西安交大西工大 考研备考期末复习概率论与数理统计第三章假设检验

1、 第第 三三 章章 假 设 检 验一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性为了推断总体的某些性质质, 提出某些关于总体的假设提出某些关于总体的假设. 假设检验就是根据样本对所提出的假设作假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断出判断: 是接受是接受, 还是拒绝还是拒绝.例如例如, 提出总体服从泊松分布的假设提出总体服从泊松分布的假设; . ,0假设等假设等的的期望等于期望等于对于正态总体提出数学对于正态总体提出数学又如又如 3.13.1节节 假设检

2、验假设检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法论分析相结合的做法,其基本原其基本原理就是人们在实际问题中经常理就是人们在实际问题中经常采用的所谓采用的所谓小概率原理小概率原理:“一个一个小概率事件在一次试验中几乎小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的是不可能发生的”.下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合实例来说明假设检验的基本思想.假设检验问题是统计推断的另一类重要问题假设检验问题是统计推断的另一类重要问题. 生产流水线上罐装可生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱乐不断地封装

3、，然后装箱外运外运. 怎么知道这批罐装怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？可乐的容量是否合格呢？把每一罐都打开倒入量杯把每一罐都打开倒入量杯, 看看容量是否合于标准看看容量是否合于标准. 这样做显然这样做显然不行！不行！罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间. 每隔一定时间，抽查若干罐每隔一定时间，抽查若干罐 . 如每隔如每隔1小时，小时，抽查抽查5罐，得罐，得5个容量的值个容量的值X1，X5，根，根据这些值来判断生产是否正常据这些值来判断生产是否正常. 如发现不正常，就应停产，找出原因，如发现不正常，就应停产，找出原因，排除故障，然后再生产

4、；如没有问题，就排除故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定时间再抽样，以此监督生产，继续按规定时间再抽样，以此监督生产，保证质量保证质量.通常的办法是进行抽样检查通常的办法是进行抽样检查. 很明显，不能由很明显，不能由5罐容量的数据，在把罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产握不大的情况下就判断生产 不正常，因为不正常，因为停产的损失是很大的停产的损失是很大的. 当然也不能总认为正常，有了问题不能当然也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失及时发现，这也要造成损失. 如何处理这两者的关系，假设检验面如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾对的就是这种矛盾. 在正常

5、生产条件下，由于种种随机因素在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下毫升上下波动波动. 这些因素中没有哪一个占有特殊重要这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位的地位. 因此，根据中心极限定理，假定每因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的罐容量服从正态分布是合理的.现在我们就来讨论这个问题现在我们就来讨论这个问题.罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在350毫升和毫升和360毫升之间毫升之间.它的对立假设是：它的对立假设是：称称H0为原假设（或零假设，解消假设）；为原假设（或零假设，解消假设）；称称H1为备选

6、假设（或对立假设）为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，在实际工作中，往往把不轻易往往把不轻易否定的命题作否定的命题作为原假设为原假设. 0 H0：（ = 355）0 H1：0 这样，我们可以认为这样，我们可以认为X1,X5是取自正态是取自正态总体总体 的样本，的样本，),(2 N是一个常数是一个常数. 2 当生产比较稳定时，当生产比较稳定时，现在要检验的假设是：现在要检验的假设是：那么，如何判断原假设那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？是否成立呢？较大、较小是一个相对的概念，合理的界较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处？应由什么原则来确定？限在何处？应由什么原则来确定？由于由于

7、是正态分布的期望值，它的估计量是是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值样本均值 ，因此可以根据，因此可以根据 与与 的差距的差距XX 0 来判断来判断H0 是否成立是否成立.X- |0 较小时，可以认为较小时，可以认为H0是成立的；是成立的；当当X- |0 生产已不正常生产已不正常.当当较大时，应认为较大时，应认为H0不成立，即不成立，即- |X|0 问题归结为对差异作定量的分析，以确定问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质其性质.差异可能是由抽样的随机性引起的，称为差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差抽样误差”或或 随机误差随机误差这种误差反映偶然、非本质的因素所引起这种误差

