平面向量的数量积的性质

1、向量的数量积运算【问题导思】两个非零向量a, b, B为a与b的夹角.ab = 0,那么a与b有什么关系？【提示】a b= 0, aM0,0,；cos 0= 0, 0= 90°, a丄b.2.a a等于什么？【提示】|a| |a|cos 0 = |a|(2022海淀高一检测)|a|= 5,|b| = 4,a与b的夹角为120°,(1)求a b；求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解 【自主解答】(1)a b= |a|b|cos 0.(1) 如果e是单位向量，那么 a e= e a=|a|cosa, e(2) a丄b? a b = 0;(3)

2、a a= |a|2 即 |a|= .'a a；a b(4) cosa, b>(5) |a b|< |a|b|.豪 平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a b= b a；(2) 分配律：(a+ b) c= a c+ b c；数乘向量结合律：对任意实数 入，Xa b) = (?a) b =a ( X).SB I靜童圧动探it»例1=5X4X cos 120 = 5x4X (-2)= 10.5 '|a|cos A 5X cos 120 丄一空，5-a在b方向上的射影的数量为一2.I规律方法I1在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“ 连接，而不能用“X连接,更不

3、能省略不写(1) 假设向量的模及其夹角，那么直接利用公式a b= |a|b|cos 9.(2) 假设一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a b.>娈 it an a1. (2022玉溪高一检测)|a|= 6，|b| = 3, ab= 12,那么a在b方向上的射 影的数量是()A. 4B.4a b 122【解析】cos<a，b> =jajjb厂6X3 a 3，向量a在向量b方向上的射影的2数量为 |a|cos<a，b>= 6X 3 = 4，应选 A.【答案】 A2. |a| = 6， e为单位向量，当向量a、e之间的夹角9分别等于45

4、° 90° 135°时，分别求出a e及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】 当向量a和e之间的夹角9分别等于45° 90° 135°时，|a| |e|cos 45 =6X 1X ¥= 3 2;|a| |e|cos 90 =6x 1 x 0= 0；|a| |e|cos 1356x1x(当向量a和e之间的夹角B分别等于45° 90 ° 135时，a在e方向上的正射影的数量分别为：|a|cos 0= 6xcos 45 =3 2|a|cos 0= 6xcos 90 时0;与向量模有关的问题?例向量a与b的夹角

5、为120°,且|a| = 4, |b|= 2,|a|cos 0= 6 x cos 135 时一3 2求: (1)|a+ b|;(2)|(a+ b) ( 2b)|.【思路探究】利用a a= a2或|a|= a2求解.【自主解答】由 a b= |a|b|cos 0= 4x 2x cos 120 时一4, a2= |af= 16,b2= |b|2= 4.(1) v|a+ b|2= (a+ b)2= a2 + 2a b+ b2 = 16+ 2x ( 4)+ 4= 12,：|a + b|= 2/3.2 2(2) v(a+ b) (a 2b) = a2 a b 2b2 = 16 ( 4) 2x4

6、= 12, /.|(a+ b) (a 2b)|=12.I规律方法I1此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系 a a = a2= |a|2 或 |a| =. a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.b娈貳训缰设8、e2是夹角为45时勺两个单位向量，且 a= ei + 2e2, b= 2e1+ e2,试求|a+ b|的值.【解】.a + b = (ei + 2e2)+ (2ei + e2)= 3(ei + e2),|a+ b|= |3(ei + e2)| = 3|ei + e2|= 3ei+ e22ei e2 + e2=33 2+ 2.与向量夹角有关的问题(2022济南高一检测)假设向量

7、a, b, c两两所成的角均为120°且|a|= 1, |b|= 2, |c|= 3,求向量a+ b与向量a+ c的夹角B的余弦值.【思路探究】先利用条件，分别求出(a+ b) (a + c), |a + b|和|a + c|的大小，再根据向量的夹角公式求解【自主解答】(a+ b) (a+ c) = a2 + a b+ a c+ b co 91 + 1 x 2 x cos 120 + 1 x 3 x cos 120 + 2 x 3 x cos 120 ?,|a+ b|a+ b 2 a2 + 2a b+ b212+ 2x 1 x 2x cos 120 +22 .'3,|a+ c

8、|a2 + 2a c+ c2= ：7,'cos 09a+ b a+ c - 23.21|a+ b|a+ c|714 '所以向量a+ b与a+ c的夹角0的余弦值是一.I规律方法I1求向量a, b夹角的流程图a b求|a|, |b|计算a b| 计算cos 0商帀结合0W 0< 180°,求解02.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以防止复杂的运算.>娈豆训练(1) (2022辽宁师大附中高一检测)假设向量a与b不共线，abM0,且c= aa aar b,那么a与c的夹角为()nn nA.0 B.gC.3D.q(2) (2022贵州

