奇偶校验码,海明码,循环冗余CRC(精)

1、1奇偶校验码二进制数据经过传送、存取等环节，会发生误码（1变成0或0变成1）,这就有 如何发现及纠正误码的问题。所有解决此类问题的方法就是在原始数据（数码 位）基础上增加几位校验（冗余）位。一、码距一个编码系统中任意两个合法编码（码字）之间不同的二进数位（bit ）数叫这两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的的最小距离就是该编码系统的 码距。如图1所示的一个编码系统，用三个 bit来表示八个不同信息中。在这个系统 中，两个码字之间不同的bit数从1到3不等，但最小值为1,故这个系统的码距 为1。如果任何码字中一位或多位被颠倒了，结果这个码字就不能与其它有效信 息区分开。例如，如果传送信

2、息 001，而被误收为011，因011仍是表中的合法 码字，接收机仍将认为011是正确的信息。然而，如果用四个二进数字来编 8个码字，那么在码字间的最小距离可以增加到2,如图信息序号二进码字a2ala00000100120103011410051016110FTi111信息序号二进码字aSa2alaO00000110012101030011411005010160110FT i111I码 距码能力检错纠错10 0注意，图8-2的8个码字相互间最少有两bit因此，如果任何信息的一个数位被颠 倒，码字，接收机能检查出来。例如信息是 1001，误收为1011接收机知道发生 了一个差错，因为1011不

3、是一个码字（表中没有）。然而，差错不能被纠正。21 032或142加152加263加23加3的，正确码字可以是1001, 1111, 0011或1010能确定原来到底是这4个码字中 的那一个。也可看到，这个系统中，偶数个（2或4）差错也无法发现。为了使一个系统能检查和纠正一个差错，必须至少是“3。最小距离为3时，或能纠正一个错，或能检二个错，但不能同时纠一个错和检二个错。错和检错能力的进一步提高需要进一步增加码字间的最小距离。图8-3的表概括了最小距离为1至7的码的纠错和检错能力。图3码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低 了。所以，选择码距要取决于特定系统的参数。数字系统的设

4、计者必须考虑信息 发生差错的概率和该系统能容许的最小差错率等因素。要有专门的研究来解决这 些问题。二、奇偶校验奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。例如，单个的奇偶校验将使码的最小距离由一增加到二。一个二进制码字，如果它的码元有奇数个1,就称为具有奇性。例如，码字“ 10110101有五个1,因此，这个码字具有奇性。同样，偶性码字具有偶数个1。注意奇性检测等效于所有码元的模二加，并能够由所有码元的异或运算来确 定。对于一个n位字，奇性由下式给出：奇性=a0e a1 ® a2® ® an奇偶校验可描述为：给每一个码字加一个校验位，用它来构

5、成奇性或偶性校验。例如，在图8-2中，就是这样做的。可以看出，附加码元 d2，是简单地用来使每 个字成为偶性的。因此，若有一个码元是错的，就可以分辨得出，因为奇偶校验 将成为奇性。奇偶校验编码通过增加一位校验位来使编码中1个个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从而使码距变为2。因为其利用的是编码中1的个数的奇偶性作为依据，所以不能发现偶数位错误。再以数字0的七位ASCII码（0110000）为例，如果传送后右边第一位出错，0变成1。接收端还认为是一个合法的代码 0110001 （数字1的ASCII码）。若在最 左边加一位奇校验位，编码变为10110000,如果传送后右边第一位出错，则变成

6、 10110001, 1的个数变成偶数，就不是合法的奇校验码了。但若有两位（假设是 第1、2位）出错就变成10110011, 1的个数为5,还是奇数。接收端还认为是一 个合法的代码（数字3的ASCII码）。所以奇偶校验不能发现。奇偶校验位可由硬件电路（异或门）或软件产生：偶校验位an =a0e a1 ® a2®® an-1,奇校验位an =NOT （a0® a1 ® a2an-1）。在一个典型系统里，在传输以前，由奇偶发生器把奇偶校验位加到每个字中。原有信息中的数字在接收机中被检测，如果没有出现正确的奇、偶性，这个信息标定为错误的，这个系统将把

