紧支撑小波框架的稳定性

1、第30卷第3期曲阜师范大学学报Vol.30No.32004年7月JournalofQufuNormalUniversityJuly2004紧支撑小波框架的稳定性丁友征,周家云(第一作者:男,28岁,硕士;山东建筑工程学院数理系,250014,济南市;曲阜师范大学数学系,273165,山东省曲阜市)摘要:讨论了L2(R)上具有紧支撑的小波框架分别对母小波摄动、样品值摄动和多个项同时摄动时的稳定性,得出了一些新的结果,推广了有关文献的结果.关键词:小波框架;紧支撑;稳定性中图分类号:O177.1文献标识码:A文章编号:1001-5337(2004)03-0001-061引言及预备知识设H为可分的复

2、无穷维Hilbert空间.JnJ,A,B>0使xH有Ax2nJ6xn2x2成立,那么称xnnJ是、B、下界.如果A=B,那么称xnnJ为严格框架,如果A=B=1,那么称xn.当小波理论蓬勃发展时,Daubechies,Grossmann和Meyer把连续小波1.后来这一观点在文献2中得到了更深的发展.如今的框架理论已广泛应用于纯粹数学和应用数学的多个领域.-定义1设gL(R),a>1,b>0,令gmn(x)=a22g,m,nZ,其中Z是整数集,如果nmba22gmnm,nZ是L(R)的框架,则称gmnm,nZ是L(R)的小波框架(或仿射框架).其中函数g称为基小波或母小波,实

3、数a,b称为框架参数,a称为膨胀参数,b称为平移参数.n本文分别讨论了母小波g的摄动,a,m的摄动以及多个项同时摄动时小波框架的稳定性.下面定义本文用到的3个算子.bRaR0,定义如下算子:22Tb:L(R)L(R),g|Tbg,其中Tbg(x)=g(x-b),xR;Eb:L(R)2L(R),2g|Ebg,其中Ebg(x)=eibx2g(x),xR;Da:L(R)2L(R),2g|Dag,其中Dag(x)=|a|2意f,gL(R),有-12g.分别称为平移算子、旋转算子、膨胀算子.易知上述算子都是酉算子,且对任a收稿日期:2003-08-03基金项目:国家自然科学基金(19871048)和校科

4、研基金曲阜师范大学学报(自然科学版)2004年2f,Tbg=T-bf,g;f,Ebg=E-bf,g;f,Dag=Df,g.aTbf=E-bf;Ebf=Tbf;Daf=Df.aR其中g是g的傅立叶变换g(x)=g(y)eixy-2dy.接下来给出本文通用的一些符号.函数gL(R),a>1,b>0,R,Z.令mn>0,m,ngmn(x)=DanTmbg(x)=a(p)(q)-n2g(a-nx-mb),x-mb),gmn(x)=DanTbg(x)=am-n2-12g(a-n-1gmn(x)=DnTmbg(x)=ngmn(p,q)g(nx-mb),-12-1(x)=DnT(gbg(x

5、)=nnx-mb).m2主要结果首先给出判定具有紧支撑的小波框架的一个充要条件.2定理1设gL(R),a>1,b>0suppI,I=,+L,是某个实数,且g(R).(1)gmnm,nZ),B为界的框架的充要条件是bA6n|g(ax)|n2(2)gmnm,nZ是L(R)的以A为界的严格框架的充要条件是(3)gmnm,nZ是L(R)的正规框架的充要条件是6n|g(ax)|n26n|g(ax)|n22证明(1)gDanf)I,再由gL(R)知gDanfL(I),令emb任意fL(R),nZ,易知supp(x)=e2imbx122,xI,mZ.那么bemb是L(I)的就范正交基,因此由Pa

6、rseval公式得m,n6|f,gmn|=m,n6|f,DanTmbg|=m,n6|f,Da-nE-mbg|-112m,n6|Danf,Embg|=-1m,n6bn|gDanf,bemb|an=b=b=b-16nngDanf=b-n-n|g(x)D6If(x)|dx-1a6R|f(ax)|g(x)|dxn22-16nRm,n|f(x)|g(ax)|dx.(3)22必要性.由gmnm,nZ是L(R)的以A,B为界的框架知,任意fL(R)有Af=Af226n|f,gmn|Bf=Bf.22由(3)式及f的任意性,即知bA充分性.由bA6n6n|g(ax)|n2Af=Af6mn|f,gmn|=b-1R