8、反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动的随机波动. 然而，这种随机性的波动是有一定限然而，这种随机性的波动是有一定限度的，如果差异超过了这个限度，则我们度的，如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了就不能用抽样的随机性来解释了.必须认为这个差异反映了事物的本质差别，必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常即反映了生产已不正常.这种差异称作这种差异称作“系统误差系统误差” 问题是，根据所观察到的差异，如何问题是，根据所观察到的差异，如何判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实不正常？生产确实不正常？即差异是即差异是“抽样

9、误差抽样误差”还是还是“系统误差系统误差”所引起的？所引起的？这里需要给出一个量的界限这里需要给出一个量的界限 .问题是：如何给出这个量的界限？问题是：如何给出这个量的界限？这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中基本上不会发生中基本上不会发生 .下面我们用一例说明这个原则下面我们用一例说明这个原则.小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中基本上不会发生中基本上不会发生.这里有两个盒子，各装有这里有两个盒子，各装有100个球个球.一盒中的白球和红球数一盒中的白球和红球数99个红球个红球一个白球一个白球99个个另

10、一盒中的白球和红球数为另一盒中的白球和红球数为99个红球和一个白球个红球和一个白球99个白球个白球一个红球一个红球99个个小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中基本上不会发生中基本上不会发生.现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球里是白球99个还是红球个还是红球99个？个？小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中基本上不会发生中基本上不会发生.我们不妨先假设：我们不妨先假设：这个盒子里有这个盒子里有99个白球个白球.现在我们从中随机摸出一个球，发现是现在我们从中随机摸出一个球，发现是此时你如何判断这个假设是否成立呢？此时你如何判断这个假设是否

11、成立呢？假设其中真有假设其中真有99个白球，个白球，摸出红球的概率只有摸出红球的概率只有1/100，这是小概率事件这是小概率事件.这个例子中所使用的推理方法，可以称为这个例子中所使用的推理方法，可以称为小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设使人怀疑所作的假设.带概率性质的反证法带概率性质的反证法不妨称为概率反证法不妨称为概率反证法.它不同于一般的反证法它不同于一般的反证法 概率反证法的逻辑是：如果小概率事件概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设握否定原

12、假设. 一般的反证法要求在原假设成立的条件下一般的反证法要求在原假设成立的条件下导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾，则完全绝对地否定原假设则完全绝对地否定原假设. 现在回到我们前面罐装可乐的例中：现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？的结论呢？ 在假设检验中，我们称这个小概率为在假设检验中，我们称这个小概率为显显著性水平著性水平，用，用 表示表示. 常取常取 的选择要根据实际情况而定。的选择要根据实际情况而定。 .05. 0,01. 0, 1 . 0 , 的无偏估计量

13、的无偏估计量是是因为因为 X , | , 00不应太大不应太大则则为真为真所以若所以若 xH),1 , 0(/,00NnXH 为真时为真时当当 , /|00的大小的大小的大小可归结为衡量的大小可归结为衡量衡量衡量nxx 于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k,提出假设提出假设H0： = 355 H1： 355， ,/ 00Hknxx拒绝假设拒绝假设时时满足满足当观察值当观察值 .,/ ,00Hknxx接受假设接受假设时时满足满足当观察值当观察值反之反之 ),(/1000NnXUH 为真时因为当由标准正态分布分位点的定义得由标准正态分布分位点的定义得,/2uk .,/,/02/0

14、02/0HunxHunx接受接受时时拒绝拒绝时时当当 也就是说也就是说,“2| uU ”是一个小概率事件是一个小概率事件. 如果如果H0 是对的，那么衡量差异大小的是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域某个统计量落入区域 W(拒绝域拒绝域) 是个小概是个小概率事件率事件. 如果该统计量的实测值落入如果该统计量的实测值落入W，也就是说，也就是说， H0 成立下的小概率事件发生成立下的小概率事件发生了，那么就认为了，那么就认为H0不可信而否定它不可信而否定它. 否则否则我们就不能否定我们就不能否定H0 （只好接受它）（只好接受它）.这里所依据的逻辑是：这里所依据的逻辑是： 不否定不否定H0并