9、省四校高一联考)假设|a|= 2, |b|= 4且(a+ b)丄a,那么a与b的夹角是()2 nn4 n2 nB3 CE D.&a aa2【解析】(1) vac= aabb = aa冇 ab= a2 a2= 0,又 aM 0,ncm0,：a丄c, a与c的夹角为q,应选D.(2)因为(a+ b)丄a，所以(a+ b) a= a2 + a b= 0, 即卩 a b= a2= 4，所以a b 412 ncos<a, b> =丽二24 = 2,又因 <a, b> 0 , n,所以 a 与 b 的夹角是y ,应选A.【答案】 (1)D(2)A技 升能建 区1混淆两向量夹

10、角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误卜典例 设两向量8, e2满足：|创=2, |e2|= 1, e1, e2的夹角为60°.假设向量2te1 + 7e2与向量& + te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.1【错解】 由得e1 e2 = 2X 1X 2= 1,于是(2te + 7e2) (e + te2) = 2te2 + (2t2 + 7)e e + 7td2 = 2t2 + 15t+ 7.因为2tei + 7e2与ei + te2的夹角为钝角，所以 2t2 + 15t+ 7<0,解得一7<t<-2.【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角

11、不是钝角而是平角【防范措施】假设两向量的夹角为钝角，那么这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180 °其数量积也为负.1【正解】由得ei e2 = 2X 1X二1，于是(2te + 7e2)(e + te2)= 2te2 + (2t2 + 7)e e + 7te2 = 2t2 + 15t+ 7.因为2te1 + 7e2与e1 + te2的夹角为钝角，2 1所以 2t2 + 15t+ 7<0,解得7<t<-夕但是，当2te1 + 7e2与8 + te2异向共线时，它们的夹角为180°,也有2t2 + 15t+ 7<0,

12、这是不符合题意的.此时存在实数人使得2tei + 7e2=农1 + tee)，即 2t=入且 7=才，解得 t = ±.故所求实数t的取值范围是一7,-今U -于，一1 .ccccccccccccccccc课堂小结1. 两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量，其值可以为正当a0,0,0 ° 0<90°时，也可以为负当a 0,0,90 < 9< 180°时，还可以为0当a = 0 或 b = 0 或 A 90°时.2. 数量积对结合律一般不成立，因为a b = |a|b|cosa, b> c是一个与c 共线的向量，而

13、a c b = |a|c|cosa，c> b是一个与b共线的向量，两者一般不 同3. a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区 分.a b |bf1|a|bA 3|b|1 2 3.习区I1【答案】-13. |a| = 4, |b|= 6, a与b的夹角为60°那么向量a在向量b方向上的射影 是.1【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 60 =4X空=2.【答案】24a匸4, |b|= 5,当(1)a/ b; (2)a丄b; (3)a与b的夹角为30°时，分别 求a与b的数量积.【解】当a/b时，假设a与b同向，贝U A 0°

14、;, a b= |a|b|cos 0 = 4x 5= 20；假设a与b反向，贝U 9= 180 :a b= |a|b|cos 180 = 4°5X (- 1)=-20.n当a丄b时，<a, b> = gn'a b= |a|b|cos2 = 4X 5X 0= 0.(3) 当 a与b的夹角为30°寸,a b= |a|b|cos 304X 5X103.1? i 591能检测n tn ffE I一、选择题1Ja|= 1, |b| = 2, c= a+ b 且 c丄a,那么 a 与 b 的夹角为()A.30 °C.120 °B.60 °

15、;D.150 °【解析】c丄a,设a与b的夹角为9,那么(a+ b) a = 0,所以a2 + a b= 0,所以 a2 + |a|b|cos 9= 0,1那么 1 + 2cos 0= 0,所以 cos 0=，所以 120 .应选 C.【答案】Ca 与 b 的夹角为 60° |b|= 4,且(a+ 2b) ( 3b) = 72,那么 a 的模为()A.2B.4 C【解析】v(a+ 2b) (a 3b) = a B. 2，+ a b 6b2= |af|a| |b|cos 60 6°= |af 2|a| 96= 72,|af 2|a| 24= 0,'|a|=

16、6.【答案】 C34ABC 中，ABACV 0,那么厶 ABC 是()【解析】'AB AC= |AB|AC|cos Av 0,'cos Av0；.A是钝角./ABC是钝角三角形.【答案】 C4. 2022怀远高一检测i与j为互相垂直的单位向量，a= i 2j, b= i + j且a与b的夹角为锐角，那么实数 入的取值范围是c12 3u2 32-A. ( x, 2)U 2, 2【解析】Ta b= (i 2j) (i + 1) = 1 2 心0,12,又 a、b 同向共线时，ab>0,设此时 a= kb(k>0),那么 i 2j = k(i + 4),k=1,冶一2,：

