第七章有限脉冲响应数字滤波器的设计

1、第七章 有限脉冲响应数字滤波器的设计IIR数字滤波器的优点： 可以利用模拟滤波器的设计结果，而模拟滤波器的设计有大量的图表可查，方便简单。缺点： 相位的非线性，若需要线性相位，则需要用全通网络进行相位校正，非常复杂。 图象处理以及数据传输都要求信道具有线性相位，而有限长单位冲激 响应(FIR)数字滤波器就可以做成具体严格线性相位，同时又可具有任意的 幅度特性。FIR数字滤波器 i.具有严格的线性相位，具有任意的幅度特性 ii.FIR的单位抽样响应是有限长，因而滤波器一定是稳定的iii.FIR滤波器由于单位抽样响应有限长，因而可用FFT来实现过滤信号， 从而大大提高运算效率。IIR滤波器设计中的

2、各种变换法对FIR滤波器设计是不适用的 IIR利用有理分式系统函数 FIR滤波器系统函数只是的多项式 因此，我们最感兴趣的是具有线性相位的FIR滤波器。7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 FIR滤波器的单位冲激响应是有限长的（），其z变换为 这是的(N-1)阶多项式，在有限z平面（）有N-1个零点， 而位于平面原点z=0处，则有(N-1)阶极点。一、线性相位条件 对于长度为N的，传输函数为 式中：为幅频特性，不同于，为实函数，可能取负值。为相频特性 线性相位：是指是w的线性函数，即 ，z为常数 第一类线性相位 若，z为常数，是起始相位第二类线性相位 严格地说，此时不具有线性相位，但以

3、上两种情况都满足群时延是一个常数，即 ，也称这种情况为线性相位。 满足第一类线性相位的条件是：是实序列且对偶对称 即 .(1) 满足第二类线性相位的条件是：是实序列且对奇对称 即(2) （1）第一类线性相位条件证明 将代入得 令，则有 按照上式可以将表示为 将代入上式得： 则幅频特性和相频特性表示如下： 群时延，因此只要是实序列，且对偶对称， 那么该滤波器就一定具有线性相位。 （2）第二类线性相位条件证明 令，则有 同样可表示为 则： 因此，幅频和相频特性如下： 因此证明了当是实序列且关于奇对称时，该滤波器一定 具有第二类线性相位特点。二、线性相位FIR滤波器幅频特性的特点 的长度N取奇数还是

4、偶数，对的特性有影响，因此对于两类 线性相位分四种情况讨论： ，N为奇数或偶数 ，N为奇数或偶数1），N为奇数 幅度函数为 *对于偶对称，有 *对偶对称，满足 因此，中内各项之间满足第n项与第（）项是相等的，所以将两两相等项合并，例与，与等，由于N为奇数，余下中间一项（），其余各项组合后为项，则， （）可表示为： 由此看出，当偶对称，N为奇数时，由于对于 皆为偶对称，所以对也呈偶对称2）偶对称，N为偶数 与N为奇数讨论相同，不同点仅由于N为偶数，没有单独项。 可表示为式中，图，表由此可以看出，当为偶对称，N为偶数时，有以下特点： 当时，故 也就是在处必然有一个零点。 由于对奇对称，所以对呈奇对

5、称，对 呈偶对称 如果一个滤波器在时，不为零，则不能用这种滤波器。（高 通和带阻不适合用这种情况） 3）奇对称，N为奇数.(3) 由于 有 所以，也就是说中间项 是奇对称，而也是奇对称，即 这样相乘的结果，式（3）中第n次与（N-1-n）项的数值相等，可将相等的项合并，合并后为项得 可表示为 式中， 由此可以看出：当为奇对称，N为奇数，有以下特点： 由于在处都为0，因此在 处必为0，也就是在处都为0； 由于在处都呈奇对称，故对 也呈奇对称。4）奇对称，N为偶数此时与第3）种情况一样，但两两合并后共有项，因此有 可表示为： 式中，由此可以看出，当奇对称，N为偶数时，有以下特点： 由于在处为0，所

6、以在 也为0，即在处为0。 由于在处呈奇对称，在处呈偶对称， 故在处呈奇对称，在处呈偶对称。 以上四钟情况的幅度特性，需满足的条件以及相位特性如表 所示，三、线性相位FIR滤波器零点分布特点 第一类线性相位的系统函数满足 第二类线性相位的系统函数满足 综合可知线性相位系统的系统函数满足： 和两者只差N-1个抽样延时的乘因子，如上式，其他 完全相同。 又因它们是有限序列（FIR）的z变换，因而都是z（或）的多项式 （1）若是的零点，即，则也一定是 的零点。 （2）由于是实数，所以零点必然是以共轭对实现的，或者是 共轭镜像的，有以下四种情况。 零点不在实轴上，也不在单位圆上，则为 两对共轭对 零点

7、是实数，则只有两个零点，即 零点是纯虚数且在单位圆上，则有两个零点 零点在单位圆上且为实数，则只有一点为零点 线性相位FIR滤波器零点分布 四、线性相位FIR滤波器网络结构 1）N为偶数，则有 令，则有 因为，式中“+”代表第一类线性相位，“-”代表 第二类线性相位。 .(4.1) 2)N为奇数，则将中间项单独列出 .(4.2)对，共需要N个乘法器对N为偶数如式4.1，仅需要N/2个乘法器对N为奇数如式4.2，仅需要（N+1）/2个乘法器第一类线性相位网络结构7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器这种方法也称傅里叶级数法 一、设计方法 一般先给理想的滤波器频率响应，要求设计一个FIR滤波器、 频

