自动控制原理第三讲

1、2022年3月3日自动控制原理1p 3.1 控制系统数学模型的建立控制系统数学模型的建立p 3.2 线性控制系统的传递函数线性控制系统的传递函数p 3.3 结构图结构图p 3.4 信号流图信号流图p 3.5 闭环控制系统的传递函数闭环控制系统的传递函数2022年3月3日自动控制原理23.1.1 3.1.1 概述概述1 数学模型 数学模型（Mathematical Model）:描述系统内部各变量之间关系的数学表达式。 动态模型：描述动态过程中各变量之间的关系。 静态模型：描述静态条件下各变量之间的关系。2022年3月3日自动控制原理32 数学模型种类 时域：微分方程、差分方程和状态方程； 复数

2、域：传递函数、结构图和信号流图； 频域：频率特性等。3 建模方法 分析法（机理法） 实验法（辨识）2022年3月3日自动控制原理43.1.2 3.1.2 线性系统数学模型的建立线性系统数学模型的建立一般步骤： 分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系，确定系统的输入量、输出量和中间变量； 根据系统的基本定律（物理、化学定律），从系统的输入端开始，依次列写组成系统各元件的运动方程（微分方程）；2022年3月3日自动控制原理5 联立方程，消去中间变量，得到有关输入量与输出量之间关系的微分方程； 标准化。即将与输出量有关的各项放在方程的左边，与输入量有关的各项放在方程的右边，等式两边的导数项按降幂

3、排列。 )()()()()(0101trbdttdrbdttrdbtcadttdcadttcdammmnnn例1 已知无源网络如图所示，试写出它的数学模型。2022年3月3日自动控制原理6解：根据基尔霍夫定律oiuRiudtduCioioouudtduRC消去中间变量i，得例2 如图所示。试列写以ui为输入量，uo为输出量的微分方程。2022年3月3日自动控制原理7uiuoRLCi解：根据基尔霍夫定律iouudtdiLRidtduCioiooouudtduRCdtudLC22消去中间变量i例3 设有由弹簧质量阻尼器构成的机械平移系统如图所示。试列写出质量m在外力F作用下，位移x的微分方程 20

4、22年3月3日自动控制原理8解： 根据牛顿定律 FmakxdtdxfFdtxdm22Fkxdtdxfdtxdm22m2022年3月3日自动控制原理93.2.1 3.2.1 传递函数定义传递函数定义1 传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出量c(t)与输入量r(t)的拉氏变换之比。G(s)R(s)C(s)()()()()(sRsCtrLtcLsG2022年3月3日自动控制原理10设线性定常系统的微分方程为)()()()()()(0101trbdttdrbdttrdbtcadttdcadttcdammmnnn零初始条件，即c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零)()()()(0101sRb

5、sbsbsCasasammnn则系统的传递函数为 01110111.)()()(asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm)0()()(fssFtfdtdL)0()0()()(222fsfsFstfdtdL2022年3月3日自动控制原理11例例1 1 如图所示。试列写以ui为输入量，uo为输出量的传递函数。uiuoRLCiiooouudtduRCdtudLC22解： 由上节结论)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()(2RCsLCssUsUio2022年3月3日自动控制原理12例例2 2 如图所示。试列写出质量m在外力F作用下，位移x的传递函数 。Fkxd

6、tdxfdtxdm22m解： 由上节结论)()()()(2sFskXsfXsXmskfsmssFsX21)()(2022年3月3日自动控制原理133.2.2 3.2.2 传递函数的说明传递函数的说明 传递函数只适用于线性定常系统； 由微分方程经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算。 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的运动规律； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统是处于相对静止状态。2022年3月3日自动控制原理14 传递函数只与系统本身的结构和参数有关，与系统输入量的大小和形式无关； 传递函数是复变量s的有理分式；分母多项式的最高阶次n高于或等于分子多项式的最

7、高阶次m，即n m。 一个传递函数只能表示单输入单输出的关系，对多输入多输出系统，要用传递函数阵表示。2022年3月3日自动控制原理15 传递函数的表示形式01110111.)()()(asasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm).()().()()()()(2121gnmpspspszszszsKsRsCsG) 1).(1)(1() 1).(1)(1()()()(2121sTsTsTsssKsRsCsGnmk基本形式零极点形式时间常数形式2022年3月3日自动控制原理163.2.3 3.2.3 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 1 比例环节(Proportional)R(s