7、|f(x)|6n|g(ax)|dxn2Bf=Bf,2即gmnm,nZ是L(R)的以A,B为界的框架.由(1)的证明,易知(2),(3)成立.第3期丁友征等:紧支撑小波框架的稳定性3注1在本定理的证明中需要gL(R),但在充分性的证明中已经隐含了这个条件.事实上,此定理也可推广到多个母小波生成的框架的情形.2推论2设giL(R),i=1,2,k,a>1,b>0,如果supp(gi),+L,是某个实数,且gi(R),那么(gi)mn,i=1,2,km,nZ是L(R)的以bAi2i=16kAi,i=16kBi为界的小波框架的充要条件是6n|gi(ax)|n2受文献3启发,我们得到如下母小

8、波摄动的一个结论.2定理3设gL(R),a>1,b>0,supp(g)I,其中I=,+2(1)gmnm,nZ是L(R)上的以A,B为界的框架;b,是某个实数,如果(2)fL2(R),suppfI,且存在0,1),使1,2|g(x)-f(x)|22222那么fmnm,nZ是L(R)的以21-1+12A,1+1-12n.2证明由条件(1)及定理1知,bAn|g(2n6nn|f(x26n|g(ax)|126nnn2|g(ax)-f(ax)|12(bB)(1+知又12+16n|g(ax)|2+26nn|f(ax)|212n21212+1)(bB)226n|f(ax)|6n|f(ax)|12

9、n21+1-n122126n|f(ax)|n2-6n|g(ax)|-+226n|g(ax)-f(ax)|n2|f(ax)|nn2126nn|g(ax)|n212112nn|g(ax)|26n126n|g(ax)|2126n|g(ax)|nn12-26n|f(ax)|n212(1-故12-1)(bA)6n|f(ax)|212,6n|f(ax)|21-1+1-1+12222由定理1即知,fmnm,nZ是L(R)的以12A,1+1-122B为界的小波框架.注2当条件(2)中的1=0时即为文献4中定理4.(q)2给出gmnm,nZ是L(R)的框架的充要条件.2定理4设gL(R),a>1,b>

10、;0,Z,suppgI,I=,+n是正实数,nL(R),那么(q)2(1)gmnm,nZ是L(R)的以A,B为界的框架的充要条件是,是某个实数,且gbA6n|g(nx)|2曲阜师范大学学报(自然科学版)2004年4q2(2)gmnm,nZ是L(R)的严格框架的充要条件是q2(3)gmnm,nZ是L(R)的正规框架的充要条件是()()66nn|g(nx)|g(nx)|22证明类似于定理3的证明.注3定理中的gL(R)在必要性的证明中是必需的.下面的结论是文献7的定理1.2的特殊情况.2定理5设gL(R),a>1,b>0,suppg,+,是某个实数,如果2(1)gmnm,nZ是L(R)

11、的以A,B为界的小波框架;(2)g(x+h)-g(x)|D|h|存在D>0,>0,使得任意hR,有|nn(3)(0,1)使得|正实数列nnZ满足:存在n-a|a;(4)常数D,使得(bA)120>Dr2|,+12,其中r=mb(a-1)(k+1)2(k+1)k),k0N使得a0(1-1.(q)2那么gmnm,nZ是L(R)的框架,界为b0bA-Dr22(a-1)1n,22a2)k)2j证明由条件(1)及定理1知,bA|ga)|x|r<aj+1,e.xR,任意x0,取j0Z,使得a0|x|.当n>0,n)aj0+1ak0(1-)aj0+1.na(1-n因此,当n&g

12、t;j0+k0时,g(g(ax)=0.故nx)=n26|g(g(ax)|=nx)-nnj+k006n2|g(g(ax)|nx)-nj+k006D|n-a|22-2j2n2|x|2D2nj+k0062-2(r)a2(k+j)ja2n=Dra2222nj+k006a2n=Dra222-2j1-a-2=Dr.2a-12(k+1)因此6n|g(nx)|2126n|g(ax)|n212+6n|g(g(ax)|nx)-n212bB+Dr2,(a2-1)1212(k+1)6n|g(nx)|2126nn|g(ax)|-6nn|g(g(ax)|nx)-212bA-Dr2.(a2-1)1(k+1)q2由定理4知,

13、gmnm,nZ是L(R)的框架,界为()b0bA-Dr22(a-1)1(k+1)2,b0bB+Dr2(a2-1)1(k+1)2.通过下面的两个引理我们得到两个样品值摄动的定理.5>0使|,m,nZ且mn.则引理6如果实数列L,|nnZ满足:存在L,n-n|n-m|eitnnZ是L-r,r的框架,其中0<r<.2由此即知,如果n是满足引理的条件,则e引理762ibtn是L-r,r的框架.其中0<r<12b.2it2,nZ,则en是L-,上的Riesz基.4it2n由定理的证明可知,当实数列nZ是L(Ir)上的Riesz基,其中Ir=nnZ满足定理条件时,那么e如果实

