第一章 量子力学基础课后习题

1、第一章 量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳 070601341林丽云 070601350陈辉辉 070601351唐枋北【11】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？解：困难：（1）黑体辐射问题。黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。况且经典理论还无法说明这两

2、个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。这一结果用经典理论无法解释。（2）光电效应。光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。经典物理学不能解释原子的稳定性问题。原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。定义：从1900年普朗克提出振

3、子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。旧量子论必然会被新的量子论量子力学所替代。【1.2】 电子衍射实验如何证明电子的运动具有波动性？解：在贝尔实验室工作的戴维逊与

4、革末在一个偶然的机会发现，当一束54eV的电子束垂直地射向镍单晶表面时，在与入射束成=50°角的方向上检测到反射的电子数最多。这类似于X射线在晶体表面上反射时产生的衍射图像。考虑第一级衍射，被两相邻晶体所反射的光束的光程差正好等于入射电子的波长，=2dsin；式中=（180°-）/2=65°，为半衍射角，d为镍单晶的发生衍射的晶面间距，由X射线衍射已测得d=91pm，故算得=165pm。又因为电子的动能为54eV，故由=h/2meT可计算得=167pm，两者符合很好。由此证明了电子的运动具有波动性。【1.3】 “任何微观粒子的运动都是量子化的，任何宏观现象都不表现

5、量子化的特征”这样的说法确切吗？解：这样的说法不确切。（1）微观粒子在狭隘的空间里即在受束缚的条件下表现为量子化的特征。而物质质量的量子性是宏观物质量子化的充分条件。（2）在经典力学中，宏观质点在外力作用下有一个确定的可以预测的轨迹。根据坐标可以确定任一时刻质点的位置与速度，由速度可确定此刻质点的动量。因此，质点的运动状态可用坐标和动量来描述。实物微观粒子的运动具有波动性，没有确定的运动轨迹。微观粒子的运动范围又非常小，要精确其坐标x，要求x更小，这就需要采用波长更短的光或其他粒子束显微镜。然而，光或其他粒子的波长越h短，动量p=就越大，在测量过程中因为碰撞导致的干扰会使粒子的动量偏差px增大

6、，因此，微观粒子不可能同时具有确定的坐标与动量。<<c的自由电子，有人作了如下推导： 【1.4】 对一个运动速度h4E51mv=p=mvvv212h3结果是1=1/2，错在何处，请说明理由。解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：E=hv p=h/。式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及力学公式：p=mv，知，1，2和4三步都是正确的。微粒波的波长服从下式：=u/v。式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度，但3式中用了=v/V，显然是错的。在4式中，E=hv无疑

7、是正确的，这里的E是微粒的总能量，但5式中E=mv2/2仅仅是微粒的动能部分，两个能量是不等的，因此5式中也是错的（若将E视为动能，则5式对，4式错）。【1.5】你是怎样理解波函数代表微观体系的状态的？解：由于微观粒子具有波粒二象性，其波是一种统计波几率波，它表示在某一时刻，由波在某点（x,y,z）附近的强度，能够确定粒子出现在该点附近的几率大小，而不能确定粒子在什么时间到达什么地方，即不能用坐标和动量的确定值描写粒子的运动状态。因此，粒子的运动状态只能按几率波的特点来描写，不同时刻，不同地点粒子出现的几率是不一样的。因此微观粒子的状态用波函数（q,t）来描写，其中q为粒子坐标q(x,y,z)

8、.【1.6】用量子力学处理微观体系的一般步骤是什么？什么是量子效应？解：1.量子力学处理微观体系的一般步骤如下：的具体形式与定态薛定(1)写出体现体系特征的势能函数，并且写出能量算符H谔方程。(2)求解体系的薛定谔方程，根据边界条件与归一化条件确定体现波动性函数与对应的体现粒子性的能量E。(3) 绘制能级图、与2等图形，讨论它们的分布特点。(4) 由波函数可求得该状态各种力学量的本征值和平均值，预测与解释体系的性质。(5) 联系实际问题，对所得的结果加以应用2.量子效应是在超低温等某些特殊条件下，由大量粒子组成的宏观系统呈现出的整体量子现象。根据量子理论的波粒二象性学说，微观实物粒子具有波动性

9、，能够形成物质波（或称德布罗意波）。但日常所见的宏观物体，虽然是由服从这种量子力学规律的微观粒子组成，但由于其空间尺度远远大于这些微观粒子的德布罗意波长，微观粒子量子特性被掩盖。因此，在通常的条件下，宏观物体整体上并不出现量子效应。然而，在低温降低或粒子密度变大等特殊条件下，宏观物体的个体组分会相干地结合起来，通过长程关联或重组进入能量较低的量子态，形成一个有机的整体，使得整个系统表现出奇特的量子性质。【1.7】探究原子中电子的运动与足球的运动、气体分子运动的差异。解：根据经典力学中，宏观质点在外力作用下有一个确定的可以预测的轨迹。根据坐标可以确定任一时刻质点的位置与速度，由速度可确定此刻质点

