结构力学(ch5力法)

1、主主 要要 内内 容容51 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数52 力法的基本概念力法的基本概念53 超静定刚架和排架超静定刚架和排架54 超静定桁架和组合结构的力法计算超静定桁架和组合结构的力法计算55 对称结构的计算对称结构的计算56 两两 铰铰 拱拱 58 超静定结构的位移计算和力法计超静定结构的位移计算和力法计 算的校核算的校核 57 支座移动和支座移动和 温度变化时的计算温度变化时的计算一、超静定结构的概念一、超静定结构的概念其反力和内力其反力和内力只凭静力平衡方程只凭静力平衡方程不能确定或不能完不能确定或不能完全确定全确定的结构称为的结构称为超静定结构。超静定

2、结构。 1.从支座反力和内力是否静定看从支座反力和内力是否静定看静定结构静定结构:反力和内力静定反力和内力静定,即反力和内即反力和内 力可以由静力平衡条件唯一力可以由静力平衡条件唯一 地确定地确定.超静定结构超静定结构:反力和内力不静定反力和内力不静定.2. 从几何构造的角度从几何构造的角度(是否有多余约束是否有多余约束)：静定结构静定结构:几何几何不变、无不变、无多余约束。多余约束。超静定结构：几何超静定结构：几何不变、有不变、有多余约束多余约束。静定结构：静定结构：几何可变体系几何可变体系超静定结构：超静定结构：几何不变体系几何不变体系去掉一约束去掉一约束去掉一个或几个约束去掉一个或几个约

3、束结论结论：超静定结构超静定结构基本特征：基本特征：约束有多余约束有多余反力、内力超静定反力、内力超静定超静定结构：超静定结构：外部超静定结构（如图外部超静定结构（如图b、c、d)内部超静定结构内部超静定结构 ( 如图如图a ) 1. 超静定梁超静定梁 2. 超静定刚架超静定刚架 3. 超静定桁架超静定桁架 4. 超静定拱超静定拱 5. 超静定组合结构超静定组合结构 6. 铰结排架铰结排架3、超静定结构的特点、超静定结构的特点 （1）其反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。）其反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完全确定。 （2）除荷载之外，支座移动、温度改变、制造误差等均引起

4、内力。）除荷载之外，支座移动、温度改变、制造误差等均引起内力。 （3）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。 （4）局部荷载对结构影响范围大，内力分布均匀。）局部荷载对结构影响范围大，内力分布均匀。 二、超静定结构的类型二、超静定结构的类型三、超静定次数（三、超静定次数（ degree of indeterminacy）的确定）的确定2、确定超静定次数得方法、确定超静定次数得方法1、超静定次数、超静定次数 i 指结构中指结构中多余约束的个数多余约束的个数或或多余力的个数。多余力的个数。几何组成角度几何组成角度静力分析角度静力分析角度（1）从几何构造角度：

5、）从几何构造角度：可通过可通过去掉多余约束去掉多余约束来判定来判定原结构原结构去掉去掉n个约束个约束静定结构静定结构n次次超静定结构超静定结构( )=多余约束数多余约束数把原结构变成静定结构时所需撤掉的约束数。把原结构变成静定结构时所需撤掉的约束数。i = - w = b-2j = (3g + 2hb) 3m由由16节知：节知：（2）从静力分析角度）从静力分析角度 未知力的个数平衡方程的个数未知力的个数平衡方程的个数 超静定次数超静定次数等于等于根据平衡方程计算未知力时所缺少的方程个数根据平衡方程计算未知力时所缺少的方程个数= 多余未知力个数多余未知力个数（52）3、去掉约束的方法、去掉约束的

6、方法（1）去掉一根去掉一根支座链杆支座链杆或切断一根或切断一根链杆链杆，相当于去掉，相当于去掉一个约束一个约束。 （2）去掉一个去掉一个铰支座铰支座或一个或一个简单铰简单铰，相当于去掉，相当于去掉两个两个约束。约束。（3）去掉一个去掉一个固定支座固定支座或切断一根或切断一根梁式杆梁式杆，相当于去掉，相当于去掉三个三个约束。约束。（4）将将固定固定支座改为支座改为铰铰支座或将支座或将刚结刚结改为改为单铰单铰联结，联结， 相当于去掉相当于去掉一个一个约束。约束。注意：注意：(5). 不能将原结构拆成一个几何可变体系，即不能将原结构拆成一个几何可变体系，即 只能只能拆多余约束，不能拆必要约束。拆多余