7、错误的字抛掉或者请求重发。在实际工作中还经常采用纵横都加校验奇偶校验位的编码系统-分组奇偶校验 码。现在考虑一个系统，它传输若干个长度为m位的信息。如果把这些信息都编成 每组n个信息的分组，则在这些不同的信息间，也如对单个信息一样，能够作奇 偶校验。图4中n个信息的一个分组排列成矩形式样，并以横向奇偶（HP）及纵 向奇偶（VP）的形式编出奇偶校验m位数字横向奇偶位nala2 « tain-1amHP1个blb2 -* iibm-1bmHP2码clc29 « -9uurdcmHP3字« * fe fe«4 纵向奇nln2 - -nm-1runHPn偶位VP

8、1VP2VPm-1VPmHPn+1H|7 位 ASCII 码图4用综横奇偶校验的分组奇偶校验码研究图4可知：分组奇偶校验码不仅能检测许多形式的错误。并且在给定的行或 列中产生孤立的错误时，还可对该错误进行纠正。在初级程序员试题中（早期也出现在程序员试题中），经常有综横奇偶校验的题 目。一般解法应该是这样：先找一行或一列已知数据完整的，确定出该行（或 列）是奇校验还是偶校验。并假设行与列都采用同一种校验（这个假设是否正 确，在全部做完后可以得到验证）。然后找只有一个未知数的行或列，根据校验 性质确定该未知数，这样不断做下去，就能求出所有未知数。【例】2001年初级程序员试题由6个字符的7位ASC

9、II编码排列，再加上水平垂直奇偶校验位构成下列矩阵 （最后：30XIX200110Y1100100X31+X41010110Y201X5X61111D100X710X80三0X9111X1011VP00111XII1X12则X1 X2 X3 X4处的比特分别为 _(36)_ ;X5 X6 X7 X8处的比特分别为 ;X9 X10 XI1 X12处的比特分别为 _(38)_ ; Y1和Y2处的字符分别为 _(39)_ 和 _(40)_。解从ASCII码左起第5列可知垂直为偶校验。贝从第1列可知X4=0;从第3行可知水平也是偶校验。从第2行可知X3=1 ;从第7列可知X8=0;从第8列可知X12=

10、1 ;从第7行可知X11=1;从第6列可知X10=0;从第6行可知X9=1 ;从第2列可 知X1=1 ;从第1行可知X2=1 ;从第3列可知X5=1 ;从第4行可知X6=0;从第4列(或第5行)可知X7=0;整理一下：(36) X1X2X3X4 = 1110(37) X5X6X7X8 = 1000(38) X9X10X11X12 = 1011(39) 由字符Y1的ASCII码100100仁49H知道，Y1即是 T(由“ D的ASCII码是 1000100=44H 推得)(40) 由字符Y2的ASCII码011011仁37H知道，Y2即是“7”(由“3的 ASCII码是 0110011=33H

11、推得)假如你能记住 “0的 ASCII 码是 0110000=30H; “A的 ASCII 码是 100000仁41H, 则解起来就更方便了。2、海明校验我们在前面指出过要能纠正信息字中的单个错误，所需的最小距离为3。实现这种纠正的方法之一是海明码。海明码是一种多重（复式）奇偶检错系统。它将信息用逻辑形式编码，以便能够检 错和纠错。用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组 成的。每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。实现得合适时，这个系 统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出 来。推导并使用长度为m位的码字的海明码，所需步骤如下：1确定

12、最小的校验位数k,将它们记成D1、D2、Dk，每个校验位符合不同 的奇偶测试规定。2、原有信息和k个校验位一起编成长为 m+k位的新码字。选择k校验位（0或 1以满足必要的奇偶条件。3、对所接收的信息作所需的k个奇偶检查。4、如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误。如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。校验位数的位数推求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数k。考虑长度为m位的信息，若附加了 k个校验位，则所发送的总长度为 m+k。在接收器中要进行k个 奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪。这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字，它可以确定最

