分形图形学实验指导

1、分形图形学实验指导实验一 二维空间上的分形图形生成实验目的1. Mandelbrot 集与 Julia 集的电脑实现2. 掌握用 L 系统语言生成分形实验内容及步骤1. 编写程序生成 Mandelbrot 集在复迭代中影响最大的当属迭代ZTzA2+c,实际上它只是形式更一般的复解析迭代z_(n+1)=F(z_n)+c 的一种，F是一个非线性函数。 显然ztzA2+c也是最简单的一种，它 在 复迭代中的地位相当于逻辑斯蒂映射x_(n +1)=ax_n(1- x_n)在实迭代中的地位(见第八章)。考虑一般形式的 F,令z=x+iy,c=c_( X)+ic_(Y)，其中i表示虚数，i=SQRT(-1

2、)。别离 实部与虚部，具体化迭代关系便有：xTf(x,y)+c_(X)， yTg(x,y)+c_(Y).通常所说的M集是迭代二次函数 ztzA2+c产生的，此函数具 体化就是xT xA2- yA2+c_(X) ， yT2xy+c_( Y).其中 z=x+i y,c=c_(X)+i c_(Y ), 以横轴 x 记录实数的实部，以纵轴 y 记录实数的虚部。 M集合实际上是常数 c=(c_(X), c_(Y)构成的图象。让c从屏幕左上角开始变化， 逐行增加， 一直变到屏幕右下角。如果取的区域是 200X2 00,那么一共要计算 40,000个点，把计算的 结果用不同的颜色标记下来，就得到一幅图象，这

3、就是M集。对于不同的c值，如何得到表征迭代性质的不同的结果呢 ?容易知道, 无穷远处肯定是迭代的一个吸引子, 即对于复平面上相当多的初始条件, 迭 代最终都跑到无穷远处。 但研究发现, 在原点附近还存在一个奇特的区域, 在迭代过程中此 区域永远不会跑掉。 在非严格的意义上， 这个不变的集合就是 M集，我们的主要任务就是画 出这个集合的边界一一实际上边界是分形曲线，极其复杂，M集图象的全部魅力就在这里。在复平面上,我们以原点 (0,0) 作为参考点,观察迭代过程是否远离原点,以及逃离原 点的速度如何。为此规定一个距离函数D=xA2+yA2,其实D有许多不同的取法，以上取法是最普通的。可以看出，如

4、果D较大，表 明迭代点离原点较远，如果D较小，说明迭代点离原点较近。 假设对于任何一个 c,迭代都从(x_0, y_0)=(0,0)开始，我们观察迭代点列(x_l, y_l), (x_2, y_2), (x_3, y_3)，(x_(100) , y_(l00)，的变化状况。每一次都计算一下D值，即该点与原点(0 , 0)的距离(为方便计，这里 实际上计算的是距离的平方)。取一个参考距离 R,不妨取得大一些，比方R =40(实际上取20就足够了)。现在想知道迭代多少次后实际的距离D大于R。在迭代过程中如果 D小于R那么继续让电脑迭代，要规定一个上限，比方300次。如果迭代了 300次后结果仍然不

5、跑掉(即D仍然小于&，那么可以近似认为此点属于M集合。对于迭代次数小于 300次的情况，如果迭代 10次D就大于R,那么标记c点为白色；如 果迭代35次D开始大于R那么标记c点为红色；如果迭代 110次D开始大于R,那么标记c 点为蓝色，等等。2. 编写程序生成Julia集一个M集可以对应无数种 J集，实际上 M集就是所有J集的浓缩。M集不同部位的形 状，反映了对应于该处的 J集的形状，于是用 M集可以对J集进行分类，至少在电脑图形 学的层次上可以这样说。计算J集时，初始迭代点就不能总取 (0 , 0) 了，而是要根据实际位置取实际的 (x , y) 坐标值。仍以迭代 ztzA2+c为例说明。

6、先取 定一个c值，比方c=(1.0221,0.2433)，迭代 关系化为xt乂人2-丫人2+1.0221 , yt2xy+0.2433.从屏幕左上角算起，逐行计算，一直算到屏幕右下角。当然，也可以不取整个屏幕那么大，只选一个200X 200的小区域做。标色的原理与上面讲 M集合时完全类似，此略。改变常数c的取值，可以得到各式各样的J集。3. 比拟M集与J集的区别与联系在源程序中，M集与J集的计算方法十分相似，只需改变两处语句就可以互换为对方。初始迭代点迭代关系说明M集x0:=0;y0:=0;x1:=f(x,y)+p0;y1:=g(x,y)+q0;p_0,q_0不断变化J集X0:=p0;y0:=

7、q0;x1:=f(x,y)+c_X;y1:=g(x,y)+c Y ; c_(X) , c_(Y)固定不变4. 编写程序用 L 系统语言生成分形图形1) 编写程序生成柯赫曲线 : 初始图形是一条线段，生成过程是将线段中间1/3 向外折起。程序伪码如下：KochCurve ；柯赫曲线Angle 6；角度增量是 60Axiom F；初始图形是一单位线段F=F+F-F+F；产生式是将线段中间 1/3 折起；结束2) 用 L 系统再次生成希尔伯特曲线。生成希尔伯特曲线的伪码如下：Hilbert；希尔伯特曲线， 1996-12Angle 4Axiom Y；初始串为任意字母 YX=-YF+XFX+FY-；第