7、约束，不能拆必要约束。(6). 全部多余约束全部多余约束都都拆掉。拆掉。此外此外, 对对闭合图形组成的结构闭合图形组成的结构设结构由设结构由k个闭合图形构成个闭合图形构成,暂不考虑支座情况暂不考虑支座情况,则此结构的则此结构的内部超静定次数为内部超静定次数为:i内内k对同一超静定结构，去掉多余约束的方案有多种，因而所对同一超静定结构，去掉多余约束的方案有多种，因而所得的静定结构就有多种形式，但必须是得的静定结构就有多种形式，但必须是几何不变几何不变，某些约，某些约束是束是绝对不能去掉绝对不能去掉的的结论结论: 任何任何闭合的平面图形闭合的平面图形(格子或环格子或环)都是都是 三次内部三次内部超

8、静定超静定图图1图图2例例1：求图示桁构式桥架结构的超静定次数：求图示桁构式桥架结构的超静定次数i。i = - w = (3g + 2hb) 3m= (3 0 + 2 313) 3 1811解解：例：求图示框架结构的超静定次数例：求图示框架结构的超静定次数i解一解一：i内内k k又结构支座链杆数又结构支座链杆数b = 9，使结构稳定只需使结构稳定只需b = 3修正修正i内内，得：，得：i i内内(9-3)15解二：解二：i = - w = (3g + 2hb) 3m= (3 + 2 ) 3 151234567四、超静定结构的计算方法四、超静定结构的计算方法力力 法法(Force method)

9、 位移法位移法(Displacement method) 以超静定结构中的多余未知力（反力或内力）作以超静定结构中的多余未知力（反力或内力）作为基本未知量，根据结构的变形协调条件建立力为基本未知量，根据结构的变形协调条件建立力法正则方程，解出基本未知量后即可由平衡方程法正则方程，解出基本未知量后即可由平衡方程解出全部支反力和内力。由于力法方程中的系数解出全部支反力和内力。由于力法方程中的系数是柔度，故力法又称是柔度，故力法又称“柔度法柔度法”(Flexibility method)以超静定结构中的结点位移（线位移或角位移）以超静定结构中的结点位移（线位移或角位移）作为基本未知量，根据结点或截面

10、的平衡条件建作为基本未知量，根据结点或截面的平衡条件建立位移正则方程，解出基本未知量后即可由结点立位移正则方程，解出基本未知量后即可由结点位移与内力的关系式求出相应的杆内力，并用平位移与内力的关系式求出相应的杆内力，并用平衡方程解出全部支反力和内力。由于位移法方程衡方程解出全部支反力和内力。由于位移法方程中的系数是刚度，故力法又称中的系数是刚度，故力法又称“刚度法刚度法”(Stiffness matrix)力矩分配法力矩分配法(Method of moment distribution)、迭、迭代法、矩阵位移法代法、矩阵位移法(Matrix displacement method)力法的力法的

11、基本未知量基本未知量 (primary unknown of force method)一、力法基本原理一、力法基本原理5. 2 力法的基本概念力法的基本概念力法力法实质实质：以多余未知力作为基本未知量，根据原超静：以多余未知力作为基本未知量，根据原超静定结构的变形条件来求出多余未知力定结构的变形条件来求出多余未知力静定问题静定问题超静定问题超静定问题过渡过渡新问题新问题图（图（a）:四个支座反力，用静力平四个支座反力，用静力平衡方程无法全部求得衡方程无法全部求得图（图（b）:三个支座反力，用静力平衡三个支座反力，用静力平衡方程全部求得方程全部求得ql图（图（a）AB图（图（b）qABX1称为

12、称为力法的基本未知量力法的基本未知量(primary unknown of force method)新问题新问题: : 计算多余约束处的计算多余约束处的多余未知力多余未知力解超静定问题的关解超静定问题的关键键ql图（图（a）ABx1图（图（b）qAB力法的力法的基本体系基本体系(primary system of force method)原超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构原超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构 称为称为力法的基本体系，简称静定基力法的基本体系，简称静定基 (primary system of force method) 静定问题静定问题超静定问题超静定问题过渡过渡媒

13、介？媒介？静定基与原结构的静定基与原结构的区别区别:仅以多余未知力仅以多余未知力X1代替了代替了相应的多余约束。相应的多余约束。桥梁静定基即：即：X1由由被动力被动力( (原结构原结构) ) 主动力主动力( (静定基静定基)x1图（图（b）静定基）静定基qABql图（图（a）原结构）原结构AB力法的力法的基本方程基本方程(basic equation of force method)显然，显然， X1不能利用平衡方程求得，不能利用平衡方程求得， 必须补充新的方程。必须补充新的方程。静定基静定基原超静定结构原超静定结构过渡过渡必须确定必须确定X1 的值的值x1图（图（b）静定基）静定基qABql