10、的动量。因此，质点的运动状态可用坐标和动量来描述。实物微粒的运动具有波动性，没有确定的运动轨迹。微观粒子的运动范围又非常小，要精确测量其坐标x，要求x更小，这就需要采用波长更短的光或其他粒子束显微镜。然而，光或其他粒子的波长愈短，动量p=h/就愈大，在测量过长中因为碰撞导致的干扰会使粒子的动量偏差 px 增大，因此，微观粒子不可能同时具有确定的坐标与动量。1927，海森堡发现：x·pxh/4y·pyh/4z·pzh/4式中，x 、y 、z为坐标的不确定量，px、 py 、pz为动量的不确定量。式表示坐标的不确定量与同方向动量分量的不确定量的乘积不可能比h/4小。这

11、便是海森堡的不确定关系或测不准关系。如果粒子的位置完全确定时x 趋近于0，则其动量完全不确定，px趋近于；反之，px趋近于0，必有x趋近于。还有一个不确定关系是：E·th/4其中，E是粒子所处的能量状态的不确定量，t是粒子在此能量状态停留的时间，也就是平均寿命。只有粒子在某能量状态的寿命为无限长时，它的能量才是完全确定的。表1-1 不确定关系对于某些粒子运动的影响 质量 速度 x vx原子中电子的运动 气体分子运动 足球的运动10-30kg 106m/s 10-10m 106m/s10-26kg 103m/s 10-10m 103m/s10-1kg 设10m/s 10m 10-24

12、完全可以忽不确定关系的影响不可忽略不可忽略略表中数据告诉我们，原子和分子中的电子局限在限度为10-10m 的空间内运动，速度的不确定值高达106m/s，与其速度同一级数。因此，不确定关系的影响不可忽略。但是，对于宏观粒子，如空气中的尘埃，即使其位置的不确定量x 与其运动范围x相比很小很小，由不确定关系确定的速度的不确定量vx，与vx 相比依然很小很小。说明对于宏观物体，普朗克常数h可近似作零处理，x与vx可以同时精确确定。【1.8】钠在火焰上燃烧,放出黄光,波长为589.593nm与588.996nm(双线),试计算谱线的频率,波长及以kJ/mol为单位的能量.3.0108解：f1=5.088

13、1014s-1 -91589.59310c3.010814-1f2=5.09310s -92588.99610cv1=111=14-1=1.69610cm-9589.593101=1.698104cm-1 -9588.99610v2=2=hc6.62610-34310810-3E1=5.6010-46KJ/mol-9231NA589.593106.0210hc6.62610-34310810-3-46E2=5.6110KJ/mol-9232NA588.996106.02310【1.9】金属钾的临阈频率为5.464×10s-1,用它作光电池的负极,当用波长为300nm的紫外光照射该电池

14、时,发射的光电子的最大速度是多少?其动量和德布罗依波长为多大?解：w0=h=6.62610-345.4641014=3.62010-19J1hcmv2=-w0 21416.62610=343108-312-19 9.10910v=-3.62010-9230010即得速度v=8.12105m/sp=mv=9.10910-318.12105=7.4010-25h6.62610-34-10=8.9510m -25p7.4010【1.10】计算下述粒子的德布罗意波的波长：（1）质量为10-10g运动速度为0.01 m.s-1的尘埃；（2）动能为100eV的中子；（3）电子显微镜中，电子在200kv电压

15、下加速运动。h6.62610-34Js解：（1）=-10=6.62610-22m -1mv10kg0.01ms（2）=hh= p2mE6.62610-34JS21.67510-27Kg1001.62610-19Jev=1=2.86010-12m（3）=hh= p2mE=6.62610-34JS29.10910-311.60210-192105=2.74210-12m【1.11】子弹（质量0.01Kg,速度1000 m.s-1），作布朗运动的花粉（质量10-13Kg，速度1 m.s-1），氢原子中的电子（速度10-6m.s-1）等，速度的不确定量均为速度的10%。判断在确定这些质点位置时，不确定

16、关系是否具有实际意义？解：按不确定关系，诸粒子坐标的不确定度分别为： h6.62610-34Js-34子弹：x=6.6310m -1mv0.01Kg100010%msh6.62610-34Js花粉：x=-13=6.6310-20m -1mv10Kg110%msh6.62610-34Js-9电子：x=7.2710m -316-1mv9.10910Kg1010%ms由计算结果可见，前二者的坐标不确定度与它们各自的大小相比可以忽略，换言之，由不确定度关系所决定的坐标不确定度远远小于实际测量的精确度（宏观物体准确到10-8m就再好不过了）。即使质量最小，运动最慢的花粉，由不确定关系所决定的x也是微不足

