加上刚臂

15、，在结点3处加上一根处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的基本结构基本结构。如图。如图c。2、基本结构、基本结构8-3 位移法的基本未知量和基本结构图图a所示刚架，结点所示刚架，结点角位移数目角位移数目=4（注意结点（注意结点2） 结点结点线位移数目线位移数目=2加上加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。8-3 位移法的基本未知量和基本结构图图a所示刚架，结点所示刚架，结点线位移数目线位移数目=2图图

16、b所示刚架，结点所示刚架，结点角位移数目角位移数目=2 结点结点线位移数目线位移数目=2特例：特例：1、（、（1）考虑轴向变形）考虑轴向变形（2）受弯曲杆）受弯曲杆8-3 位移法的基本未知量和基本结构特例：特例：2、无限刚性杆件、无限刚性杆件8-3 位移法的基本未知量和基本结构桁架桁架 例：确定图例：确定图a a所示连续梁的基本结构。所示连续梁的基本结构。基 本 结 构BCDAABCD（图图a）基 本 结 构ABCDABCD（图图b） 在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。及其数目。 8-3 位移法的基本未知量和基本结构8-3 位移法的基

17、本未知量和基本结构8-3 位移法的基本未知量和基本结构8-3 位移法的基本未知量和基本结构8-3 位移法的基本未知量和基本结构8-3 位移法的基本未知量和基本结构8-3 位移法的基本未知量和基本结构I2I1 EI8-3 位移法的基本未知量和基本结构8-3 位移法的基本未知量和基本结构8-3 位移法的基本未知量和基本结构（1）铰接处的弯矩为零，故铰处角位移不作为基本未知量（因为是非独立量）（2）弯曲刚度无穷大杆件两端的转角不需作为基本未知量，当柱子平行且承受水平荷载作用时，结点处不产生转动，即结点转角为零。（3）静定部分可由平衡条件求出其内力，故该部分结点处的角位移和线位移不需作为基本未知量。结

18、点角位移：结点角位移：1 1个刚结点个刚结点=1=1个结点角位移未知数目个结点角位移未知数目结点线位移：将原结构改变为铰接体系，用附加链杆方结点线位移：将原结构改变为铰接体系，用附加链杆方法使该铰接体系成为几何不变体系，最少所加链杆数目法使该铰接体系成为几何不变体系，最少所加链杆数目即结点线位移未知数目即结点线位移未知数目8-4 位移法的典型方程及计算步骤 图图a所示连续梁（所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点。在结点B加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移构相同的角位移

19、Z1，二者的位移完全一致了。，二者的位移完全一致了。1. 无侧移梁和刚架无侧移梁和刚架8-4 位移法的典型方程及计算步骤基本结构在荷载和基本结构在荷载和Z1共同作用下的体系称为共同作用下的体系称为基本体系基本体系，如图，如图b。8-4 位移法的典型方程及计算步骤附加刚臂上的反力矩附加刚臂上的反力矩R1=R11（Z1引起的）引起的）+R1P（荷载引起的）（荷载引起的）原结构没有附加刚臂，即不存在该反力偶，所以：原结构没有附加刚臂，即不存在该反力偶，所以：R1=R11+R1P=08-4 位移法的典型方程及计算步骤设设r11表示表示Z1=1引起的附加刚臂上的反力矩，所以：引起的附加刚臂上的反力矩，所

20、以：R11=r11Z1。可得可得0P1111 RZr位移法基本方程位移法基本方程系数系数自由项自由项作作11Z及荷载作用下的弯矩图，如图及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。由由a图，取结点图，取结点B为隔离体，由为隔离体，由MB=0，可得，可得r11=3i+3i=6i由由b图，取结点图，取结点B为隔离体，由为隔离体，由MB=0，可得，可得R1P=-24kNmm8EIi 8-4 位移法的典型方程及计算步骤将将 r11和和R1P代入方程求出代入方程求出irRZmkN411P11结构的最后弯矩图由叠加法绘制结构的最后弯矩图由叠加法绘制P11MMZM8-4 位移法的典型方程及计算步骤a图所示刚架，图所示

21、刚架，13杆和杆和24杆有侧移产生。基本体系如图杆有侧移产生。基本体系如图b。2. 有侧移梁和刚架有侧移梁和刚架8-4 位移法的典型方程及计算步骤由图由图c、d、e可得可得002P222121P12111RRRRRRRR8-4 位移法的典型方程及计算步骤002P2221211P212111RZrZrRZrZrr11、r12分别表示分别表示Z1=1、Z2=1引起的刚臂上的反力矩。引起的刚臂上的反力矩。r21、r22分别表示分别表示Z1=1、Z2=1引起的链杆上的反力。可得引起的链杆上的反力。可得位移法典型方程位移法典型方程物理意义物理意义基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每基本结构在