14、图（图（a）原结构）原结构AB原结构中：原结构中：为主动力，为主动力，1X10 当当 时，静定基中的变力时，静定基中的变力 超静定结构中常量超静定结构中常量1X比较：比较：静定基中：静定基中：1X为被动力为被动力， 10 相应的位移相应的位移是固定值，是固定值，是可变量，若是可变量，若 过大时过大时B处上凸处上凸1X若若 过小时过小时B处下陷处下陷1X此时，静定基才真正转化为原超静定结构此时，静定基才真正转化为原超静定结构x1图（图（b）静定基）静定基qABql图（图（a）原结构）原结构ABx1BB静定基沿多余未知力静定基沿多余未知力 方向的位移方向的位移1X1应与原结构相应位移相同，应与原结

15、构相应位移相同， 即：即：10 此此，也是计算未知力也是计算未知力 所需的补充方程。所需的补充方程。称称(basic equation of force method)1Xx1图（图（b）静定基）静定基qAB静定基静定基qx1x1q1P11ql原结构原结构x1=1 11根据叠加原理：根据叠加原理：11110p 则：则：11111X有有111111X 所以所以 11110pX10 若：若：11X (basic equation of force method)(canonical equation of force method)基本方程为基本方程为:系数系数自由自由项项力法计算分析力法计算分析

16、111,p分别为基本体系（静定基）在已知外力作分别为基本体系（静定基）在已知外力作用下的位移。用下的位移。由基本方程：由基本方程：11110pX求求 之前需计算之前需计算111,p1X上一章，已学过求解静定结构位移的上一章，已学过求解静定结构位移的单位荷载法单位荷载法。真实荷载：真实荷载：212pMqx虚拟单位荷载：虚拟单位荷载：P1MX 241113()3 248ppM MqllqldxlEIEIEI 虚拟力：虚拟力：在产生位移方向加单位荷载在产生位移方向加单位荷载ql/22MP图图x1=1lMl图图341038lqlXEIEI代公式：代公式：138Xql223111122 33Mlllds

17、EIEIEI X1求出后，其余的反力、内力均为静力问题，求出后，其余的反力、内力均为静力问题，计算略。计算略。x1=1lMl图图223()()828AqlqlqlMl 上侧受拉绘制弯矩图，可利用已绘出的绘制弯矩图，可利用已绘出的 和和 图叠加。图叠加。1MpM根据叠加原理根据叠加原理即，即，将将 图的竖标乘以图的竖标乘以 倍，再与倍，再与 图的对应竖标相加。图的对应竖标相加。1M1XpMAx1=1lMl图图ql/22MP图图 同理：同理：Q = Q1X1+ QPN = N1X1+ NPM图图ql /82ql /82Q图图5ql/83ql/8上述计算内力的方法，称为上述计算内力的方法，称为力法力

18、法(force method)。Q1M1 N1静定基在静定基在“i状态状态”下任一截面产生的内力下任一截面产生的内力MP QP NP 静定基在静定基在“P状态状态”下同一截面产生的内下同一截面产生的内力力整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，整个计算过程自始至终都是在基本结构上进行的，超静定结构计算超静定结构计算 静定结构计算静定结构计算力法基本特点：力法基本特点：以以多余未知力多余未知力为为基本未知量基本未知量，撤去与之相应的，撤去与之相应的多余约束，施加相应的多余未知力得到多余约束，施加相应的多余未知力得到静定基静定基，然后再由多余约束处的然后再由多余约束处的变形条件变形条件（位移条

19、件）建（位移条件）建立立力法正则方程力法正则方程，求出多余未知力，其后的计算，求出多余未知力，其后的计算与静定结构相同与静定结构相同基本结构基本结构qx1试选取另一基本结构求解：试选取另一基本结构求解：Aql原结构原结构EIB0 xp1111EIllEI3)312()21(111 EIqllqllEIP24)21()832(1321 2111181qlxp 解：解：力法方程力法方程式中：式中：ql/85ql/8M图图2ql/82Q图图3ql/8x1=11Ml图图ql/82MP图图基本结构基本结构qx121ql原结构原结构EI如图三次超静定结构，如图三次超静定结构，用力法分析时，需去掉三个多余约

20、用力法分析时，需去掉三个多余约束。设去掉固定支座束。设去掉固定支座B，得到静定，得到静定基。基。用相应的多余未知力用相应的多余未知力 、 和和 代替去掉的约束作用。且：代替去掉的约束作用。且：1X2X3X123000二、多次超静定结构的力法方程及其矩阵形式二、多次超静定结构的力法方程及其矩阵形式P1P2(a)原结构原结构AB(b)基本结构基本结构P1P2x1x3x2BA(a)原结构原结构(b)基本结构基本结构x1x2x3P1P1P2P2P1P2qqq 11 21 31 12 22 32 13 23 331P2P3Px1=1x2=1x3=1 X1 X2 X3图图(c)图图(d)图图(e)图图(f