15、不是肯定并不是肯定H0一定对，而一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定以否定H0的程度的程度 .所以假设检验又叫所以假设检验又叫“显著性检验显著性检验”1. 原假设与备择假设原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为假设检验问题通常叙述为: ,下下在显著性水平在显著性水平 . , 10称为备择假设称为备择假设称为原假设或零假设称为原假设或零假设 HH . : , : 0100 HH检验假设检验假设二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念2. 拒绝域与临界点拒绝域与临界点如在前面实例中如在前面实例中, uu,|/2 拒绝域为.2/2/ uu及及临界点

16、为临界点为为为拒绝域拒绝域, 拒绝域拒绝域拒绝原假设拒绝原假设H0,则称区域则称区域1W当检验统计量取某个区当检验统计量取某个区域域中的值时中的值时,我们我们1W的边界点称为的边界点称为临界点临界点.3. 两类错误及记号两类错误及记号 假设检验是根据样本的信息并依据小概率原假设检验是根据样本的信息并依据小概率原理，作出接受还是拒绝理，作出接受还是拒绝H0的判断。由于样本具有的判断。由于样本具有随机性，因而假设检验所作出的结论有可能是错随机性，因而假设检验所作出的结论有可能是错误的误的. 这种错误有两类这种错误有两类:(1) 当原假设当原假设H0为真为真, 观察值却落入拒绝域观察值却落入拒绝域,

17、 而而作出了拒绝作出了拒绝H0的判断的判断, 称做称做第一类错误第一类错误, 又叫又叫弃弃真错误真错误. 犯第一类错误的概率是显著性水平犯第一类错误的概率是显著性水平. (2) 当原假设当原假设H0不真不真, 而观察值却落入接受域而观察值却落入接受域, 而作出了接受而作出了接受H0的判断的判断, 称做称做第二类错误第二类错误, 又叫又叫取伪错误取伪错误. . |0001HPHHPH接受接受或或不真不真接受接受 当样本容量当样本容量 n 一定时一定时, 若减少犯第一类错误若减少犯第一类错误的概率的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大则犯第二类错误的概率往往增大.犯第二类错误的概率记为犯第二类错误

18、的概率记为 若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加除非增加样本容量样本容量. 三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤 ; H H ,1假设及备择提出原假设根据实际问题的要求01. ; W, .1确确定定拒拒绝绝域域给给定定显显著著性性水水平平3.H ,.0的判断的判断或者接受或者接受作出拒绝作出拒绝中中拒绝域拒绝域根据统计量值是否落入根据统计量值是否落入15W ; 计量的值根据样本观察值计算统. 4;,.确定它的概率分布成立的条件下在选择适当的检验统计量02H四、小结四、小结假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤.真实情

19、况真实情况(未知未知)所所 作作 决决 策策接受接受H0拒绝拒绝H0H0为真为真正确正确犯第犯第I类错误类错误H0不真不真犯第犯第II类错误类错误正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类错误一、单个正态总体一、单个正态总体均值与方差均值与方差的检验的检验)U ,检验的检验关于为已知(.21),( 2 N体体在在上上节节中中讨讨论论过过正正态态总总: ,02的检验问题的检验问题关于关于为已知时为已知时当当 ; :H , :H 00 10假设检验)1 , 0(/00NUHnXU成立时，成立时，当当，选择统计量选择统计量 第第3.23.2节节 正态总体均值与方差的正态总体均值与方差的假设检验假设检验

20、对于给定的对于给定的检验水平检验水平 10 由标准正态分布分位数定义知，由标准正态分布分位数定义知， 2/uUP因此，检验的拒绝域为因此，检验的拒绝域为 :,2211 uuxxxWn 其中其中 u为统计量为统计量U的观测值。这种利用的观测值。这种利用U统计量统计量来检验的方法称为来检验的方法称为U检验法。检验法。，或或者者记记为为21 uuW 例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的切割每段金属棒的平均长度为平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产今从一批产品中随机的抽取品中随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:7

21、.102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的长度假定切割的长度X服从正态分布服从正态分布, 且标准差没有且标准差没有变化变化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?).(10 解解 0.15, , ),( 2 NX因为因为 , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要检验假设要检验假设 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 则则,516. 0 查表得查表得,645. 105. 0 u645. 1516. 0|/|05. 00 unx于是于是 . , 0认为该机工作

