第五章_密度矩阵与量子统计

1、高等量子力学 高一波第五章 密度矩阵与量子统计能够统一描写混合系综和纯粹系综的方法是1927年Von Neumann提出的密度算符方法。大量观测后的平均值为 可观察量A=Tr AA()为密度算符，Tr( )为对矩阵求迹。 式中，=，且=Cnn可对一组基n展开 通常，n*=CnCm则，和 nmnm=CnCmn,m=Tr=n=n=n=CC*mAAAmmAAnnnmmAnmnnn,mn,mn,m()+=-简单证明！ 密度算符为厄密算符，)=1（证明过程！满足归一化条件，Tr(！）5.1D 二态体系的密度矩阵与极化 10 取基矢为+= ,-= 0 1，由密度算符的厄密性，可知密度矩阵中含有3个独立实参

2、数。简单说明！ 密度算符可写成下面的形式1=1+P 2()其中，P为极化矢量。P=Tr()利用公式，AB=AB+i(AB)，可证：21 1=1+P=1+2P+PP441=1+2P+P2+i(PP)41=1+2P+P2， 41=2+2P+P2-141+P2-1=42()()()()()高等量子力学 高一波P=1-(纯粹系综)-下面举例说明： P<1-(混合系综)110=+= （1） 完全极化的密度矩阵，()10= 0 00 10120110101 00=2 00=2 01+1 0-1=2(1+Pz)P=1 =（2） 完全非极化，11110+-= P=0 22201（3） 在z表象看x轴的完

3、全极化，1(+-=Sx+Sx+=2)1111101Px=1 (+-)= = 1+ 2112102（4） 部分极化。混合系综有75%的z和25%的x组成， W(Sz+)=0.75,W(Sx+)=0.25， 1173101 22 8= + 1114004 2281313 4=1+ 44=1+ 4113 - 044418=181414 10 03101014+ =1+ 0-1+4 103 14- 04471 4 2 1 4=则7 41 4315可得，Pz=,Px=P=Px2+Pz2=-极化度 448任一个2维矩阵可以分解为Pauli矩阵之和。§5.2 密度矩阵的运动方程在Schroding

4、er表象中，密度算符=初始时刻，(0)=(0(0)t时刻，(t)=(t(t),=H-master equation或Liouville equation t与Heisenberg方程的相似性？在自旋1/2的电子二态体系中， 运动方程，i 高等量子力学 高一波1 H=-B=gBB2 1=-gB2 1=1+P，则运动方程变为， 令2 1P ,=H,i =i i tt2t1 11=gBB,P=gBBP-PB=igBBPH,442 BP=BP+i(BP) PB=PB+i(PB)=PB-i(BP) dPgB =BPdt ()()()()()()x'' 连续本征值下的密度矩阵，x'

5、§5.3极化和散射5.3A 散射的S矩阵依赖于自旋的情形自旋1/2的入射粒子波函数（二分量形式）：C1+eikzinc=eikz ,inc=1,inc C2， C1 C=C1+C22可以推测，相应的运动方程在无限远的渐进解形式为， ikzeikrS11S12 S。 e+rSinc,S= S2221这里，散射振幅S依赖于角度(,)和动量k。通解的形式为：C11+C22分析过程：ikzeikrS11S12C1 e+ rS21S22C2CeikrS11S12C1ikz1=e C+r S CS222221ikreS11C1+S12C2+S21C1+S22C2=eikz(C1+C2)+rikz

6、ikzeikreikr ()()=C1 e+S+S+Ce+S+S11212 1222 rr高等量子力学 高一波从上式分析可知，两个特解为：eikr1e+(S11+S21)r ikre2eikz+(S12+S22)rikz则方程的通解为，C11+C22，通过对称性分析，确定常数。假设能够产生与自旋有关的散射的哈密顿量为，p2H=+V(r)+W(r)L 2式中，第二项为中心势，第三项为“自旋-轨道耦合”与J=L+ 假设散射势存在球对称性，则H的各个分量都对易。 2则1,2为Jz的本征态，相应的本征值为,-（这里，2个基决定了本征值只22有两个，则Jz的本征态只能有2个，量子数只有2个）。 注意：J