22、荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。原结构的静力平衡条件原结构的静力平衡条件8-4 位移法的典型方程及计算步骤对于具有对于具有n个独立结点位移的结构，可建立个独立结点位移的结构，可建立n个方程如下个方程如下000nP11P111P11111RZrZrZrRZrZrZrRZrZrZrnnnininininiiiinnii主系数：主斜线上的系数主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。，或称为主反力，恒为正值。典型方程典型方程副系数：其他系数副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负

23、或零。或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji。每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩结构的结构的刚度系数；刚度系数；位移法典型方程位移法典型方程结构的结构的刚度方程；刚度方程；位移法位移法刚度法。刚度法。8-4 位移法的典型方程及计算步骤为求系数和自由项，绘弯矩图如图为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。lir621ir711lir61222215lir8P1FlR2P2FR8-4 位移法的典型方程及计算步骤将系数和自由项代入典型方程并求解，可得将系数和自由项代入典型方程并求解，可得iFlZiFlZ22155222，5529结构的最后弯矩图可

24、由叠加法绘制：结构的最后弯矩图可由叠加法绘制：P2211MZMZMM内力图校核同力法，略。内力图校核同力法，略。8-4 位移法的典型方程及计算步骤位移法计算步骤位移法计算步骤（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加 联系得到联系得到 基本结构。基本结构。（2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均 应等于零。应等于零。（3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由 平衡条件求系数和自由项。平衡条件求系数

25、和自由项。（4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。（5）绘制最后弯矩图：用叠加法。）绘制最后弯矩图：用叠加法。PMZMZMZMMnn2211思考：位移法能用于计算静定结构吗？思考：位移法能用于计算静定结构吗？ 能！凡是具有未知结点位移的结构能！凡是具有未知结点位移的结构, , 不管是静定不管是静定或是超静定或是超静定, , 都可以用位移法求解。位移法比较适宜都可以用位移法求解。位移法比较适宜于编制通用计算程序于编制通用计算程序 , ,进行大规模的工程计算。进行大规模的工程计算。8-4 位移法的典型方程及计算步骤 解：解：(1) 确定基本未

26、知量，确定基本未知量，结点结点B的角位移的角位移Z1。9kN/mABC80kN6m3m3m例例 用位移法计算图用位移法计算图示的连续梁的内力。示的连续梁的内力。EI=常数。常数。CBA基 本 结 构 (2) 建立基本结构，得到基建立基本结构，得到基本体系。本体系。(3) 建立位移法典型方程。建立位移法典型方程。0P1111 RZr8-4 位移法的典型方程及计算步骤（4）计算系数和自由项。）计算系数和自由项。 令令 ，做出做出 图图 6EIi 1MCABiZ =M 112i3i41图11k34iiB 由隔离体由隔离体结点结点B的力矩平衡条件的力矩平衡条件MB=0 ，得，得 iiir734118-

27、4 位移法的典型方程及计算步骤9kN/m80kN/mBCAM (mkN 图)90752727P作出作出MP图（查表）图（查表）BR27901P09027P1RmkN63P1R 由由MB=0 取结点取结点B B为隔离体，为隔离体，将系数将系数r11和自由项和自由项R1P代入位移法方程，解代入位移法方程，解得得iirRZ976311P11(5) 解算位移法方程，解算位移法方程，8-4 位移法的典型方程及计算步骤mkN 9ABMmkN 36BAMmkN 36BCM12088.596340.5M(kN m)图(6) 作内力图。作内力图。759kN/m9080kN/m27ABC27M P 图kN()m注

28、意注意: :杆端弯矩顺时针为杆端弯矩顺时针为正。但弯矩图仍画在杆正。但弯矩图仍画在杆件纤维受拉一侧。件纤维受拉一侧。 按叠加法根据按叠加法根据P11MZMM计算杆端弯矩计算杆端弯矩. .P19MMiMCABiZ =M 112i3i41图8-4 位移法的典型方程及计算步骤8-4 位移法的典型方程及计算步骤例例8-1 试用位移法求图试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。常数。解：结构的基本未知量：结点解：结构的基本未知量：结点B的角位移的角位移Z1、 竖向位移竖向位移Z2，基本体系如图，基本体系如图b。 典型方程为典型方程为002P2221211P212