21、) B点沿方向的位移分别为：点沿方向的位移分别为： 和和1X111213、1p方向的位移分别为：方向的位移分别为： 和和2X212223、2p方向的位移分别为：方向的位移分别为： 和和3X313233、3p根据叠加原理：根据叠加原理：111112213312211222233233113223333000pppXXXXXXXXX求解方程组得到多余未知力求解方程组得到多余未知力 、 、1X2X3X力法正力法正则方程则方程其物理意义其物理意义：静定基在荷载和各多余未知力：静定基在荷载和各多余未知力X1、 X2、X3共同共同 作用下，在去掉多余约束的地方，沿三个多余作用下，在去掉多余约束的地方，沿三

22、个多余 未知力方向上的位移等于原超静定结构各多余约未知力方向上的位移等于原超静定结构各多余约 束处相应的位移。束处相应的位移。若结构是若结构是n次次超静定结构，则超静定结构，则此即为此即为n次超静定结构的次超静定结构的力法正则方程的一般形式力法正则方程的一般形式。物理意义：基本结构在全部多余未知力和载荷共同作用下，在物理意义：基本结构在全部多余未知力和载荷共同作用下，在去掉多余联系处各多余未知力方向的位移，应与原结构相应的去掉多余联系处各多余未知力方向的位移，应与原结构相应的位移相等。位移相等。11112211112211220.0.0nnpiiinnipnnnnnnpXXXXXXXXX.+.

23、+.+10102020n0n011112211112211220.0.0nnpiiinnipnnnnnnpXXXXXXXXX.+.+.+特殊：当且当原结构各多余未知力作用处的位移为零时。特殊：当且当原结构各多余未知力作用处的位移为零时。表示静定基上多余力表示静定基上多余力 的作用点沿其作用的作用点沿其作用方向在方向在 单独作用时所产生的位移。单独作用时所产生的位移。ijiX1jX 表示静定基上多余力表示静定基上多余力 的作用点沿其作用的作用点沿其作用方向在方向在 单独作用时所产生的位移。单独作用时所产生的位移。iiiX1iX 表示静定基上多余力表示静定基上多余力 的作用点沿其作用的作用点沿其作

24、用方向在载荷单独作用时所产生的位移。方向在载荷单独作用时所产生的位移。ipiX位移位移正负号正负号规则：以所设规则：以所设Xi的正方向为基准，与之相同的的正方向为基准，与之相同的 位移位移 和和 规定为正，反之则反规定为正，反之则反。ijip根据位移互等定理：根据位移互等定理：jiij显然，结构显然，结构(静定基静定基)在沿在沿Xi方向上的位移越大，方向上的位移越大， 则结构在此方向上的柔度也越大，因此这些则结构在此方向上的柔度也越大，因此这些系数又称为柔度系数；系数又称为柔度系数；力法典型方程是表示位移条件，因此称之为结构的力法典型方程是表示位移条件，因此称之为结构的柔度方程；力法亦称柔度方

25、程；力法亦称柔度法柔度法(flexibility method)将上述正则方程写成矩阵形式为：将上述正则方程写成矩阵形式为：0n2010nPP2P1n21nn2n1nn22221n11211.X.XX. 0PXF柔度矩阵柔度矩阵flexibility matrix其中：其中：ii 主系数（直接柔度）主系数（直接柔度） 正正ij(ij) 副系数（间接柔度）副系数（间接柔度） 正、负、零正、负、零iPiP 自由项自由项222iiiiiMNkQdsdsdsEIEAGAijijijijjiM MN NkQ QdsdsdsEIEAGAipipipipM MN NkQ QdsdsdsEIEAGA式中：式中

26、：MiQiNi、 、 、MjQjNj、 、 、和和分别表示静定基由于单位荷载分别表示静定基由于单位荷载Xi1和、和、Xj1作用所产生的内力作用所产生的内力MP、QP、NP静定基由于荷载作用产生的内力静定基由于荷载作用产生的内力i0原超静定结构在各多余未知力方向上的给定位移原超静定结构在各多余未知力方向上的给定位移M = M1X1+ M2X2 + MnXn+ MPN = N1X1+ N2X2+ NnXn+NPQ = Q1X1+ Q2X2+ QnXn+ QP（1）判定）判定超静定次数超静定次数，从而确定基本未知量数目，从而确定基本未知量数目（求（求i）小结：力法解题步骤小结：力法解题步骤（2） 去

27、掉多余约束去掉多余约束得到得到静定基，静定基，并以并以多余未知力多余未知力代替原结构代替原结构相应的相应的多余约束多余约束的作用的作用(选静定基时，以使计算简单为原则）选静定基时，以使计算简单为原则）（3）列力法基本方程）列力法基本方程MiQiNi、 、 、MP、QP、NP（a）绘单位内力图）绘单位内力图（ ）和荷载内力图和荷载内力图( ）（4）解力法方程（求）解力法方程（求Xi ）（5）绘内力图）绘内力图（b）求力法方程的）求力法方程的系数和自由项系数和自由项(求求 和和 )ijiPiP222iiiiiMNkQdsdsdsEIEAGAijijijijjiM MN NkQ QdsdsdsEIE