8、)C(s)R(s)K)()(tKrtcK放大系数或增益。KsRsCsG)()()(动态方程为输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节。2022年3月3日自动控制原理17例：如图所示为运算放大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t)。 根据电路定律，可知该电路的微分方程为式中，K= -R2/ R121)()(RtuRtuoi传递函数为KRRsUsUsGio12)()()(R1uiuo+-R22022年3月3日自动控制原理182 惯性环节T惯性环节的时间常数； K惯性环节的增益或放大系数。 传递函数为惯性环节的特点是其输出量延缓地反映输入量的变化规律。1)()()(TsKsRsCsG1TsK

9、R(s)C(s)R(s) 惯性环节)()()(tKrtcdttdcT2022年3月3日自动控制原理19 如图所示RC网络。设输入为ui(t)，输出为uo(t)。 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为 )()()(tutRituoidttiCtuo)(1)( RC电路uiuoRCi)()()(sUsRIsUoi)(1)(sICssUo消去中间变量I(s)，得到 )()()(sUsUsRCsUioo传递函数为11)()()(0RCssUsUsGi热电偶测量介质温度。输入信号为被测介质温度，输出信号为热电势E。 介质向热电偶传热 R:热阻，假定为常数； 热电偶温度变化 c:热电偶热容量； 热电势

10、 r：热电偶特性常数；2022年3月3日自动控制原理20)(1hRqqdtdchhrE消去中间变量q、h： 拉氏变换得： 传递函数：2022年3月3日自动控制原理21)(1hhRdtdc)(1rERdtdErcrEdtdEcR)()()(srsEssEcR1)()()(scRrssEsG2022年3月3日自动控制原理223. 积分环节(Integral)Ti 积分时间常数。 传递函数为动态方程为tidttrTtc0)(1)(sTsRsCsGi1)()()(sTi1R(s)C(s)R(s)2022年3月3日自动控制原理23如图所示为运算放大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t) 。根据电路定律

11、，可知该电路的微分方程为传递函数为CRuiuo+- 运算放大器dttduCRtuoi)()(sTRCSsUsUsGiio11)()()(水箱系统。以流量q为输入，水位h为输出。2022年3月3日自动控制原理24Adhqdt qdtAh1)(1)(sQAssHAssQsH1)()(2022年3月3日自动控制原理25动态方程为4 微分环节(Differential)Td 微分时间常数 传递函数为理想的微分环节，其输出与输入对时间的微分呈正比。dttdrTtcd)()(sTsRsCsGd)()()(sTdR(s)C(s)R(s) 微分环节微分环节2022年3月3日自动控制原理26如图所示为一电感线圈

12、。设输入为i(t)，输出为uo(t) 。 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为 传递函数为dttdiLtuo)()(LssIsUsGo)()()(Liuiuo 电感线圈2022年3月3日自动控制原理27 理想微分环节在实际中难以得到，往往使用一些近似环节来执行微分作用，称为实际微分环节。其传递函数为：1)(TsTssG当T 1时，就能近似得到 TssG)(2022年3月3日自动控制原理285.一阶微分环节 时间常数 传递函数为一阶环节的输出等于输入与其一阶导数的加权和。动态方程为)()()(trdttdrtc1)()()(ssRsCsG1sR(s)C(s)R(s) 一阶微分环节一阶微分环节

13、为比例环节和理想微分环节的并联，一阶微分环节与惯性环节的传递函数互为倒数。2022年3月3日自动控制原理296 二阶振荡环节n=1/T无阻尼自然振荡频率；阻尼比。传递函数为动态方程为：)()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdT12)()()(22TssTKsRsCsG2222)(nnnssKsG12122 TssTR(s)C(s)R(s) 二阶振荡环节2022年3月3日自动控制原理30 在振荡环节里面常包含两个储能元件，如机械和电气系统里的质量和弹簧，电容和电感都有储能的能力，而阻尼器和电阻则为耗能元件。当系统受到输入作用是，能量可能在两个储能元件之间相互转换而形成振荡。202

14、2年3月3日自动控制原理31如图所示RLC电路。设输入为ui(t)，输出为uo(t) 。解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为 )()()()(tutRidttdiLtuoidttiCtuo)(1)( RLC电路uiuoRLCi)()()()(sUsRIsLsIsUoi)(1)(sICssUo)()()()(tutRidttdiLtuoidttiCtuo)(1)(2022年3月3日自动控制原理32消去中间变量I(s) ，得到 传递函数为)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo2222211)()()(nnniossRCsLCssUsUsGLCn1LCR22022年3月3日自