22、正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05. 0 )( ,. 22检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t . , , ),(22 显著性水平为显著性水平为未知未知其中其中设总体设总体NX . : , :0100 HH检验假设检验假设 , , 21的样本的样本为来自总体为来自总体设设XXXXn , 2未知未知因为因为 . / 0来确定拒绝域来确定拒绝域不能利用不能利用nX , S n的无偏估计是因为22*, S n来取代故用* . / *0来作为检验统计量来作为检验统计量即采用即采用nSXTn ),(/*100 ntnSX ,Hn为真时当 )1(/2/*0ntnSX

23、Pn根据根据第一章第一章3知知,由由t分布分位数的定义知分布分位数的定义知)1(/2/*01 ntnsxtWn拒绝域为拒绝域为 在实际中在实际中, 正态总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以所以我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检检验法来检验关于正态总体均值的检验问题验问题.上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法. 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度服从正态分假定切割的长度服从正态分布布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化?)05. 0( 解解 , , ),( 22

24、均为未知均为未知依题意依题意 NX , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要检验假设要检验假设,15 n,48.10 x,05. 0 ,.*2370 ns nsxtn15237051048100/./* ,327. 0 查表得查表得)14()1(025. 02/tnt 1448. 2 ,327. 0 t . , 0无显著变化无显著变化认为金属棒的平均长度认为金属棒的平均长度故接受故接受 H例例2 , , ),( 22均为未知均为未知设总体设总体 NX , : , : 20212020 HH要检验假设要检验假设: , ,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn . 0为已知常数为已

25、知常数其中其中 ,:22*的无偏估计的无偏估计是是分析分析 nS , 设设显显著著水水平平为为)( ,.检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知223 ),1()1(2202* nSnn根据根据第一章第一章3知知,0为真时为真时当当H.)1(202*2作为统计量作为统计量取取 nSn分布分位数的定义知分布分位数的定义知由由为真时为真时当当20, H,2)1()1(22/1202* nSnPn,2)1()1(22/202* nSnPn指它们的和集指它们的和集拒绝域为拒绝域为: )1( 202 sn)1(22/1 n )1( 202 sn或或. )1(22/ n )02. 0( 解解 ,5000:

26、,5000: 2120 HH要检验假设要检验假设,26 n,02. 0 ,500020 ,314.44)25()1(201. 022/ n例例3 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000 (小时小时2) 的正态分布的正态分布, 现有一现有一批这种电池批这种电池, 从它生产情况来看从它生产情况来看, 寿命的波动性有寿命的波动性有所变化所变化. 现随机的取现随机的取26只电池只电池, 测出其寿命的样本测出其寿命的样本方差方差 =9200(小时小时2). 问根据这一数据能否推断问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显

27、著的变化这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?2 2*ns,524.11)25()1(299. 022/1 n )( * 2021nsn,524.11拒绝域为拒绝域为: )( * 2021nsn或. 4.3144 46)( * 50009200251202nsn因为 , 4.3144 , 0H所以拒绝所以拒绝 可认为这批电池的寿命的波动性较以往的可认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化有显著的变化.二、两个正态总体均值与方差的检验二、两个正态总体均值与方差的检验1.已知方差时两正态总体均值的检验已知方差时两正态总体均值的检验,),( , 的样本为来自正态总体设211211NXXX

28、n , : , : 211210HH需要检验假设需要检验假设:两两样样本本独独立立的的样样本本为为来来自自正正态态总总体体 ,NYYY222n211),(, , 21均为未知均为未知又设又设, ,2221已知已知,上述假设可等价的变为上述假设可等价的变为 0, : 0, : 211210HH 利用利用u检验法检验法检验检验.,),(),(独立独立且且由于由于YXnNYnNX22221211),(22212121nnNYX故故222121nnYXU/ )(取检验的统计量为取检验的统计量为),(,100NUH统计量统计量成立时成立时当当 . 取显著性水平为取显著性水平为故拒绝域为故拒绝域为|/ )

29、(|2/222121 unnyx |/ )(|2/222121unnYXP由标准正态分布分位数的定义知由标准正态分布分位数的定义知?,.,:):(,有有显显著著差差异异烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量是是否否问问两两种种取取种种的的方方差差为为种种的的方方差差为为互互独独立立且且相相均均服服从从正正态态分分布布两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量据据经经验验知知分分别别为为单单位位测测得得尼尼古古丁丁的的含含量量化化验验例例进进行行的的中中各各随随机机抽抽取取重重量量相相同同从从含含量量是是否否相相同同化化验验尼尼古古丁丁的的两两种种烟烟草草卷卷烟烟厂厂向向化化验验室室送送去去例例0508