28、AGAipipipipM MN NkQ QdsdsdsEIEAGA5-3 超静定刚架和排架超静定刚架和排架一、超静定梁和刚架一、超静定梁和刚架 的力法计算的力法计算M = M1X1+ M2X2 + MnXn+ MP(2)去掉铰支座去掉铰支座B，换之换之为两个多余约束，为两个多余约束， 和和 得到静定基，图（得到静定基，图（b）示。）示。1X2X(3)列力法正则方程：列力法正则方程：例：用力法计算图示超静定刚架的，作出其例：用力法计算图示超静定刚架的，作出其M图。图。解解 :(1) 显然此刚架为二次超静定显然此刚架为二次超静定因为原结构因为原结构B点的水平和点的水平和竖向位移为零。竖向位移为零。

29、（4）分别绘出静定基在多）分别绘出静定基在多 余未知力余未知力 和和 和载荷作用下的弯矩和载荷作用下的弯矩 图图M1、M2、MP。11X 21X (d)(c)(e)将所得到的结果代入力法典型方程将所得到的结果代入力法典型方程3331211133312111506496504616aaaXXPEIEIEIaaaXXPEIEIEI整理得：整理得：12121150649615104616XXPXXP解得：解得：12411388XPXP （ ）（ ）绘制弯矩图，可利用已绘出的绘制弯矩图，可利用已绘出的 和和 图叠加。图叠加。1MpM2M将将 图的竖标乘以图的竖标乘以 倍，倍，将将 图的竖标乘以图的竖标

30、乘以 倍，倍，再与再与 图的对应竖标相加。图的对应竖标相加。1M1XpM2M2X即即11220pMM XM XM14315()()1188288ACPaMaPaPPa 外侧受拉如：如：注意：对于同一超静定结构，可按不同方式去掉注意：对于同一超静定结构，可按不同方式去掉多余联系，得到不同基本结构。多余联系，得到不同基本结构。例如：例如：不能拆成几何可变不能拆成几何可变体或瞬变体系体或瞬变体系拆去拆去B端横向约束端横向约束和和A端的反力偶端的反力偶拆去拆去C端刚结，换为端刚结，换为铰结，相对于在铰结，相对于在C处处拆去一对反力偶，拆去一对反力偶，归纳力法算法：归纳力法算法： 确定超静定的次数，去掉

31、多余约束。得到一个静定确定超静定的次数，去掉多余约束。得到一个静定 基。以多余未知力代替多余约束的作用。基。以多余未知力代替多余约束的作用。 根据静定基在多余未知力和载荷共同作用，在去根据静定基在多余未知力和载荷共同作用，在去 掉的约束处产生的位移应与原结构各相应位移相等掉的约束处产生的位移应与原结构各相应位移相等 的条件，建立力法正则（典型）方程。的条件，建立力法正则（典型）方程。 作出静定基的各单位内力图，计算系数和自由项。作出静定基的各单位内力图，计算系数和自由项。 解力法方程，求出各多余未知力。解力法方程，求出各多余未知力。 按分析静定结构的方法，由平衡条件或叠加法解按分析静定结构的方

32、法，由平衡条件或叠加法解 得最终内力得最终内力例例2 超静定刚架的计算超静定刚架的计算0022221211212111 PPxxxx 力法方程力法方程:式中式中:EIEI364)432()4421(111 EIEIlEI2813)43()332()3321(2122 EIEI243)4421(12112 EIEIP640)443()16043111 （EIEIP6403)160431(12 将以上柔度系数和自由项代入力法方程组将以上柔度系数和自由项代入力法方程组: 0640281240640243642121EIxEIxEIEIxEIxEI解方程组可求得解方程组可求得: )(93. 5)(67

33、.3621KNxKNx绘出绘出M、Q、N图如右图所示：图如右图所示：二、超静定排架的计算（二、超静定排架的计算（P115） 1、排架由那几部分组成，是工程中哪一类结构的简化？、排架由那几部分组成，是工程中哪一类结构的简化？ 2、排架的受力特点是什么？、排架的受力特点是什么？ 3、如何用力法计算排架，一般将排架的哪一部分作为多、如何用力法计算排架，一般将排架的哪一部分作为多余约束对待？余约束对待？)31()231(3331111klEIlabpaxp kxxp11111 解：解：力法方程力法方程EIllllEI3)32()2(1311 )2(6)332()21(121blEIpablapaEIP