14、数列L<nnZ满足|n-n|第3期丁友征等:紧支撑小波框架的稳定性5,(r+2),r是整数.由此即知,er2ibtn是L2,上的Riesz基.2b2b2定理8设gL(R),a>1,b>0,suppgI,I=-r,r,其中0<r<.如果2b(1)>0,使|,mn;实数列L,|nnZ满足:存在L,n-n|n-m|2(2)gmnm,nZ是L(R)的以A,B为界的框架.p2那么gmnm,nZ是L(R)的框架.()证明由条件(2)及定理1知gL(R)且bA6n|g(ax)|n2e2ibxm22,xI,mZ.由引理6知embmZ是L(I)上的框架,设界为C,D.任意fL

15、(R),nZ,易知gDanf2L(I),因此6m|f,gmn|(p)2=66mmn|f,DanT|bgm2=2|gDanf,e-mb|26=mm|f,Da-nE-mbg|22|gDanfe|,故CgDanf6|f,gmn|DgDanf.又m2(p)2gDaf=2-rr|()dx222因此故(p)6ngDanf22|f(x)|6Rn|(x)|g(x)|dx=2n2|g(ax)|dx=nR|f(x)|g(ax)|dx.22n2nRR|f(x)|6n|g(ax)|dx.2n2bACf=bACf22m,n6|f,gmn|(p)2DbBf=bBDf.2即gmnm,nZ是L(R)的以bAC,bBD为界的框

16、架.2定理9设gL(R),a>1,b>0,suppgI,I=,r是某个整数,如果2b2b(1)实数列L<14;mmZ满足|m-m|2(2)gmnm,nZ是L(R)的以A,B为界的小波框架.p2那么gmnm,nZ是L(R)的框架.()证明令emb(x)=e2ibxm2,xI,mZ,由引理7知embmZ是L(I)的Riesz基.余下的证明同定理8.最后,我们讨论多个项同时摄动时的情况.2定理10设gL(R),a>1,b>0,suppgI,I=-r,r,其中0<r<,如果2b2(1)gmnm,nZ是L(R)的以A,B为界框架;(2)fL2(R),suppfI

17、,且存在0,1)使得1,2|g(x)-f(x)|222n(4)(0,1)使|an,nZ,且正实数列nnZ满足:存在n-a|bk)其中k0N使a0(1-1;1+22222A>Dr,2a-12(k+1)(5)实数列mmN满足定理8的条件(1).p,q2那么fmnm,nZ是L(R)的框架.()(2),根据定理3可得,fmn是L2(R)的小波框架,再由条件(3)、(4)及定理5可知证明由条件(1)、曲阜师范大学学报(自然科学版)2004年6p2p,q2fmn是L(R)的框架,最后根据定理8可得,fmnm,nZ是L(R)的框架.()()2定理11设gL(R),a>1,b>0,suppg

18、I,I=2(1)gmnm,nZ是L(R)的以A,B为界的框架;,r是某个整数,如果2b2b(2)fL2(R),suppfI,且存在0,1),使得12(3)存在D>0,>0,使得任意hR,有|f(x+h)-f(x)|D|h|n(4)(0,1)使|an,nZ,且正实数列nnZ满足:存在n-a|20A>DM,2a-12(k+1)其中M=,2b2bk)1.,k0N使a0(1-(5)实数列mmZ满足定理9的条件(1).p,q2那么fmnm,nZ是L(R)的框架.()(2),根据定理3可得,fmn是L2R)(3)、(4)及定理5可知证明由条件(1)、q2p,qfmn是L(R)的框架,最后

19、根据定理9可知fmnnZ()()注4以上定理将文献7x-f(x)|<|g(x)|推广为两项,即定理10、定理11中的条件(2).参考文献:1DaubechiesI,GrossmannA,MeyerY.PainlessnonorthogonalexpansionsJ.JMathPhys,1986,27:12711283.2DaubechiesI,etal.Thewavelettransform,time-frequancylocationandsignalanalysisJ.IEEETransInformTheory,1990,36(5):9611005.3CazassaPG,ChristensenO.PerturbationofoperatorsandapplicationsofframestheoryJ.JourFourierAnalandAppl,1997,3(5):533557.4ZhangJing.Onthestabilityofwaveletandgaborframes(Rieszbases)J.JFourierAnalandAppl,1999,5(1):105125.5DuffinRJ,SchaefferAC.AclassofnonharmonicFourierSeriesJ.FransAMS,1952,72:341336.6YongR.AInt