17、道的。即意味着，子弹、花粉运动中的波性可完全忽略，其坐标和动量能同时确定，不确定度关系所讨论的问题实际不起作用。而原子中的电子的情况截然不同。由于不确定度远远大于原子本身的大小（原子大小数量级一般为几十到几百pm）,显然不能忽略的，即电子在运动中的波动效应不能忽略，其运动规律服从量子力学，不确定度关系对讨论的问题有实际意义。【1.12】试证：如果粒子运动的不确定量等于这个粒子的德布罗依波长，则此粒子速度的不确定量等于此粒子的速度。解：根据海森堡的测不准关系，知：xp=h依题意可知: x=所以 p=h即 mv=h hp=v v=mm所以此粒子速度的不确定量等于此粒子的速度。【1.13】电视机显像

18、管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度 为速度的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为：这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。【1.14】下列函数,哪个是算符d2/dx2的本真函数?若是,求出相应的本真值.eimx, sinx, x2+y2, (a-x)e-x解：eimx,sinx都是算符d2/dx2的本真函数x=hh=mm2eV/m10%6.62610-34Js10

19、h2meV10%29.10910-31kg1.60210-19C103V=3.8810-10md2eimximdeimx=-m2eimx dxdx其本真值为-m2d2sinxdcosx=-sinx ,其本真值为-1 dx2dx【1.15】=xe-axd222-4ax是算符 dx2的本征函数，求本征值。 解：应用量子力学基本假设（算符）、（本征函数，本征值和本征方程），得： 2d2d222(2-4ax)=(2-4a2x2)xe-axdxdxd2-ax222-ax2=2xe-4ax(xe)dx22d-ax2=e-2ax2e-ax-4a2x3e-axdx ()=-2axe-ax-4axe-ax+4a

20、2x3e-ax-4a2x3e-ax=-6axe=-6a-ax22222因此，本征值为-6a【1.16】eim和sinm是否为算符i解： d的本征函数？若是，求出本征值。 dxdime=ieimim=-meimdd所以eim是算符i的本征函数，本征值为-m。d d而isinm=i(cosm)m=imcosmcsinmdd所以sinm不是算符i的本征函数。di【1.17】试求在长度l=200pm的一维势箱中运动的电子，（1）n=2跃迁到n=1时发射光子的能量、波长和波数v；（2）n=3时，电子的x2、x、px与p2的 值。解：（1）h24h23h23(6.6310-34)2-18E=E1-E2=-

21、=-=-=-4.510J222-31-1228ml8ml8ml89.1110(20010)E=4.510-18J6.6310-343108=hc/E=4.4210-8m -84.510=11=2.2610-7m-1 -84.4210（2）x2l23(20010-12)23=(1-22)=(1-22)=1.3110-20 332n23l20010-12x=1.010-10m 22px=0n2h32(6.6310-34)2-4722 p=2=2.4710J/m-1224l4(20010)2【1.18】三维势箱中运动的电子，其薛定谔方程的解为：n,nxy,nz(x,y,z)=nyynxxnz8sin

22、sinsinzabcabc（1）试证明波函数已归一化；（2）在a=b=c=100pm条件下，试求坐标为x=20pm，y=30pm，z=50pm处边长为x=y=z=0.1pm微体积元中发现电子分别处于nx=2,ny=1,nz=1 和nx=1,ny=1,nz=2时的概率；（3）在立方势箱中试求能量最低的前5个能量值，计算每个能级的简并度。nyybc8a2nxx22nzzsindxsindysin0c0abcabc 解：（1）*d=2nyyb12nxa12nz81abcx-sinx0y-sin0z-sinzc0abc24nxa24nyb24nzc=8abc=1abc222故该波函数是归一化的。nyy

23、82nxx22nzzP1=sinsinsindxdydzabcabc（2）8(100)350.052x30.052y2zsinsin229.9549.95100100100 =20.0519.95sin2=y11002y30.058x11004x20.05z11002z20.05-sin-sin-sin19.9519.9529.95622410022210022210010=80.11000.11000.1100-(0.5827-0.5929-(0.9501-0.9520-(-0.0031-0.0031)682424102=8(0.05+0.0406)(0.05+0.0151)(0.05+0.

24、0493)6108-4-95.8610=4.6810106 =同理可得112态的概率：P2=6×10-15。211与112是简并态，为什么概率P2<P1呢?这是因为一维势箱n=2时，x=l/2处为一节点，即概率密度最小。本题，P2是112的概率，在z50pm(为c边长的l/2处)，nz2时的情况下，概率密度为0。由概率相乘原理可知，在x20pm，y=30pm，z50pm附近的微体积内的概率应是很小的，几乎趋向于0。对于211态，nx2，x=20pm不是a边的l/2处，该处不出现节点，所以P2<P1。2P1=xyz=82xyzsin2sin2sin2xyzabcabc822