13、多 2k种不同状态。这些状态中必有一个其所有奇偶 测试试都是真的，它便是判定信息正确的条件。于是剩下的（2k-1）种状态，可以用来判定误码的位置。于是导出下一关系：2k-1 > m+k码字格式从理论上讲，校验位可放在任何位置，但习惯上校验位被安排在1、2、4、8的位置上。旳7位阳B1B2B3B1B556B7'校验位XX(X位IXX粗合码孑P1| P：IH |P3D2D3D4图5海明码中校验位和信息位的定位 校验位的确定k个校验位是通过对m+k位复合码字进行奇偶校验而确定的。其中：P1位负责校验海明码的第1、3、5、7、（P1、D1、D2、D4、）位, （包括P1自己）P2负责校验

14、海明码的第2、3、6、7、（P2、D1、D3、D4、）位，（包括 P2自己）P3负责校验海明码的第4、5、6、7、（P3、D2、D3、D4、） 位，（包括P3自己）对m=4, k=3，偶校验的例子，只要进行三次偶性测试。 这些测试（以A、B、C表示）图6奇偶校验位置因此可得到三个校验方程及确定校验位的三个公式：A=B1 © B3® B5® B7=0得P1=D1 © D2 © D4 B=B2 © B3 © B6 © B7=0 得 P2=D1 © D3 © D4C=B4 © B5 

15、9; B6 © B7=0 得 P3=D2 © D3 © D4若四位信息码为1001，利用这三个公式可求得三个校验位 P1、P2、P3值。和海 明码，如图7则表示了信息码为1001时的海明码编码的全部情况。而图 8中则列 出了全部16种信息码字位置1B2B3E4B5B6BBrr1码位类PPDPDDD型1213b34信息码1-001校验位001编码后 的海明码0011001P1P2D1P3D2D3D10000000110100101010101000011100110001001011100110000111111100000011001101101001100110

16、111100101010100101101111111图8未编码信息的海明码 上面是发送方的处理在接收方，也可根据这三个校验方程对接收到的信息进行同样的奇偶测试：A=B1 ® B3 ® B5 ® B7=0; B=B2 ® B3 ® B6 ® B7=0; C=B4 ® B5 ® B5 ® B7=0。若三个校验方程都成立，即方程式右边都等于0,则说明没有错。若不成立即方程 式右边不等于0,说明有错。从三个方程式右边的值，可以判断那一位出错。例 如，如果第3位数字反了，则C=0（此方程没有B3）, A=B=1

17、（这两个方程有 B3）。可构成二进数CBA，以A为最低有效位，则错误位置就可简单地用二进 数CBA=011指出。同样，若三个方程式右边的值为 001，说明第1位出错。若三个方程式右边的值 为100,说明第4位出错。海明码的码距应该是3,所以能纠正1位出错。而奇偶校验码的码距才是 2,只 能发现1位出错，但不能纠正（不知道那一位错）。无校验的码距是 1,它出任 何一位出错后还是合法代码，所以也就无法发现出错。这是关于海明码的经典说法，即码距为 3,可以发现2位，或者纠正1位错。应 满足 2k-1 > m+k但在清华的王爱英主编的计算机组成与结构(该书已成为国内的权威)中还 提出了一种码距为

18、4的海明码，可以发现2位，并且纠正1位错。应满足2(k-1) > m+k由于王爱英书上对这两种概念没有很仔细解释(特别对码距为3的海明码)，过渡很突然。有些书简单抄袭时没有仔细消化，所以出现一些概念错。对于一般码 距为3的海明码，应该是 可以发现2位，或者纠正1位错”而不是 可以发现2 位，并且纠正1位错”在试题中出现过类似的错误。3. CRC在串行传送(磁盘、通讯)中，广泛采用循环冗余校验码( CRC)。CRC也是给 信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。检错 能力与生成多项式有关，只能根据书上

19、的结论死记。循环冗余校验码(CRC)的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码， 整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫(N , K)码。对于一个给定的(N , K)码，可以证明存在一个最高次幕为 N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生 成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式 C(X)表示，将C(x)左移R 位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位 置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。几个基本概念1、多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关

20、系：x的最高幕次对应二进制数的最高位，以下 各位对应多项式的各幕次，有此幕次项对应1,无此幕次项对应0。可以看出：x的最高幕次为R,转换成对应的二进制数有 R+1位。多项式包括生成多项式 G(x)和信息多项式C(x)。如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1 ,可转换为二进制数码11011。而发送信息位1111,可转换为数据多项式为C(x)=x3+x2+x+1。2、生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个 数始终保持不变。在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模 2除生成校验码。在接受方利用生成 多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。应满