29、111RZrZrRZrZrlEIi 设设则则iAB=3i，iBC=i绘弯矩图绘弯矩图c、d、e。取结点取结点B处的隔离体。处的隔离体。ir1611lir12218-4 位移法的典型方程及计算步骤22248lirlir12120P1RFRP2代入典型方程解得代入典型方程解得iFlZiFlZ39，52221由由P2211MZMZMM8-4 位移法的典型方程及计算步骤例例8-2 求图求图a所示刚架的支座所示刚架的支座A产生转角产生转角 ，支座，支座B产生竖向位移产生竖向位移 。试用位移法绘其弯矩图，。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。为常数。l43解：刚架的基本未知量：结点解：刚架的基本未知量：结点C

30、的角位移的角位移Z1，基本体系如图，基本体系如图b。 典型方程为典型方程为01111RZrlEIi 设设iiAC则则38iiBC8-4 位移法的典型方程及计算步骤绘弯矩图绘弯矩图c、d。取结点。取结点C为隔离体。为隔离体。ir1211iR61代入典型方程解得代入典型方程解得21111rRZ由由MZMM1101111PRZr分析图示结构，画弯矩图。分析图示结构，画弯矩图。 AB和和CEF部分关于部分关于弯矩是静定的，考虑相应弯矩是静定的，考虑相应的约束作用，可以简化为的约束作用，可以简化为图图b的计算简图。的计算简图。r11R1P711r4230121PR67421ZPMZMM11【例题例题】试

31、做图示刚架的弯矩图。试做图示刚架的弯矩图。4m10kNm2EI4m20kN/m40kN2EIEIEI2m2m基本结构基本结构Z1Z2解解（2）建立位移法方程）建立位移法方程1111221P2112222P00r Zr ZRr Zr ZR （1）选择基本结构）选择基本结构2M图图r12r2221Z r11=12ir114i8i1M图图r1111Z r21r21=4ir214i8i4i4i2i4i8i4i6i2ir12=4ir114ir22=18i8i4i6ir22(3)求系数和自由项，解方程求系数和自由项，解方程R1PR2PMP图图1026.7R2P1026.73026.7R1P=-36.7R2

32、P3026.7R2P=-3.3123.24/0.534/ZiZi 将系数和自由项代入方程，解得将系数和自由项代入方程，解得（4）利用叠加原理，做弯矩图）利用叠加原理，做弯矩图35.52.9M图图136.52.11结点集中力偶不影响结点集中力偶不影响MP图图, 但影响但影响F1P。EI1=EI1=iiiillFPFP【例题例题】试做图示刚架的弯矩图。试做图示刚架的弯矩图。解解（2）建立位移法方程）建立位移法方程1111221P2112222P00r Zr ZRr Zr ZR 2Z1Z基本结构基本结构（1）选择基本结构）选择基本结构11Z r11r211M图图6i/l6i/lr11= 24i/l

33、212i/l 212i/l 2r21=- 24i/l 212i/l 212i/l 2(3)求系数的自由项求系数的自由项12i/l 212i/l 2r22=48i/l 212i/l 212i/l 2r12= -24i/l 212i/l 212i/l 221Z r12r226i/l6i/l6i/l2M图图R1P=-FPFPFPR2P=-FP将系数和自由项代入方程将系数和自由项代入方程,解得解得22PP1232412F lF lZZii(5) 利用叠加法作出弯矩图利用叠加法作出弯矩图P/4F lP/4F lP/2F lP/2F lM图图R1PR2P6i/lFPFPMP图图结点集中力不影响结点集中力不

34、影响MP图图(MP=0) , 但影响但影响F1P。1122PMM ZM ZM01111PRZr利用对称性取利用对称性取1/4结构计算结构计算11rPR1ir6111221qlRPiqlZ7221PMZMM11典型方程为典型方程为002P2221211P212111RZrZrRZrZrr11r21r12r222511rR1PR2P222r212112 rr801PR1202PR35.711Z84.772ZPMZMZMM22118-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 图图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1的转角的转角Z1，结点，结点1

35、、2的水平位移的水平位移Z2。如图如图b，由结点，由结点1的力矩平衡条件的力矩平衡条件M1=001312 MM如图如图c，由隔离体的投影平衡条件，由隔离体的投影平衡条件Fx=0042S13S FF设设Z1为顺时针方向，为顺时针方向，Z2向右，可得向右，可得11221133864iZMFlZliiZM2212S22113S32126ZliFFZliZliF由平衡条件可得由平衡条件可得02156086722121FZliZliFlZliiZZ1、Z2各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程q=20kN/mA4m4m6m5m4mBC