7、z改变转动，不影响径向运动。本征方程为,11 Jz1=1= Lz+z1= i+2z22Jz2=-2211ikzeikr i+2z e+(S11+S21)r= 1ikzeikr e+(S11+S21) 2r1S11eikr1eikr1S21eikr1eikrikz1left=+e+S11+-S21ir22rir2r1ikz1eikr1eikrright=e+S11+S2122r2r1S11=0S11S11()S22S2()i1S21=S21S21=eiS12=e-ii以上可知，S的对角项只是的函数，与无关。高等量子力学 高一波考虑体系H在空间反演下保持不变：对y-z平面的空间反演算符是Pxx，

8、规则，Px:x-x,x:。eikr则空间反演不变要求，在Pxx作用下，12。经分析，ee,不rikzikz变，Px:,-，则可得S11=S22=g(),S21(-,)=-S12(,)=e-ih()g()综合以上讨论，S矩阵为S= -h()eih()e-i=g()I+ih()(ycos-xsin) g()引入单位矢量，kikfn=(-sincos0),ki=(00k),kf=(ksincoskikf推导过程如下，S=g()I+ih()ng()= -h()ei0h()e-i=g()I+h() -cos-ising()0-i01 ()=g()I+ih() cos-ih i0 10sin=g()I+i

9、h()(-xsin+ycos)n=(-sin,cos,0)kikf=k2i0j0sincos kikfkikfksinsinkcos)cos-isin0，=g()I+ih()ycos-ih()xsinj1coscos0)=k2sinn0)=k2sin(-sincossinsin这里，=k2(-sinsinkkn=2if=ksin上式表明，入射的非极化束流经散射后的极化束流方向为n方向，这是宇称守恒定律的结果。由上面的讨论可知，给定散射振幅S，可计算给定方向(,)上散射束流的强度，并由渐近解给出微分散射截面，即 d+=(Sinc)Sinc=incS+Sinc-有自旋。 dd2=f()-无自旋。

10、d高等量子力学 高一波d+22=incS+Sinc=g()+h()-与极化方向n无关。 d解Schrodinger方程，则可得g(),h()的具体形式。 散射后束流的极化方向在微分散射截面中没有显示。5.3B 极化束流引起散射的左右不对称+密度矩阵，inc=incinc d+=incS+Sinc=TrincincS+S=TrincS+S d 1采用极化矢量的记法，则有inc=1+Po。 2微分散射截面，()()d11=Tr 1+PoS+S=TrS+S+PoS+S d22()(),kk()这里，P的纵向极化分量为Pkkiz-axis， 0iiioki横向极化分量为P0-(P0ki)kiy-axi

11、s，则，P0=0(P0-(P0ki)ki) (P0ki)ki+(Pk)kP0=P0-(P0ki)kiy0iizS=(gI+ihn) S+=g*I-ih*n22 S+S=gI+ig*h(n)-igh*(n)+h(n)(n)22 =gI+h(n)(n)+ig*h-gh*(n) 22 =gI+h(nn+i(nn)+ig*h-gh*(n)22=g+hI+ig*h-gh*(n)()(Tr(SS)=2g+()2+h2)+ 2 2*PoSS=gIPo+h+igh-ghPo(n) 2 2*=gPo+h+igh-ghPon+iPon()()()()高等量子力学 高一波cosP0n=P0-(P0ki)kiP0n=

12、i0-sinjP0-(P0ki)kicosk(P0ki)kcos-sin(Pk)ksinP-(Pk)k =-(P0ki)k0i00ii(Pk)kP0=0P0-(P0ki)ki0iin=(-sincos0)()P0=0(P0-(P0ki)ki) (P0ki)kid22cos =g+h+ig*h-gh*P0-(P0ki)kid从这里可以看出，散射强度对角度的依赖关系， )(I(,)=a()+b()cos这是实验上发现的极化粒子束流被散射后呈现左右不对称的表示，2当极化矢量P0=0,b()=0,I(,)a()=f()，就退回到无自旋粒子散射的情况。2009-11-11上课内容§5.4 量子

13、统计学简介用“熵”刻画纯粹系综和混合系综间的深刻区别。S=-kBTr(ln)这里，ln=ln1-(1-)=-n(1-) nn=11当=(diag)为对角矩阵时，S=-kB所以S0是半正定的。对于纯粹系统，S=1。 对于混合系综，S=-kBnnnlnnn。每一个矩阵元均为0nn1的数，=kNln Nn=1N11BlnN-体系状态的混乱程度。纯粹系综-所有成员均处于同一个量子态，熵取最小值0。完全混乱的系综-每一个量子态等几率被占据，熵取最大值S=kBlnN。物理上，在给定Hamiltonian下，体系的熵将单调上升，达到热平衡。-=0 t有密度算符运动方程可知，,H=0-可同时对角化，取H的本征