21、足以下条件：a生成多项式的最高位和最低位必须为 1。b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模 2除后应 该使余数不为0。c、不同位发生错误时，应该使余数不同。d、对余数继续做模2除，应使余数循环。将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于 不同码制K码距dG（x）务项成G(x)7131011V43x3+x2+l110134Ii+x3+i2+l11101734xt+i2+x+l1011115113xl+i+1WOK155»8+x7+i6+r4+i11101000131263i5+i2+110010131215lUOllOlOOl635

22、73ib+i+l100001163515i12+x1O+xS+xl+x2+l101000011010110411021xl6+il5+t2+l1100000(X)00000101图9常用的生成多项式3、模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上 一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下：a用除数对被除数最高几位做模 2减，没有借位。b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高 位为0，商为0，除数继续右移一位。C、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数【例】1111000除以1101

23、:1011商1111000-被除数1101除数0100001101010101101111余数CRC码的生成步骤1、将x的最高幕次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式 C(x)*2R3、 用生成多项式(二进制数)对信息码做模2除，得到R位的余数。4、 将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。【例】假设使用的生成多项式是 G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010,求编码 后的报文。解：1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。2、 此题生成多项式有4位(R+1)，要把原始报文C(x)左

24、移3( R)位变成 10100003、 用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：1001商10100001011除数10001011011余数(校验位)5、编码后的报文(CRC码)：1010000+ 0111010011CRC的和纠错在接收端收到了 CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则 码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字(信息位)无关。图10给出了 G(x) = 1011，C(x) = 1010的出错模式，改变 C(x)(码字)，只会改变表中

25、 码字内容，不改变余数收到的crc P57余数码位AA5A5AlA3A2Al正确02 Q1000无001i10100100102101000110031010111、11谋101011Oil41000011no51110011in60010011101f 图10 (7, 4) CRC码的出错模式(G(x) = 1011)如果循环码有一位出错，用 G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数 补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除(补0后若最高位为1,则用除数 做模2减取余；若最高位为0,则其最低3位就是余数)，得到

26、第二次余数为 010。以后继续补0作模2除，依次得到余数为100, 011；反复循环，这就是 循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明, 当出现余数(101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次 移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正 条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用 的主要原因。【例】对图10的CRC码(G(x) = 1011, C(x)= 1010),若接收端收到的码字为 1010111，用G(x) =

27、 1011做模2除得到一个不为0的余数100,说明传输有错。 将此余数继续补0用G(x) = 1011作模2除，同时让码字循环左移1010111。做了 4次后，得到余数为101，这时码字也循环左移4位，变成1111010。说明出错位 已移到最高位A7，将最高位1取反后变成0111010。再将它循环左移3位，补足 7次，出错位回到A3位，就成为一个正确的码字1010011。通信与网络中常用的CRC在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采 用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取 r=16，标准的 16位生成多项式有 CRC-16= x16

28、+x15+x2+1 和 CRC-CCITT = x16+x15+x2+1。一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突 发长度小于等于r的突发错以及(1-2-(r-1)的突发长度为r+1的突发错和(1-2- r)的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有 突发长度小于等于16的突发错以及99. 997%的突发长度为17的突发错和 99. 998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这 里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到 出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。【

29、例1】某循环冗余码(CRC)的生成多项式G(x) = X3+X2+1，用此生成多项式 产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC码。若发送信息位1111和1100则它的 CRC码分别为A 和B_。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判 断为出错的CRC码，例如码字C_、_ D_、和E_o( 1998年试题11) 供选择的答案A : IIIII00B : 1100100 1111101 1100101 1111110 1100110 0010111 1010001 1111111 1100111 1011000 C E: 0000000 0001100 1000110 1001111解：A : G(x) = 1101，C(x) = 1111 C(x)*23 G(x) = 1111000 4101 = 1011 余 111得到的CRC码为1111111B: G(x) = 1101，C(x) = 1100 C(x)*23 G(x) = 1100000 4101 = 1001 余 101得到的CRC码为1100101CE:分别用G(x) = 1101对 作模2除：0000000 4101余000111