8、一个生成规那么Y=+XF-YFY-FX+；第二个生成规那么，由以上规那么不断代换3) 模拟草本植物。注意这里出现了“括号可以方便地表示树枝，伪码如下：HerbPlant ；生成植物，本程序使用了括号Angle 14Axiom ZZ=ZFX +Z -ZX=X -FFF +FFF FX实验二 高维空间的分形图形生成实验目的1. 了解三维L-系统生成高维空间分形图形的方法2. 掌握四元数生成 Mandelbrot 集和 Julia 集3. 掌握随机中点位移法实验内容及步骤1. 编写程序，使用四元数生成 Mandelbrot 集和 Julia 集通常我们是在二维复平面上研究广义的M集和J集，也可以通过

9、“四元数(quaternions) 将它们推广到高维空间中去。在二维复平面中表示复数只用两个基向量：1和i。在四维空间中讨论超复数，现在有四个基向量：1, i, j和k。任一复数可以表示为q=x+yi+zj+qk.超复数基向量之间的运算关系 (注意，不同于传统上四元数基向量之间的运算关系 )为：ij=k,jk=-i,ki=-j,ji=k,kj=-i,ik=-j,ii=jj=-kk=-1,ijk=1.注意，运算关系的规定多少有些任意性，也可以规定iA2=jA2=kA2=+ 1 。在四维空间H中也可以研究迭代 XixA2+c下的超朱丽亚集J ,选一个截面，将超朱丽 亚集投影到三维空间中，可以得到立

10、体的 J 集图象。实验三分形混沌动力系统实验目的1. 了解动力系统概念2. 掌握Julia复动力系统及其IFS诠释3. 了解混沌的概念；实验内容及步骤1. 使用IFS方法，编写生成Julia复动力系统的程序通过IFS方法还可以绘制朱丽亚集J。设ztzA2+c,求出两个逆变换：w_1(z)=SQRT(z-c) , w_2(z) =-SQRT(z-c),取概率(p_1,p_2)=(1/2,1/2)，迭代后生成的吸引子实际上就是各种朱丽亚集！IFS方法、L系统、混沌动力学以及有关 M集和J集的迭代，事实上都是相互关联着的, 这种关联表达了非线性科学的内在逻辑。算法：Julia_IFS标题：Julia

11、集的IFS算法参数:z迭代次数PI n值RAND MA随机最大值变量：k概率变量x,y z的实部和虚部cx,cy c的实部和虚部r极距a,b,e,f,m,n, wx,wy,theta函数：Pset(x,y)画点函数Rand随机函数sin正弦函数cos余弦函数atan反正切函数BEGINFOR i=1 TO zm=a*x+en=b*y+fIF i10 THENPset(m, n)ENDIF wx=x-cxwy=y_cyIF wx0 THENtheta=ata n( wy/wx)ENDIFIF wx0 THENtheta=PI+ata n(wy/wx)ENDIFIF wx=0 THENtheta=

12、PI/2ENDIFtheta=theta/2 r=sqit(wx*wx+wy*wy) k=rand rnd=k/RAND_MAX IF rnd0.5 THEN r=sqrt(r)ELSE r=-sqrt(r)ENDIF x=r*cos(theta) y=r*sin(theta)ENDFOREND实验四分形图像压缩实验目的1. 掌握冗余度压缩熵编码2. 限失真编码熵压缩3. 掌握分形图像压缩的原理与方法4. 编程实现分形图像压缩。实验内容及步骤1.使用IFS方法，编程实现简单自相似图像谢尔宾斯基 基垫压缩分形图像压缩是利用原始图像所具有的自相似性，构造一个迭代函数系统IFS，利用IFS抽取图像的

13、自相似性，即用图像中的一个子块经过分形仿射变换来逼近同一图像中的 另一子块，而且仅仅将仿射变换系数记录下来，从而到达压缩图像数据的目的。以谢尔宾斯基基垫为例加以说明，如以下图。可以看出，整个垫子是由上、左下、右下 3个较小的垫子组成。每个较小的垫子是由原来的垫子经收缩仿射变换得来的。如果能分别 找出把原图形变成 3个小图形的收缩放射变换，那么，整个迭代函数系统就定下来了。1)(1/2, 1/2)(3/2, 1/2)x2,y2， x3,y3W1的变换式展开：设原来垫子3各顶点的坐标分别为x1,y1， x2,y2， x3,y3。变换所得小 垫子的3个顶点坐标为x1,y1， x2,y2， x3,y3。图2.3b表示的是把原电子变为上面小垫子的坐标。把x1=a1x1+b1y1+e1 y1=c1x1+d1y1+f1 x2=a1x2+b1y2+e1 y2=c1x2+d1y2+f1 x3=a1x3+b1y3+e1 y3=c1x3+d1y3+f1解这组方程得到变换 W1的各系数。代入