30、52631232827242126272451BABAmgBABA,两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量分分别别表表示示和和以以解解BAYX.,(),()独立独立且且则则YXNYNX222211211210:,:HH欲检验假设欲检验假设由所给数据求得由所给数据求得现已知现已知.,585212221nn27424yx,.6121585527424222121./ )(nnyxu.,.|,.,./029616121961050Huu故接受原假设故接受原假设由于由于查正态分布表得查正态分布表得对对2.未知方差时两正态总体均值的检验未知方差时两正态总体均值的检验 利用利用t检验法检验法检验具有相同

31、方差的两正态总检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设体均值差的假设. . ,NYYY,N XXX nn注意两总体的方差相等且设两样本独立样本的为来自正态总体的样本为来自正态总体设),(,),(,2221212121 , ,SS ,YX 1均为未知方差是样本分别是总体的样本均值又设222221,*211210 ：，：检验假设检验假设HH . 取显著性水平为取显著性水平为,11)(21nnSYXTw .)()(*21121222211 nnSnSnS 2w其中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt根据根据第一章第一章3知知,引入统计量引入统计量t对给定的对给定的 )2(11)(212/2

32、1nntnnSYXPw使得使得).2(212/ nntt分分布布的的分分位位表表可可查查得得由由 故拒绝域为故拒绝域为)2(11)(212/211 nntnnsyxWw例例2 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品, 从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台

33、机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异? 假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分别服从正态分布分别服从正态分布和和两总体两总体依题意依题意 , 221均为未知均为未知 )05. 0( . : , : 211210 HH需要检验假设需要检验假设, 81 n,925.19 x,.*216021 s, 72 n,000.20 y,.*397022 s,.)()(*5470278171822212 sss w且,160. 2)13( 05. 0 t查

34、表可知查表可知|7181| wsyxt,160. 2265. 0 , 0H所以接受所以接受即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异. ,),( , 的样本为来自正态总体设211211NXXXn , 222121均为未知均为未知又设又设 , : , : 222222 1110HH需要检验假设需要检验假设: ,),(,的样本为来自正态总体222211NYYYn ., ,*2221SS其修正样本方差为且设两样本独立3.两正态总体方差的检验两正态总体方差的检验 , 0为真时为真时当当H),()(*22222121SESE , 1为真时为真时当当H),()(*222

35、22121SESE , 1为真时为真时当当H 有偏大或偏小的趋势有偏大或偏小的趋势观察值观察值2*22*1SS, *2222112221ksskss 或故拒绝域的形式为 :的值由下式确定和此处21kk).,(,*112122210 nnFSSH 为真时当根据根据第一章第一章3知知 22*22*112*22*1kSSkSSP为了计算方便为了计算方便, 习惯上取习惯上取,212*22*1 kSSP222*22*1 kSSP . ),( , ),( /2/111121212121 nnFknnFk故得或),(/*112122221 nnFssF检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为上述检验法称为上述检

36、验法称为F检验法检验法.),(/*1121212221 nnFssF解解 某砖厂制成两批机制红砖某砖厂制成两批机制红砖, 抽样检查测量砖抽样检查测量砖的抗折强度的抗折强度(公斤公斤), 得到结果如下得到结果如下:;.,., :;.,., :*83530846327102211 SynSxn第二批第二批第一批第一批已知砖的抗折强度服从正态分布已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验试检验:(1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? (2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差异异?)05. 0( 均取均取(1) 检

37、验假设检验假设:2221122210:,: HH例例3, 检验法检验法用用F, 0为真时为真时当当H),( *11212221 nnFSSF统计量统计量查表知拒绝域为查表知拒绝域为)1, 1(212/ nnFF ),1, 1( 212/1 nnFF 或或,.,., *44149640810222121 SSnn由由,82. 4)7 , 9(025. 0 F,283. 0)9 , 7(1)7 , 9(025. 0975. 0 FF,837. 244.1496.40 F得得,82. 4837. 2283. 0 显然显然. , 0有有显显著著差差异异认认为为抗抗折折强强度度的的方方差差没没所所以以接