8、率响应来逼近。 设计是在时域内进行，完成 设计FIR滤波器，其是有限长，用有限长去逼近 最有效方法是截断，即加窗，有： 因而窗的形状和长度的选择很关键。 设计低通滤波器的群延时为a，即 表明在通带范围内，的幅度均为1，相位是 (1) 是无限长，要得有限长，一种最简单的方法是取矩形窗，即，有： .(2) 将（1）代入（2）得： 因为，满足第一线性相位特性 下面求出的傅里叶变换，即计算FIR滤波器的频率特性，以便能看出加窗后对频率响应的影响。 (3) 又因： 表示成幅度函数和相位函数 其中 将与代入（3）式得 因此： 是的幅度函数，该式说明滤波器的幅度特性等于理想 低通滤波器的幅度特性与矩形窗幅度

9、特性的卷积。与卷积形成波形 分下面八种情况讨论：矩形窗对理想低通幅度特性的影响 当时，等于(a)和（b）两波形乘积，相当于 在之间的一段积分，将归一化。 时，如图c所示，当时，积分近似为 一半波形的积分，归一化后为。当时，如图（d）主瓣完全在区间之间，而 最大负瓣不在区间，因此，此时在该点有个最大的正峰。，主瓣完全移出积分区间，因此，在该点有个最大的负峰。 在理想特性不连续点附近形成过滤带，过滤带的宽度近似等于 主瓣宽度，即。 通带内增加了波动，最大峰值在处。阻带内产生余振，最大 负峰在处。通带与阻带中波动情况与窗函数的幅度相关。 波动愈快（N加大时），通带、阻带内波动愈快； 的旁瓣直接影响波

10、动的大小。增加截取长度N，则在主瓣附近的窗频率响为 其中。可见，改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，改变w坐标比例和 的绝对值大小，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例（当 然N太小时，会影响旁瓣的相对值） 因此，当截取长度N增加时，只会减少过渡带宽，而不改变肩峰的相对值。 旁瓣大小直接影响波动的大小，N的改变不能改变旁瓣大小，只能改变窗函数的形状，才能改变旁瓣大小。 二、各种窗函数 矩形窗截断造成肩峰为8.95%，N增加，减少，故起伏振荡变密， 最大肩峰为8.95%不变，这种现象称为吉不斯现象（Gibbs）效应。 阻带最小衰减为，这个衰减在工程上不够， 从看出，只有当窗谱逼近单位冲激函数时，即绝大部分能

11、量集中在中点时，才会逼近。 因此，从以上讨论可以看出，一般希望窗函数满足两项要求： 窗谱主瓣尽可能窄，以获得较陡的过渡带 尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度 往往两者不可兼得，用增加猪瓣宽度以换取对旁瓣的抑制。 常用的窗函数有以下几种：1.矩形窗 2.三角形（Bartlett）窗 ，“”在N>>1时成立此时主瓣宽度为。 3.汉宁（hanning）窗，又称开余弦窗 利用傅里叶变换的调制特性，即利用 表示傅里叶变换对，再利用 考虑傅里叶变换为 则得 当N>>1时，所以窗谱的幅度函数为 汉宁窗的幅度函数由三部分组成，使能量更集中在主瓣中，如 图所示，但代价是主瓣宽度加宽到了4.

12、哈明（Hamming）窗改进的开余弦窗 其频域函数为 其幅度函数为： 当N>>1时，可近似表示为 这是一种改进的开余弦窗，主瓣集中了99.96%能量，第一旁瓣的峰值比主值小，但主瓣宽度与汉宁窗相同，仍为。5.布莱克曼（Blackman）窗 其频域函数为 其幅度函数为： 表7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 1.设计原理频率采样法是从频域出发，把给定的理想频响加以等间隔采样，然后以此作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值，具体设计流程有2种：（1）（2） 设待设计滤波器的传输函数用表示，对它在到之间等间隔采样N点，得 方法一： 再对进行IDFT，得到 式中，作为所设计的滤波器

13、的单位取样响应，其系统函数为 .(1) 方法二： 在第三章学过频率域采样定理，曾得到利用频率域采样值恢复原信号 的z变换公式，将插值公式重写如下： .(2) 此式是直接利用频率采样值形成滤波器的系统函数，式（1），（2） 都是频率采样法设计滤波器，它们分别对应着不同的网络结构。式（1）适合 FIR直接型网络结构，式（2）适合频率采样结构。 下面讨论两个问题： 实现线性相位应满足什么条件 逼近误差问题及其改进措施2.用频率采样法设计线性相位滤波器的条件 FIR滤波器具有线性相位的条件是是实序列，且满足 ，在此基础上已推导出其传输函数应满足的条件是： .(1) .(2) ,N为奇数.(3),N为偶

14、数.(4) 在之间等间隔采样N点， ，k=0,1,N-1 将代入上述（1）（4）式得，并写成k的函数 (5) .(6) ,N为奇数(7),N为偶数(8) 式（5），（6），（7），（8）是频率采样式满足线性相位的条件。 说明N等于奇数时对N/2偶对称，N等于偶数时，对N/2奇对称，且。逼近误差及改进措施（1）引起误差原因 对理想进行N点等间隔采样，N为有限值，而的 傅里叶变换的长度为M为无限长，无法满足频域采样定理（） 的要求，因此，逼近必定存在误差，且误差的表现形式如下： 实际上用倾斜线取代的间断点，形成过渡带。 间断点附近有振荡，且振荡最大；特性愈平滑，振荡愈小。（2）增大采样N值，可减小过渡带带宽（）；但无法减小间断点 间附近的振荡。（3）增加过渡点可减小振荡，但副作用是过渡带加宽。 为了减小在通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡，