第五章平均指标和变异指标

1、第五章平均指标和变异指标【学习目标】通过本章教学使学生熟练掌握简单算术平均数、加权算术平均数、调和平均数、几何平均数及众数、中位数的计算和运用；掌握全距、平均差、标准差、离散系数以及成数的标准差的计算和运用；学会利用平均指标和变异指标结合对社会经济现象进行分析；学会利用组平均数补充说明总平均数的原理对社会经济现象进行对比分析。【教学重点和难点】 重点：加权算术平均数的计算及标准差的计算和运用。难点：根据组距数列计算众数和中位数。【案例导入】 在劳动竞赛中，某车间两个班组（均有5个工人）生产同一种产品。某月两组工人产量数量如下表：工人编号12345合计平均甲组（件3002502001501001

2、000200乙组（件）2082052022001851000200现如果只能评选一个组为先进组，如何确定？分析：经计算两组的平均日产量都是200件/人，单从计算结果无法做出评判。可结合变异指标来比较质量好坏。经计算甲组标准差为0.71件，乙组标准差为7.97件。这说明在劳动效率相同时，乙组劳动生产率的稳定性好于甲组，故应评乙组为先进组。第一节平均指标一、平均指标的概念及种类（一）概念平均指标是同类现象总体内各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件下数量差异抽象化的代表性水平指标。（二）种类 算术平均数（）数值平均数 调和平均数（） 几何平均数（）平均指标 众数（）位置平均数 中位数（）二、算术

3、平均数（一）基本公式： 算术平均数= 总体标志总量 / 总体单位总量（二）计算方法：1.简单算术平均数 公式：= 使用条件：只掌握总体各单位标志值，而未掌握总体标志总量； 在变量数列中，各组次数相等。【案例5-1】某工厂某班组11名工人，各人日产量为15、17、19、20、22、22、23、23、25、26、30，求平均日产量。解： 件2.加权算术平均数 公式：= = 使用条件：在变量数列中，各变量值的次数不等。【案例5-2】 日产零件数（件）工人人数（人）比重（%）201221482261223816241224251020267142724合计50100求平均日产量。解：= = =(20*

4、1+21*4+22*6···+27*2)/(1+4+6···+2)=20*2%+21*8%+···+27*4%=23.88（件/人） 在分组资料中，各组变量值用组中值代替。（三）两者的关系当 f1=f2=···=fn=f 时，（四）算术平均数的重要性质1.算术平均数与总体单位总量的乘积等于总体标志总量。2.各变量值与算术平均数的离差之和等于0。3.各变量值与算术平均数的离差的平方和为最小值。三、调和平均数（一）概念：调和平均数是标志值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数。（

5、二）简单调和平均数【案例5-3】 1.某种蔬菜价格早上0.5元/斤，中午0.4元/斤，晚上0.25元/斤，现早、中、晚各买一斤，求平均价格。 解：= =（0.5+0.4+0.25）/3=0.38元/斤2. 某种蔬菜价格早上0.5元/斤，中午0.4元/斤，晚上0.25元/斤，现早、中、晚各买一元，求平均价格。解：先求早、中、晚的购买斤数，即：早1/0.5=2斤，中1/0.4=2.5斤，晚1/0.25=4斤。 =（1+1+1）/（1÷0.5+1÷0.4+1÷0.25）=3/8.5=0.35元/斤实际上，就是用下列的简单调和平均数公式： （三）加权调和平均数【案例5-4

6、】某种蔬菜价格早上0.5元/斤，中午0.4元/斤，晚上0.25元/斤，现早、中、晚各买2元、3元、4元，求平均价格。解：h=（2+3+4）/（2÷0.5+3÷0.4+4÷0.25）=0.33元/斤 公式： h=（四）调和平均实质上是算术平均数的变形 当已知分母、未知分子，求平均指标用加权算术平均数； 当已知分子、未知分母，求平均指标用加权调和平均数。（五）简单调和平均数和加权调和平均数的关系 当m1=m2=m3=···=mn=m，则：h=四、几何平均数（一）概念：n个变量值连乘积的n次方根。（二）使用条件： 变量是相对数，且连乘积有意

7、义。（三）简单几何平均数 G=【案例5-5】某企业生产某一产品，要经过铸造、金加工、电镀三道工序，各工序产品合格率分别为98%、85%、90%，求三道工序的平均合格率。解：G=90.8%（四）加权几何平均数G= 【案例5-6】某投资银行25年的年利率分别为1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率。G=108.6%-100%=8.6%五、众数和中位数（一）众数（） 1.定义：众数是总体中出现次数最多的标志值。 适用条件：总体单位的变量值分布相当集中，变量值中两极数值差距很大。2.计算方法：（1）单项数列【案例5-7】 生产件数（件）工人人数（人）80610017140