34、 式中：式中：ABl原结构原结构abpx1=1lMl图图MP图图ppa基本结构基本结构(1)x1BpA例例3基本结构基本结构(2)ABl原结构原结构Ml图图MP图图011111 Cpx 解：解：力法方程力法方程abpABpx1ABpABX1=11l/ab基本结构基本结构(3)lMl图图MP图图011111 pxkx 解：解：力法方程力法方程ppaABpx1ABl原结构原结构abpBBx1基本结构基本结构(1)解：解：力法方程力法方程:pA原结构原结构BDCkk8m8m8m2mpABDCkx1x20 xxkxxxP12221211P1212111例例4基本结构基本结构(2)解：解：力法方程力法方

35、程:pA原结构原结构BDCkk8m8m8m2mpABDCx1x2 kxxxkxxxPP2122212111212111 基本结构基本结构(3)解：解：力法方程力法方程:pA原结构原结构BDCkk8m8m8m2mpABDCx1x20 xx0 xxP1222121P1212111kk例例5：排架的计算（见：排架的计算（见P264）5-4 超静定桁架和组合结构的力法计算超静定桁架和组合结构的力法计算222iiiiiMNkQdsdsdsEIEAGAijijijijjiM MN NkQ QdsdsdsEIEAGAipipipipM MN NkQ QdsdsdsEIEAGAN = N1X1+ N2X2+

36、NnXn+NP一一 超静定桁架超静定桁架解：解： 力法方程：力法方程：01111 px 例例1 超静定桁架如图所示，各杆超静定桁架如图所示，各杆EA相同，求各杆内力。相同，求各杆内力。 EAEAlEAN94053)1(25)35(24)34(12222111 EAEAlEANNPP344205100)35(4)80()34(4)40()34(111式中：式中：拉拉力力）(74.321111kNxp 解方程，可得：解方程，可得： EAEAlEAN94053)1(25)35(24)34(12222111 EAEAlEANNPP344205100)35(4)80()34(4)40()34(111式中

37、：式中：拉拉力力）(74.321111kNxp 解方程，可得：解方程，可得：二、超静定组合结构的力法计算二、超静定组合结构的力法计算222iiiiiMNkQdsdsdsEIEAGAijijijijjiM MN NkQ QdsdsdsEIEAGAipipipipM MN NkQ QdsdsdsEIEAGAM = M1X1+ M2X2 + MnXn+ MPN = N1X1+ N2X2+ NnXn+NP01111 px 解：解：力法方程力法方程例：用力法分析图示桁构架。例：用力法分析图示桁构架。hs2hs24l1 82ql000图图图图PPNM 图图图图kkNM EANdsEIM212111 332

38、22211)2()1()4322421(2AEshsAEhlllIE 332322113248AEhsAEhIEl EAlNNdsIEMMPPP11111)48528132(2211llqlIE 1143845IEql 3323221131142483845AEhsAEhIElIEql 1111 px代入力法方程后，得：代入力法方程后，得：5-5 对称结构的计算对称结构的计算Computation of symmetrical structure一、基本概念一、基本概念1、对称结构对称结构(symmetrical structure) 2、对称荷载对称荷载(symmetrical load )

39、：对称结构沿对称轴轴对折后，：对称结构沿对称轴轴对折后， 对称轴两侧的荷载将对称轴两侧的荷载将重合，等值同向重合，等值同向。kkkkkkkkkkkkkqpppp-几何形状、截面尺寸、支承情况和弹性模量均对称于几何形状、截面尺寸、支承情况和弹性模量均对称于几何轴线的结构。几何轴线的结构。 3、反对称荷载反对称荷载(antisymmetrical load ) ：对称结构沿对：对称结构沿对 称轴对折后，对称轴两侧的荷载将称轴对折后，对称轴两侧的荷载将重合，等值反向重合，等值反向ppkkkkkkqppq二、超静定对称结构的静定基选择原则二、超静定对称结构的静定基选择原则选择选择对称的静定基，对称的静

40、定基，并取并取对称力或反对称力对称力或反对称力作为作为多余未知力。多余未知力。kk(a) 原结构原结构2x1x3x(b) 静定基静定基11 x（c） M1图图12 x(d) M2图图13 x(e)M3图图 000321基本体系应满足变形条件：基本体系应满足变形条件：显而易见：显而易见： 对称的未知力产生的内力图和变形对称的未知力产生的内力图和变形图是对称的；图是对称的； 反对称的未知力产生的内力图和变形反对称的未知力产生的内力图和变形图是反对称的。图是反对称的。故正对称图形和反对称图形相乘的结果为零。即：故正对称图形和反对称图形相乘的结果为零。即： 0003333232131232322212