15、动控制原理337 二阶微分环节传递函数为动态方程为)()(2)()(222trdttdrdttrdtc12)()()(22sssRsCsG1222ssR(s)C(s)R(s) 二阶微分环节二阶微分环节的传递函数与振荡环节的传递函数互为倒数。2022年3月3日自动控制原理348 延迟环节传递函数为延迟(时滞)环节是在输入信号作用后，输出信号要延迟一段时间才重现输入信号的环节。其动态方程为 )()(trtcsesRsCsG)()()(seR(s)C(s)R(s) 延迟环节2022年3月3日自动控制原理353.3.1 结构图的组成1 1 结构图(方框图、方块图)：将系统中所有的部件都用方框表示，在方

16、框中标明其传递函数，按照信号传递方向把各方框依次连接组成的一种图形。 2022年3月3日自动控制原理362 组成（结构图四要素） 方框：又称环节，表示对输入信号所进行的数学变换。方框的输出信号等于输入信号乘以方框中的传递函数。 信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递的方向，线上标记所对应的变量； r(t), R(s)r(t), R(s)2022年3月3日自动控制原理37 引出点:表示信号引出或测量的位置；从同一位置引出的信号，大小和性质完全相同。 比较点（或综合点）:表示对两个或两个以上的信号进行加减运算。 2022年3月3日自动控制原理383.3.2 3.3.2 结构图的建立结构图的建立一

17、般步骤：写出组成系统各环节的微分方程；求取各环节的传递函数，将各环节的传递函数填入方块图内，将信号的拉普拉斯变换标在信号线附近；按照系统中信号传递的顺序，依次将各环节的结构图连接起来，构成系统的结构图。 例1 已知无源网络如图所示，画出结构图。零初始条件下，拉氏变换得2022年3月3日自动控制原理39解：根据基尔霍夫定律oiuRiudtduCi0)()()(sUsRIsUio)()(sCsUsIo)()(1)(sUsURsIoi)(1)(sICssUo3.3.3 3.3.3 结构图的等效变换结构图的等效变换 框图的变换：用一个框图去代替与之等价的另一个框图。2022年3月3日自动控制原理401

18、 串联 串联方框的等效传递函数等于各环节传递函数的乘积。2022年3月3日自动控制原理41)()()()()()(21sUsCsGsRsUsG)()()(sRsCsG)()()()(sRsUsUsC)()(21sGsG2 并联 并联方框的等效传递函数等于各环节传递函数的代数和。2022年3月3日自动控制原理42)()()()(/)()()(/)()(212211sCsCsCsRsCsGsRsCsG)()()(sRsCsG)()()(21sRsCsC)()(21sGsG3 反馈连接 系统的闭环传递函数2022年3月3日自动控制原理43)()()(sEsGsC)()()(sBsRsE)()()(s

19、CsHsB)()()()(sCsHsRsE)()()()()()(sCsHsGsRsGsC)()()()(1)(sRsGsHsGsC)()()(1)()(sRsHsGsGsC)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs4 比较点的移动移动原则：保持在移动前后信号的等效性。 比较点后移 需要在R2(S)信号线上加上一个传递函数为G(s)的方框2022年3月3日自动控制原理44C(s)G(s)R1(s)R2(s)()()()(21sRsRsGsCW（s)()()()()(21sWsRsGsRsC)()(sGsW 比较点前移 需要在R2(S)信号线上加上一个传递函数为1/G(s)的方框2022年

20、3月3日自动控制原理45C(s)G(s)R1(s)R2(s)()()()(21sRsGsRsC)()()()()()(21sWsGsRsGsRsCW(s)(1)(sGsW 比较点互移 两相邻比较点之间的换位移动，无需作其它变换2022年3月3日自动控制原理46C(s)R1(s)R2(s)R3(s)C(s)R1(s)R3(s)R2(s)()()()(321sRsRsRsC)()()()(231sRsRsRsC5 分支点移动原则：分支点移动前后分支信号不变。 分支点前移 需要在分支上加上一个传递函数为G(s)的方框2022年3月3日自动控制原理47C(s)G(s)R(s)C(s)G(s) 分支点后

21、移需要在分支上加上一个传递函数为1/G(s)的方框2022年3月3日自动控制原理48C(s)G(s)R(s)R(s)例：简化结构图，并计算系统的传递函数。 比较点A后移2022年3月3日自动控制原理49 比较点互换位置 W1与W2串联 2022年3月3日自动控制原理504211GGGWHGGGW32321 HGGGGGGGsRsCsG32433211)()()(2022年3月3日自动控制原理51例 试简化系统结构图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)。R(s)-C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)解2022年3月3日自动控制原理52)(14sGR(s)-C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)H2(s)H3(s)1第一步，将引出点后移。2022年3月3日自动控制原理53第二步，对由G3(s)、G4(s)和H3(s)构成的回路1进行等效变换。 2(s)Hs(s)GGs(s)GG34343)(1)