平面向量复习提纲

1、平面向量根本知识点及解题方法根本知识点:一. 向量的概念(1)向量的根本要素：大小和方向.向量的表示：几何AB ；字母a ；坐标a = x i y j =x,y.向量的长度：即向量的大小，记作丨a | .*零向量a = 0| a | = o.(5)向量a为单位向量| a |= 1.-_ a 一、与非零向量a同向的单位向量ao 向，叫做a的单位向量。a_与a反向的单位向量为a0向，而a。都与a共线.XiX2yiy2(6)相等的向量：大小相等，方向相同(xi ,yi)=X2,y2(6)相反向量：大小相等，方向相反a b b a a b 0平行向量(共线向量)：记作a / b .平行向量也称为共线向

2、量向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量a bH1-H1-abba的(Xi x2,yi2)I-1-1-1-(a b) ca(b C)加法AB BCAC_4向量rrabab a ( b)的三角形法那么儿x2,yi y2)ABBA,减法OBOA ABa是一个向量，1-8-数 (a) ( )a满足：| a| |a|4F1-乘>0时，a与a同向ta()a a a向a(x, y)-*4<0时，a与a异向(a b)a bb-¥¥r量1-a/ b ab=0 时，a 0.向*1-»量的卜a1-b是一个数ab b a1.!to-ra0或 b 0 时，> &

3、gt;(a) b a ( b) (a b)a bX1X2y$21-L1- 1-I-1-数bab 0(ab) c a c b ca 0且 b 0时，2 a|a |2 即|a|/x2 y2量2.a b | a | b |cos(a, b)|ab| |a|b|积向量的运算分坐标运算和线性运算给坐标就以坐标运算为主； 没给坐标就考虑向量的分解， 分解的基底以夹角和长度的向量为主；向量分解：三角形的中线；起点相同终点共线的三个向量的关系；平面几何题型概述一、向量的有关概念1给出以下命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；假设AB DC,那么ABCD为IIIII平行四边形；假设 a/b,b/c,那么a

4、c；假设a/b,b/c,那么a/c。其中正确命题的个数是_二、向量的线性运算1. 如图，正六边形ABCDEF中, BA cD EF =A. 0B. BEC. ADL CF152. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB 3,BD 1，那么AB AD 2。3色 ABC 中，点D 在 AB 上，CD 平分ACB 假设CBa,CAb, a1 ,b 2 ,12213443那么 CD A a b B a b C ab D ab33335555三、向量的模问题(1) I a|2 = a = a (2) Ift)2 = aS ±2a * 了+胄 *? a=(xj7)a| =1.单位向量R ,色的

5、夹角为60°,那么2e曳 【答案】J32.假设a,bc均为单位向量，且a b 0 (a c) (bc)0，那么|a b c|的最大值为A近 1B1 C运D2【答案】B3.直角梯形ABCD 中，AD /BC ADC 90°55AD2,BC1,P是腰DC上的PA3PB动点，那么的最小值为.【答案】5四、平面向量夹角问题：|rfeI* ,P1、 当是非坐标形式时，求aJ±h的夹角。需求得"及* 4 或得出它们的关系。2、假设"与5勺坐标，直接利用公式注：平面向量'的夹角庄王m1 三点A(2,3),B( 1,- 1) ,Q6,k)，其中 k 为

6、常数假设 |AB|= | Xtf，那么 AB与 AC的夹角的余弦值为()24A- 252.| a| 值范围是(24亠24B 0 或 C.25=2| b|丰0,且关于x)nnA. 0, R B , n3.假设平面向量a, b满足|a|=1 ,1面积为2，那么a与b的夹角 的取值范围是25的方程亠 24D-0 或- 252x + |a|x + a b= 0有实根，那么a与b的夹角的取n 2 n，亍|b| w 1，且以向量b为邻边的平行四边形的。【答案】岸1利用射影定义:五、向量的射影：a在b上的正射影sF>a b 2丨利用数量积运算：料3丨利用图形：a,b/为锐角时等于OA, a,b；为钝角

7、时为 OA例.向量a、b满足|a|= 1, |b|= 2, |2a+ b|= 2,那么向量b在向量a方向上的射影是()六、重要定理、公式1直线I的向量参数方程：A、P、B三点共线 那么OP (1 t)OA tOB2假设A 、M 、B三点共线，AM :MB，m: nAD-Ab m n-AC m n11、3在4ABC 中，M 为 BC 中点 AM §AB ? AC4在4ABC中,AD为/A平分线,AB 那么ACBDCD5平面向量根本定理；如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量 a，有且只有一对实数入i，肚，满足 a =入iei+ Z2 e2例1.如图：在平

8、行四边形 ABCD中, M, N分别为DC, BC的中点,'' 1 II111-AM c,AN d,试用c,d表示AB,AD。6向量的坐标：根据平面向量根本定理，任一向量 a与有序数对 j f(入1,加)对应，当取i , j为单位正交基底其中i , j分别表示与X轴、y轴正方向同向的单位向量时定义(入1，入2)为向量a的平卜面直角坐标。向量的坐标形式是其分解形式 X i y j的简记向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终 点坐标，即假设A(x , y)，那么OA二x,y；当向量起点不在原点时,向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即假设A X1,y 1，B

9、X2,y2,那么 AB =(x 2-x 1 ,y2-y 1)7丨两个向量平行的充要条件a / b , b 工0 a =入b ,a / bX1y2-X2y1=0|a|当a与b同向时，入0 ；当a与b异向时，入0。| X|=，入的大|b|小由a及b的大小确定。因此，当a , b确定时，入的符号与大小就确定了。例.向量 a= 3 , 1，b= 0, -1，c=k, ' 3。假设 a-2b 与 c 共线，那么 k=1。8丨两个向量垂直的充要条件a 丄 b a b =0 ,a 丄 b xiX2+y iy2=02例.ei，e2是夹角为3的两个单位向量，a ei 2e2，b kei e2,假设a b 0，那么5k的值为 .【答案】4七、平面向量的应用1. 0是厶ABC所在平面内一点， 且满足(OB OC) ( OB + OC 2OA) = 0，判断 ABC 形状2. P为厶AB