41、11313212111 PPPxxxxxxxxx 03113 03223 0022221211212111PPxxxx03333Px力法方程分为两组：力法方程分为两组：对称多余未知力对称多余未知力组成的力法方程组成的力法方程反对称多余未知力反对称多余未知力组成的力法方程组成的力法方程结论：结论：力法计算超静定对称结构，若选用对称静定基，力法计算超静定对称结构，若选用对称静定基， 基本未知量也是对称力和反对称力，则力法方程基本未知量也是对称力和反对称力，则力法方程 必然分解为独立的两组，一组只包含对称的多余必然分解为独立的两组，一组只包含对称的多余 未知力，另一组只包含反对称的多余未知力。未知力

42、，另一组只包含反对称的多余未知力。注意注意：上述性质与结构的荷载状态无关。：上述性质与结构的荷载状态无关。三、荷载的处理三、荷载的处理kkpa(a)kkP/2P/2(b)aa=kkP/2P/2(c)aa+任意荷载均可用任意荷载均可用一对对称荷载一对对称荷载(symmetrical load)和和 一对反对称荷载一对反对称荷载(antisymmetrical load) 的组合来代替。的组合来代替。kkqq原结构原结构qq1x2x3x静定基静定基Mp图图力法方程力法方程: 000333323213123232221211313212111 PPPxxxxxxxxx 四、四、对称对称结构结构在在对

43、称对称荷载荷载作用下的内力及变形特点：作用下的内力及变形特点：11 xM1图图12 xM2图图13 xM3图图011 02112 022 01 P02 P03 P分析分析:03113 033 03223 于是，原方程变为：于是，原方程变为：00033322221211212111 xxxxxPP 000321 xxx 结结 论：论： 对称结构在对称荷载作用下，其对称结构在对称荷载作用下，其反对称多余力为零，结构的内力和反对称多余力为零，结构的内力和变形是对称的。变形是对称的。11 xM1图图12 xM2图图13 xM3图图Mp图图解得解得Mp图图力法方程力法方程: 00033332321312

44、3232221211313212111 PPPxxxxxxxxx kkqq原结构原结构qq1x2x3x静定基静定基五、五、对称结构对称结构在在反对称荷载反对称荷载作用下的内力及变形特点：作用下的内力及变形特点：11 xM1图图12 xM2图图13 xM3图图011 02112 022 01 P02 P03 P分析分析:03113 033 03223 于是，原方程变为：于是，原方程变为：0003333222121212111 pxxxxx 000321 xxx 结结 论：论： 对称结构在反对称荷载作用对称结构在反对称荷载作用下，其对称多余力为零，结构下，其对称多余力为零，结构的内力和变形是反对称

45、的。的内力和变形是反对称的。解得解得11 xM1图图12 xM2图图Mp图图13 xM3图图小结：利用结构对称性以简化计算的一般原则如下：小结：利用结构对称性以简化计算的一般原则如下：1、选择、选择对称对称的静定基，选择的静定基，选择对称力或反对称力对称力或反对称力作作 为基本未知量（为基本未知量（Xi）2、将荷载分解为、将荷载分解为对称荷载和反对称荷载对称荷载和反对称荷载的组合（的组合（P+P）3、在、在对称荷载对称荷载作用下，只需计算作用下，只需计算对称的未知力对称的未知力。4、在、在反对称荷载反对称荷载作用下，只需计算作用下，只需计算反对称的未知力反对称的未知力。5、将、将3和和4的结果

46、的结果叠加叠加即得最终结果。即得最终结果。四、对称性利用举例四、对称性利用举例p2p2p2p2p01111 px 02222 px 例题例题12p2p2p2p1x1x2x2x基本结构基本结构1基本结构基本结构2 0022221211212111ppxxxx 03333 px 例题例题2q2q2q2q基本结构基本结构1基本结构基本结构22q2q2q1x2x2q5 - 6 两两 铰铰 拱拱01111 px 解：解：力法方程力法方程P2P3P1原结构原结构ABP2P3P1基本结构基本结构x1BA一、两铰拱一、两铰拱(two-hinged arch)的特点：的特点：dsEANdsEIM 212111

47、dsEIMMPp 11二、计算方法：二、计算方法： 1、不带拉杆两铰拱的计算：、不带拉杆两铰拱的计算：p1 （当（当f/l1/3，t/l1/10时，计算时，计算11可略去剪力可略去剪力影响；计算影响；计算 时，剪时，剪力、轴力均可略去）力、轴力均可略去）1N1M0 COS 11 y yMCOSN11 x相差不大相差不大、很小，很小，11NM pNpMAV COS 10 y xVMSINPVNAPAp )(1x1p相相差差较较大大、很很小小，ppNM 关系：关系：、分析分析11NM关关系系：、分分析析ppNM 不带拉杆两铰拱的计算公式：不带拉杆两铰拱的计算公式： 将将 代入力法方程，得：代入力法