8、34180123203合计72求众数。 解：=140件（2）组距数列 步骤： 确定众数组求的近似值。公式：（下限公式）（上限公式）【案例5-8】农民家庭年人纯收入分组（元）农民户数（户）向上累进次数向下累进次数1000-120024024030001200-140048072027601400-16001050177022801600-1800600237012701800-200027026406302000-220021028503602200-240012029701502400-260030300030合计3000-求众数。解： 元或元（二）中位数（）1.概念：将总体单位标志值按大小顺

9、序排列，居于中间位置的标志值就是中位数。2.计算方法：（1）未分组资料【案例5-9】1.有9个数字，分别是2、3、5、6、9、10、11、13、14，中位数为第5个，即为9。（奇数项）2.有10个数字，分别是2、3、5、6、9、10、11、13、14、15，中位数为第5个和第6个的平均值，即为9.5。（偶数项）（2）分组资料单项数列：需将次数进行累计，中位数为居于中间位置对应的标志值。【案例5-10】某工厂工人的日产零件中位数计算表日产零件数（件）工人人数（人）向上累计次数266631101332142734275436187241880合计80计算中位数。解：中位数位置=80/2=40，按向

10、上累计次数，到34所在组为54，到32所在组为27，故中位数应在34所在组，即中位数为34。 组距数列：需用近似公式。公式：（下限公式）（上限公式）【案例5-11】 资料如案例11，求中位数。 解：元或元第二节变异指标一、标志变异指标的概念及作用（一）概念：标志变异指标是综合反映总体各单位标志值差异程度的指标，反映各标志值的变动范围或离散程度，又称为离散指标或标志变动度。（二）标志变异指标和平均指标的区别 1.都是一个代表值 2.说明问题不同 3.反映总体分布状态不同（三）作用 1.衡量平均数代表性的大小。【案例5-12】 某车间有两个班组，每组五人，按日产量（件）排序如下： 甲：5 20 4

11、5 85 95 乙：48 49 50 51 52 计算结果，=50件 结论：标志变异指标数值大，平均数代表性就小； 标志变异指标数值小，平均数代表性就大。 2.反映社会经济活动过程的协调性、均衡性，以及产品质量的稳定性。【案例5-13】 两个班组生产同一种产品，某月上旬产品实际完成数量如下表：日期12345678910合计日平均甲组（台）8891011121213172012012乙组（台）1212121313131314141413013经计算甲组日产量的标准差为3.6878台，乙组日产量的标准差为0.7746台，标准差系数为甲组为31%，乙组为6%，可看出乙组差异小，生产均衡性好，生产效率

12、和管理水平高。二、全距（R）（一）概念及计算 全距是总体各单位标志值中最大值和最小值之差，又称为极差。 组距数列中的计算公式：【案例5-14】 某班级学生外语成绩中，最低分为48分，最高分为96分，全距=96-48=48分【案例5-15】某车间40名工人日产量如下表：日产量（件）工人数（人）50-60260-70870-801680-901090-1004合计40求全距。解：=100-50=50件（二）特点 计算方便，易懂；指标粗糙。三、平均差（A.D）（一）概念及计算公式 平均差是各标志值对其算术平均数的离差绝对值的平均数，或各标志值与其算术平均数的平均离差。 计算公式： 未分组资料：（简单

13、平均差） 分组资料：（加权平均差）【案例5-16】 资料如案例13，计算其平均差。 解： =32件 =1.2件【案例5-17】平均数计算表 日产量（公斤）工人人数（人）组中值（公斤）xXf20-301025250-171717030-4070352450-7749040-5090454050+3327050-6030551650+1313390合计20084000401320计算平均差。解：公斤 公斤（二）特点 能够准确地综合反映总体离差大小；取绝对值方式不适用于代数变形处理，实际应用受到限制。四、标准差（） 标准差是总体中各单位标志值与算术平均数离差平方的算术平均数的平方根。 计算公式： 未

14、分组资料：（简单标准差） 分组资料：（加权标准差）【案例5-18】 资料如案例13，计算甲班组的标准差。解：=35.21件【案例5-19】 资料如案例16，计算标准差。解：=7.12公斤五、离散系数（）（一）概念： 变异指标和算术平均数的比值。有全距系数、平均差系数和标准差系数等类型，其中标准差系数（）最常用。 标准差系数计算公式：（二）应用场合1.平均数不相等【案例5-20】标准差系数计算表厂名工人劳动生产率（元/人）标准差（元）标准差系数甲3200012003.75乙160008005.00比较甲、乙平均劳动生产率的代表性高低。分析：甲厂的标准差乙厂的标准差，但不能由此断言，甲厂工人劳动生产率的代表性小于乙。在这种情况下，只有通过标准差系数才能比较，才能得出恰当的结论。因为它消除了不同数列平均水平的影响。甲厂