14、态为基。 7高等量子力学 高一波Hn=Enn,nn表示在能量En的本征态中体系得占据几率。 取熵的极值，S=0,(nnlnnn)=(lnnn+1)nn=0 =TrH=E,Tr()=两个约束条件，H()nn=1nn=Lagrange不定乘子法，取变分，HEn=0,Tr()=nn=0。则+Tr()=0(nnlnnn)+H(lnnn+1)+En+=0nn=ex(p-En-1)由归一化条件， (ln(lnnnnn+1)nn+nnEn+nn=0+1)+En+nn=0nnnn=1,nn=exp(-En-1)nexp(-E-1)=1exp(-1)exp(-En)=1nexp(-1)=1exp-Ennnn=e

15、xp(-En)exp-Enn利用上式和完备性关系，可得=nnmm=nnmm=nnnnmm=nnnnn,mn,mn,mn11-Enenn=ZnZ1=e-HZ=Z=e-En=Tre-Hn-Henn=n1-HennZn ()式中，=1。 kBT111=，表0，则上式变为nn=kBT1Nn当体系处在高温极限下，存在T=示此时的体系处于完全混乱的状态，不同的本征态被等几率地占据。高等量子力学 高一波5.4B 配分函数Z=Tre-He-F式中，F=-kBTlnz定义为Helmholtz自由能。则相应的密度矩阵可以写为，()=e(F-H)一般情况，可观察量的系综平均值为-H=1Tre-H=1n=1e-Enn

16、An=1e-EnA AAneAnZZnZnZn()体系的内能，1lnZe-H=-1TrH=-Z=-ZZeBz=cSz 例子：电子在z轴磁场中运动，体系的Hamiltonian为H=-B=2mc-H11ee-H=-Tr HU=E=TrHZZ ()()1-H=e选取Sz的本征态为体系的基，则密度矩阵为，Z配分函数Z=Tre经计算，c- 21 = eZ 00 c e2(-H)=e- c2 c+e2Sx=Sy=0,Sz=e1-c2c+e2 -e 2 c2-e2 c22 e-e c=- c c=-tanh-222e2+e22 c- c定义单电子的磁化强度，-单电子的磁化率，=eSz=B mce ctan

17、h 2mcB2 c2在高温极限下，0,e1+ c，则2T c c c1+- 1-2e e e2 21222= 2mcB c c2mcB24m2c2BkBTkBT1+ 1-221,2，-居里定律。 T此时，磁化率为>0,高等量子力学 高一波5.4C 巨配分函数（体系粒子数不守恒）体系粒子数算符N的系综平均为，N=Tr(N)=-约束。巨正则系综：体系与周围环境交换能量和粒子。取熵的极值方程，S=0Tr(ln)=0，加上约束，+TrH-N=0(nnlnnn)+H()(lnnn+1)+En+=0nn=exp(-En-1)Tr(ln+H+-N)=0(ln+H+-N)=0ln+ln+H+-N=0ln

18、+ +H+-N=0(ln+1+H+-N)=0ln+1+H+-N=0ln=-1-H-+N=exp(-(H-N)-1)=1exp(-(H-N)ZG1(ln(lnnnnn+1)nn+nnEn+nn-N=0+1)+En+nn=0式中，ZG=Tre-(H-N)-巨配分函数。定义热力学势，=-kBTlnZG密度矩阵为=exp(-H+N)（通常称为化学势）玻色-爱因斯坦统计：这里考虑全同玻色子组成“理想气体”，体系Hamiltonian为 ()H=iai+ai=iniii式中，ai,aj=ij-玻色子体系总粒子数，N=则巨配分函数为， +n。 ii高等量子力学 高一波()ZG=Tre-(H-N)=Tr exp-nii ii)= exp-(i-)ni=Tri(exp-(i-)n i=1i=1ni=0()=1-e-(i-)i=1()-1计算理想气体的热力学势，=-kBTlnZG=kBTln1-e-(i-)i=1能级i上的平均粒子数，()-(i-) =kTln1-eBi=1()i=ai+ai=-n1(B)1 lnZG=0=i-iie-11ei-11eii=高温极限，ni-kBT1e1 T对于相同的温度，能量越高，平均粒子数越大。 i=低温极限，n-1i=e-(i-)对于相同的温度，能量越低，平均粒子数越大。费米子情况：服从Fermi-Dirac统计。 反对易关系，ai,