48、方程，得： yMCOSN11 dsEAdsEIydSEIMyxPp221111cos 01111 px dsAEEINdsEIM1122121111 dsEIMMPp 11p1 （当（当f/l1/3，t/l1/10时，计算时，计算11可略去剪力可略去剪力影响，但应考虑拉杆的影响，但应考虑拉杆的变形；计算变形；计算 时，剪时，剪力、轴力均可略去）力、轴力均可略去）P2P3P1原结构原结构ABP2P3P1基本结构基本结构x1BA2、带拉杆两铰拱的计算：、带拉杆两铰拱的计算：解：解：力法方程力法方程 yMCOSN11 带拉杆两铰拱的计算公式：带拉杆两铰拱的计算公式： 将将 代入力法方程，得：代入力法

49、方程，得：11221111cosAEldsEAdsEIydSEIMyxPp5-7 支座移动和支座移动和 温度变化时的计算温度变化时的计算一、概述一、概述 支座移动、温度改变、制造误差等外部因素均会引起支座移动、温度改变、制造误差等外部因素均会引起超静定结构的内力。用力法计算时，基本原理与荷载作用超静定结构的内力。用力法计算时，基本原理与荷载作用下的相同，所不同的是：下的相同，所不同的是：结构的内力与各杆结构的内力与各杆EI的绝对值有的绝对值有关，不象荷载作用时仅受各杆关，不象荷载作用时仅受各杆EI间比值的影响。间比值的影响。超静定结构在各种非荷载因素作用下产生的内力称为超静定结构在各种非荷载因

50、素作用下产生的内力称为自内力自内力。对自内力，力法求解的步骤如下：对自内力，力法求解的步骤如下：1、选静定基将原超静定结构解除多余约束，暴露多、选静定基将原超静定结构解除多余约束，暴露多 余未知力余未知力X1、 X2 Xi2、列力法方程：、列力法方程： nonntnCnnnnnotCnnotCnnxxxxxxxxx.22112222222212111111212111-静定基的柔度静定基的柔度(即各单位荷载状态下的位移即各单位荷载状态下的位移)ijiC静定基由于支座位移而产生的沿多余未知力静定基由于支座位移而产生的沿多余未知力Xi方向的位移方向的位移it静定基由于温度改变而产生的沿多余未知力静

51、定基由于温度改变而产生的沿多余未知力Xi方向的位移方向的位移 i静定基由于初应变而产生的沿多余未知力静定基由于初应变而产生的沿多余未知力 Xi方向的位移方向的位移0i原结构沿多余未知力原结构沿多余未知力 Xi方向的真实位移方向的真实位移(给定给定) 。(3) 解力法方程解力法方程,求求Xi(4) 求原超静定结构的内力求原超静定结构的内力M = M1X1+ M2X2 + MnXnN = N1X1+ N2X2+ NnXnQ = Q1X1+ Q2X2+ QnXn解：解：力法方程力法方程: 22221211212111CxxCxx 基本结构基本结构(1)ABDCX2X1A原结构原结构BDCC1lllC

52、2二、二、 支座移动时超静定结构的力法计算支座移动时超静定结构的力法计算ciicR. 直接建立变形条件直接建立变形条件多余未知力与原结构相应多余未知力与原结构相应支座位移一致。即支座位移一致。即 0io解：解：力法方程力法方程: 0022221211212111CCxxxx 基本结构基本结构(2)ABDCC1C2X2X1A原结构原结构BDCC1lllC2间接建立变形条件间接建立变形条件多余未知力不与原结多余未知力不与原结构给定的支座位移相构给定的支座位移相对应。即对应。即 0io解：解：力法方程力法方程: 0222212111212111CCxxCxx A原结构原结构BDCC1lllC2基本结

53、构基本结构(3)ABDCC1X2X1混混 合合 法法ABDCC1lllC2以基本结构以基本结构(2)为例：为例：三、如何求三、如何求ic ABDC2X1=11X2=1ABDC21122112)12(.CCCCRcic 212122)21(.CCCCRcic ABDCC1lllC2以基本结构以基本结构(3)为例：为例：ABDC2X1=11ABDC3X2=121112)201(.CCRcic 1123)302(.CCRcic 四、举例四、举例AB Al1ABX1=1M1BX1静定基（静定基（1）解法解法1：直接建立变形条件：直接建立变形条件EIllEI3)32121(111 Ax 111力法方程力法方程:计算系数和自由项：计算系数和自由项：AAlEIx 3111 依计算结果绘内力图如下页所示。依计算结果绘内力图如下页所示。例例1：如图示，支座：如图示，支座A发生转角位移时，试用力法求解并绘出发生转角位移时，试用力法求解并绘出M图。图。 静定基如图示静定基如图示M = M1X1解法解法2：间接建立变形条件：间接建