38、接受受 H(2) 检验假设检验假设:211210:,: HH, 检验法检验法用用t, 0为真时为真时当当H),2(11 2121 nntnnSYXtw统计量统计量.)()( *221121222211 nnSnSnSw其中其中查表知拒绝域为查表知拒绝域为)2(212/ nntt ,1199. 2)16()2810( 025. 0025. 0 tt由由,418. 5,3575.291644.14796.4092 wwSS245. 1474. 0418. 55 .303 .2711 21 nnSYXtw得得,1199. 2 . , 0显著差异显著差异认为抗折强度的期望无认为抗折强度的期望无所以接受

39、所以接受 H三、基于配对数据的检验（三、基于配对数据的检验（t t检验）检验） 有时为了比较两种产品，两种仪器，或两有时为了比较两种产品，两种仪器，或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对（配对）的件下做对比试验，得到一批成对（配对）的观测值，然后对观测数据进行分析。作出推观测值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常称为配对分析法。断，这种方法常称为配对分析法。 例例 比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今从甲，乙两种轮胎中各随机地抽取甲，乙两种轮胎中各随机地抽取8个，其中各取个，其中各

40、取一个组成一对。再随机选择一个组成一对。再随机选择8架飞机，将架飞机，将8对轮对轮胎随机地搭配给胎随机地搭配给8家飞机，做耐磨性实验家飞机，做耐磨性实验飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单位：位：mg）数据如下：数据如下：轮胎甲：轮胎甲：4900，5220，5500，6020 6340，7660，8650，4870轮胎乙；轮胎乙；4930，4900，5140，5700 6110，6880，7930，5010试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？试问这两种轮胎的耐磨性有无显著差异？解：用解：用X及及Y分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量分别表示甲，乙两种轮胎的

41、磨损量假定假定 ，其中，其中 ，欲检验假设，欲检验假设2221），（），（222211NYNX211210：，：HH下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）实验数据配对分析：记）实验数据配对分析：记 ，则，则 ，由正，由正态分布的可加性知，态分布的可加性知，Z服从正态分布服从正态分布 。于是，对于是，对 与与 是否相等的检验是否相等的检验YXZ2212 ）（，）（ZDddefZE)2 ,(2 dN12t就变对就变对 的检验，这时我们可采用关于一的检验，这时我们可采用关于一个正态总体均值的个正态总体均值的 检验法。将甲，乙两种轮检验法。将甲，乙两种轮胎的数据对应相减得胎的数据对应相减得Z的

42、样本值为：的样本值为：0d-30，320，360，320，230, 780，720，-140计算得样本均值计算得样本均值 81221022007/)(iinZZS3208181 iiZZ83. 2102200/83208/ )0(2 nSZt对给定对给定 ，查自由度为，查自由度为 的的 分布分布表得临界值表得临界值 ，由于，由于 ，因而否定，因而否定 ，即认为这种轮胎的耐磨性，即认为这种轮胎的耐磨性有显著差异。有显著差异。718 05. 0 365. 2)7(025. 0 tt0H365. 283. 2 t（2）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数据看作来自两

43、个总体的样本观测值，这种方据看作来自两个总体的样本观测值，这种方法称为不配对分析法。欲检验假设法称为不配对分析法。欲检验假设211210 ：，：HH我们选择统计量我们选择统计量）（ 12. 7212121222211)2()1()121nnnnnnSnSnYXTnn （由样本数据及由样本数据及 可得可得5825,6145 yx821 nn7/816339002*11 nS7/810538752*22 nS516. 07 .619/320 t对给定的对给定的 05. 0 ，查自由度为，查自由度为16-2=14的的t分布分布 145.214216025.02/ tt 表，得临界值表，得临界值 ，由

44、于，由于 14145.2516.0025.0tt ，因而接受，因而接受 0H，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。以上是在同一检验水平以上是在同一检验水平 05.0 的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到的分析结果，方法不同所得结果也比一致，到底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为我们将我们将8对轮胎随机地搭配给对轮胎随机地搭配给8架飞机作轮胎耐架飞机作轮胎耐磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此而且不同的飞机也对试验数据产生干扰，因此试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。干扰