苏科版九年级上册数学正多边形和圆 知识点与同步训练解析版

1、正多边形和圆知识精讲一. 正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； （2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距补充说明：正多边形的性质：（1）正边形的半径和边心距把正边形分成个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正边形共有条通过正边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也

2、是中心对称图形，其中心就是对称中心二. 正多边形与圆的关系1. 把一个圆等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正边形；这个圆叫这个正边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆三. 正多边形有关的计算1. 正边形的每个内角都等于；2. 正边形的每一个外角与中心角相等，等于；3. 设正边形的边长为，半径为，边心距为，周长为，面积为；则：三点剖析考点：正多边形的概念、性质及相关计算重难点：正多边形相关计算易错点：对正多边形相关的概念混淆不清题模精讲题模一：正多边形的相

3、关概念 下面给出六个命题：各角相等的圆内接多边形是正多边形；各边相等的圆内接多边形是正多边形；正多边形是中心对称图形；各角均为的六边形是正六边形；边数相同的正边形的面积之比等于它们边长的平方比；各边相等的圆外切多边形是正多边形其中，正确的命题是_【答案】 【解析】 错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成 个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；错误，正奇数边形不是中心对称图形；错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；正确，相似的性质；错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边

4、长即可 若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）A 30°B 60°C 90°D 120°【答案】B【解析】 由于任意多边形的外角和均为360°，所以这个正多边形的边数为，所以正六边形的中心角的度数为 正六边形的边心距与边长之比为（）A ：3B ：2C 1：2D ：2【答案】B【解析】 此题考查了正多边形和圆的关系此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案如图：设六边形的边长是a，则半径长也是a；经过正六边形的中心O作边AB的

5、垂线OC，则AC=AB=a，OC=a，正六边形的边心距与边长之比为：a：a=：2故选B 如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2 T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值【答案】 （1）：2（2）3：4【解析】 （1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形所以r：a=1：1；连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；（2）T

6、1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4题模二：相关计算 如图，O是ABC的内切圆，若ABC=70°，ACB=40°，则BOC=_°【答案】 125【解析】 O是ABC的内切圆，OB平分ABC，OC平分ACB，OBC=ABC=35°，OCB=ACB=20°，BOC=180°OBCOCB=180°35°20°=125° 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（ ）A 1B C 2D 2【答案】B【解析】 如图，连接OA、OB，OG；六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，

7、OAB是等边三角形，OA=AB=2，OG=OAsin60°=2×=，边长为2的正六边形的内切圆的半径为 如图、.、，、分别是的内接正三角形、正方形、五边形、.、正边形.的边、上的点，且，连接、（1）求图中的度数；（2）图中的度数是_，图中的度数是_；（3）试探究的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）【答案】 （1）；（2），；（3）【解析】 解：分别连接、，（1） ，是外接圆的圆心， ，（2）同（1）可得的度数是；图中的度数是（3）由（1）可知，；在（2）中，；在（3）中.，故当时，随堂练习随练2.1 如图，正五边形ABCDE内接于O，则CAD=_度【答案】 36【解析】

8、 五边形ABCDE是正五边形，=72°，CAD=×72°=36°随练2.2 边长为的正六边形的边心距等于（ ）A B C D 【答案】A【解析】 该题考查的是正多边形与圆 B AO M 连接OA、OB作OMAB与M;可知AOB是等边三角形，OMAB，在OAM中，由勾股定理得：故选A随练2.3 已知O的周长等于cm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为_cm【答案】 3cm【解析】 本题考查圆内的多边形边长计算O的周长等于cm，圆的半径，又圆内接正六边形六条边相等，故每条边对的圆心角为，圆内接正六边形的边长等于半径，正六边形ABCDEF的边长为3 cm随练2.4 如图，是的内接正方形，是半圆的内接正方形，那么正方形与正方形的面积之比为_【答案】 【解析】 随练2.5 已知圆内接正方形的面积为，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积【答案】 【解析】 如图，设是圆内接正方形的边长，是外切正三角形的边长，是外切正六边形的边长，连结是内接正方形的边长，内接正方形面积为，是外切正三角形的边长，是外切正六边形的边长，随练2.6 等边三角形的周长为18，则它的内切圆半径是（ ）A B C D 【答案】C【解析】 该题考