模拟滤波器转换为数字滤波器的软件实现(课程设计)

1、模拟滤波器转换为数字滤波器的软件实现（课程设计）摘 要脉冲响应不变不变法会的主要缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响特性。而双线性变换则不会 ，该法是通过对H (s)进行常规z变换，求得数字滤波器的系统函数H (z)。而W和w之间的非线性关系使数字滤波器频响曲线不能保真的模仿模拟滤波器的频响曲线形状，这是双线性变换的缺点。双线性变换公式是双线性变换的根本，经过公式替换，即是从s平面映射到z平面的过程，进而得出幅频响应曲线。关键词：双线性变换；双线性变换公式；幅频曲线目 录1 课题描述. 12.双线性变换原理. 12.1 双线性变换. 12.2 小结. 42.2.1双

2、线性变换的优点. 42.2.2 双线性变换法的缺点. 53.双线性变换具体运用. 63.1双线性变换的公式运用. 63.2频响曲线及性能分析. 6总 结. 8参考文献. 91 课题描述为了克服脉冲响应不变法所存在的缺点，提出采用双线性变换法。该法的基本思想是首先按给定的指标设计一个模拟滤波器，其次将这个模拟滤波器的系统函数H (s)，通过适当的数学变换方法把无限宽的频带，变换成频带受限的系统函数 H (s)。最后再将H (s)进行常规z变换，求得数字滤波器的系统函数H (z)。2.双线性变换原理2.1 双线性变换脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换zes

3、T的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。为了将s平面的j轴压缩到s1平面j轴上的-一段上，可通过以下的正切变换实现：W=C·tançæW1Tö÷ è2ø （ 2.1.1）这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。经过这样的频率变换，当1由即映射了整个j轴。时

4、 ， 由，第1页 共9页图2.1 双线性变换的映射关系将这一关系解析延拓至整个s平面，则得到s平面平面的映射关系：1-e1æs1Tös=c·thç (2.2.2) ÷=cs1T1+eè2ø-sT再将s1平面通过标准变换关系映射到z平面，即令C=2/T ，最后得S平面与Z平面的单值映射关系：s=21-zT1+z-1-1 。 通常取 （2.1.3）z=1+(T/2)s1-(T/2)s （2.1.4）以上两式称为双线性变换。现在我们再来看一看常数C的取值方法：双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个j)

5、对应于Z平面单位圆的一周，S平面的=0处对应于Z平面的=0处，对应 即数字滤波器的频率响应终 止于折迭频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。第2页 共9页上面讲到，用不同的方法确定待定常数C，可以使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。也就是说，常数C可以调节频带间的对应关系。确定C的常用方法有两种：保证模拟滤波器的低频特性逼近数字滤波器的低频特性。此时两者在低频处有确切的对应关系，即W=c·tan(w/2) （2.1.5）因为和都比较小，所以有：W»cw/2 (2.1.6)另外，根据归一化数字频率与模拟频率的关系，以有=cT/2，所以，c=2/

6、T ，所保证数字滤波器的某一特定频率，如截止频率wc=WcT，与模拟滤波器的某一待定频率c严格对应，即：Wc=c·tan(wc/2)=c·tan(WcT/2) （2.1.7）c=Wc/tan(WcT/2) (2.1.8) 当截止频率较低时，有，所以一般取。 现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始所提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S平面到Z平面映射变换的二个基本要求： 当时，代入式（1.1.4）得：s=21-eT1+e-jw-jw=2Tjtan(w/2)=jW (2.1.9)即S的虚轴映射到Z平面正好是单位圆。代入z表达式，得：第3页 共9页z=(1+sT(1-sT/

7、2)+jWT/2/2)-jWT/2 （2.1.10）z=（2.1.11） 当 时，z<1; 时，z>1 ，即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。看前面双线性变换的映射关系图。2.2 小结2.2.1双线性变换的优点与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：靠频率的严重非线性关系得到S平面与Z平面的单值一一对应关系，整个j轴单值应于单位圆一周，这个关系就是式所表示的，其中和为非线性关系。如图图中看到，在零频率附近，接近于线性关系，进一步增加时，增长变得缓慢， (终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出

8、现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。图2.2 双线性变换的频率非线性关系第4页 共9页2.2.2 双线性变换法的缺点与的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。例如，一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器。若则另外，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后，滤波器就不再有线性相位特性。虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带

9、内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。置换过程：æ21-z-1öH(z)=Ha|21-z-1=Haç-1÷s=T1+zèøT1+z-1 (2.2.2)频响:H(ejw)=H(jw)|aW=2Ttanw2wöæ2=Haçjtan÷ 2

10、øèT（2.2.3）这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。第5页 共9页3.双线性变换具体运用3.1双线性变换的公式运用第6页 共9页hw2=freqz(f,e,wd);运行结果得幅频曲线：图3.1 幅频曲线由图可得：对脉冲响应不变法，采样频率Fs越高(T越小)，混叠越小；对双线性变换法，无频率混叠，但有非线性失真。第7页 共9页总 结通过本次课程设计，我不仅对自己所学的理论知识有所巩固，而且也提高了自己综合运用所学理论知识独立分析和解决实际问题的能力。也掌握了双线性变换基本原理和运用。这次项目中也存在各种意想不到的问题，快速及时地解决，锻炼了我们随机应变，冷静处理的良好素质。观摩其他组的项目实验，巩固以往知识的同时开阔了我们的思路，提高了大家的技术层次。总之，在这次课程设计中，我们以饱满的热情，认真的态度，完成了这个设计。感谢李老师,此设计的完成离不开李老师的认真细致的指导，其耐心的讲解，解决了我们在设计中的很多问题，在此感谢！第8页 共9页参考