17、a、b夹角为锐角时，入的取值范围是(一,2= k ,12)U 2, 2，应选 A.【答案】 A5. (2022皖南八校高一检测)在厶OAB中，OA= 4, OB= 2,点P是AB的垂直平分线I上的任一点，贝U OPAB=()A.6B. 6 C.12D. 121 【解析】 设AB的中点为M，那么OPAB= (OM + MP) AB = OM AB=(OA+ 1 OB) (O B OA) = (OB2 OA2) = 6.应选 B.【答案】 B二、填空题6. (2022北大附中高一检测)向量a与b的夹角为120° |a|= 1, |b| = 3,那么|5ab| =.3【解析】 因为 a b

18、= |a|b|cos 120 = q,所以 |5a bf = 25a2 10a b+ b2=325 10x 2 + 9= 49,所以 |5a b|= 7.【答案】 7a丄b, |a| = 2, |b|= 3,且3a + 2b与4 b垂直，那么 入等于.【解析】v(3a + 2b)丄(4 b)(2a b) (3a + 2b) = 0,2 23才+ (2 3)a b 2b2 = 0.又v|a|= 2, |b|= 3, a丄b,'12 2+ (2 入一3) x 2 x 3 x cos 90 18= 0,3-12 X 18= 0, 后 23【答案】38.(2022温州高一检测)a是平面内的单位

19、向量，假设向量b满足b (ab)= 0,那么|b|的取值范围是.【解析】设a, b的夹角为9,由b (a b) = 0,得|b| |a|cos 9- |b|2 = 0.解得|b|= 0 或|b|= |a|cos 9= cos 其 1,所以 |b|的取值范围是0,1.【答案】0,1三、解答题a、b 的长度 |a|= 4, |b|= 2.(1) 假设a、b的夹角为120°求|3a 4b|;(2) 假设|a+ b|= 2 3，求a与b的夹角9【解】(1)a b= |a|b|cos 120 °1=4X 2X = 4.2 2 2 2又|3a 4b|2= (3a 4b)2 = 9a2

20、24a b+ 16b2=9 X 42 24X ( 4)+ 16 X 22 = 304,.|3a 4b|= 4.19.(2)v|a+ b|2= (a+ b)2= a2 + 2a b+ b2=42 + 2a b+ 22= (2 3)2,.,.a b 41a b= 4,.cos 9= |a|b| = 4X 2= 2.厂2n又 9 0, n, 9=-.a丄b,且|a|= 2, |b|= 1,假设有两个不同时为零的实数k, t,使得a+ (t3)b与ka+ tb垂直，试求k的最小值.【解】ta丄b,：a b = 0,又由得a+ (t 3)b (* ka+tb)= 0, 一ka? + t(t 3)b? =

21、 0.Ja|= 2, |b|= 1,A-4k+ t(t 3) = 0. k= 4(t2- 3t) = 4(t |)2 19;(t* 0).故当t=2时，k取最小值一1611.(2022淄博高一检测)设向量a, b满足|a|=|b匸1,且|3a 2b匸 7.(1)求a与b夹角的大小；求a+ b与b夹角的大小；求|3a+ b|3a b|的值.【解】 设 a 与 b 的夹角为 9, (3a 2b)2 = 9|a|2+ 4|b|212ab= 7,1又 lal=|b|= 1,Aab = 2,a|b|cos 9= 2,刚1即 cos 9= 2n又9 0, n：a与b的夹角为§.13设 a+ b

22、与 b 的夹角为 a, (a+ b) b= b + a b= 1 + 2 = 2,|a+ b|=；a2+ b2 + 2a b= . 3, |b|= 1, COS a=3a+b b 2 _3|a+ b|b|= 3= 2 ,n又a 0 , n.a+ b与b的夹角为&.(3) (3a+ b)2= 9|a|2 + 6a b+ |b|2= 9+ 3+ 1 = 13,(3a b)2 = 9|a|2 6a b+ |bf = 9 3+ 1 = 7,|3a + b|3a b|13917敖"申备课资源戛扯援国材施戟憾'我ST'聲管f(教师用书独具)备选例题向量a、b不共线，且|2a+ b|= |a + 2b|,求证：(a+ b)丄(a b).【思路探究】证明a+ b与a b垂直，转化为证明a+ b与a b的数量积为零.【自主解答】-12a+ b|= |a + 2b|,(2a + b)2=