36、DEF4I05I04I03I03I0【例题例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。相同。B点顺时针转角位移点顺时针转角位移Z1（1）基本未知量）基本未知量C点顺时针转角位移点顺时针转角位移Z2解解20111420 43334048FBABABAEIMi ZMZZ 1212424241.7FBCBCBCBCMiZiZMZZ （2）写出杆端弯矩）写出杆端弯矩设设EI0=1q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I01212242441.7FCBBCBCCBMiZiZMZZ 2233CDCDMiZZ1143BEBEMiZZ1121.5EB

37、EBMiZZ q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I02242CFCFMiZZ 222FCFCMiZZ（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量）建立隔离体平衡方程，求基本未知量0BABEBCMMM121021.70(a)ZZ 解（解（a）和（）和（b），得），得121.154.89ZZ BAMBEMBCMB0CBCFCDMMM CBMCFMCDMC122941.70(b)ZZ （4）求杆端弯矩）求杆端弯矩43.5kNmBAM 46.9kNmBCM 24.5kNmCBM 14.7kNmCDM 3.4kNmBEM 1.73kNmEBM 9.78kNmCFM 4.

38、89kNmFCM 3.443.546.91.74.899.824.514.7M图图(kNm)（5）按照区段叠加法）按照区段叠加法 作出弯矩图作出弯矩图2 2 有侧移结构有侧移结构C、B点水平位移点水平位移1【解解】（1）基本未知量）基本未知量（2）杆端弯矩）杆端弯矩2113/3/8FACACACqlMilMil 113/3/BDBDMilil 由杆端弯矩求得杆端剪力由杆端弯矩求得杆端剪力2133/8SCAqlFil 213/SCAFil 试做图示刚架的弯矩图。各杆试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。相同。AE1A=lBCDqii【例题例题】（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量）建立隔离体平衡方

39、程，求基本未知量FSCAFSDB0SCASDBFF2136/08qlil 31348qli （4）求杆端弯矩）求杆端弯矩2516ACqlM 2316BDqlM 2516ql2316qlM图图有侧移的题一定用到由弯矩求剪力有侧移的题一定用到由弯矩求剪力（5）按照区段叠加法）按照区段叠加法 作出弯矩图作出弯矩图8-6 对称性的利用 图图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作用下只有正对称的基本未知量，如图用下只有正对称的基本未知量，如图b。在反对称荷载作用下只有反对称的基。在反对称荷载作用下只有反对称的基本未知量，如图

40、本未知量，如图c。图图b利用对称性简化为图利用对称性简化为图d。图图c利用对称性简化为图利用对称性简化为图e。用位移法求解用位移法求解用力法求解用力法求解8-6 对称性的利用 图图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正（反）对称所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正（反）对称荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图b、c。荷荷 载载位移法基本未知量数目位移法基本未知量数目力法基本未知量数目力法基本未知量数目正对称正对称3（采用）（采用）6反对称反对称63（采用）（采用）8-6 对称性的利用例例8-3 试计算图试计算图a所示弹性支承连

41、续梁，弹性支座刚度所示弹性支承连续梁，弹性支座刚度 梁的梁的EI=常数。常数。3m10EIk 解：这是一个对称结构承受正对称荷载解：这是一个对称结构承受正对称荷载 取一半结构如图取一半结构如图b，基本体系如图，基本体系如图c00P2222121P1212111RZrZrRZrZr典型方程为典型方程为8-6 对称性的利用绘弯矩图绘弯矩图d、e、g。m10611EIr 322m1000112EIr22112m1006EIrrkN06mkN1002PP1RR解得解得EIZEIZ3221m60.4kN6m32.7kN2由由P2211MZMZMM8-7 有侧移的斜柱刚架 图图a所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。A、D是不动的。是不动的。B点：当位移很小时，在垂直点：当位移很小时，在垂直AB方向上运动。方向上运动。C点：点：BC杆平移至杆平移至BC，CC=BB。 C在垂直在垂直BC方向上运动，方向上运动， 作作CC垂直于垂直于BC。 同理，作同理，作CC垂直于垂直于DC。 CC与与CC的交点的交点C即即C位移后的位置。位移后的位置。在图在图b中任选一点中任选一点O为不动点为不动点极点，极点，AD与与O重合。重合。作作OB垂直于杆垂直于杆AB；过；过B作杆作杆BC的垂线；过的垂线；过O