(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第七章不等式1第1讲不等关系与不等式教学案

1、第七章 不等式知识点最新考纲不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式14一元二次不等式及其解法二元一次不等式 ( 组) 与简单的线性规划问题之间的联系，会解一元二次不等式 .了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题 .基本不等式abab掌握基本不等式aba b2( a， b 0) 及其应用 . 2( a， b0)绝对值不等式会解 | x b| c，| xb| c，| x a| | x b| c，| x a| | x b| c 型不等式了解不等式 | a| | b| | a b

2、| | a| | b|.第 1 讲 不等关系与不等式1. 实数大小顺序与运算性质之间的关系a b>0? a>b； a b 0? a b； a b<0? a<b2. 不等式的基本性质(1) 对称性： ab? b a；(2) 传递性： ab， b c? a c；(3) 可加性： ab? a c b c；a b， cd? a c b d；nn(4) 可乘性： ab， c 0? ac bc， a b0， c d 0? acbd；(5) 可乘方： ab 0? a b ( n N， n1) ；(6) 可开方： ab 0? n a n b( nN， n 2) 3不等式的一些常用性质(

3、1) 有关倒数的性质1 1a a>b， ab>0?< .bb.< a<0<b? 1 1aa bd a>b>0， 0<c<d?> .c 0<a<x<b 或 a<x<b<0?(2) 有关分数的性质若 a>b>0， m>0，则1 1 1a< < .b xb b mma <a ；a a mb >b m；b b mma>a ( b m>0) a a mmb<b ( b m>0) 疑误辨析 判断正误 ( 正确的打 “” ，错误的打 “

4、15;” )(1) 两个实数 a， b 之间，有且只有 a>b， a b， a<b 三种关系中的一种 ()a(2) 若b>1，则 a>b.()(3) 一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(4) 一个非零实数越大，则其倒数就越小()(5) 同向不等式具有可加性和可乘性()(6) 两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母()答案： (1) (2) ×(3) ×(4) ×(5) ×(6) 教材衍化 221( 必修 5P74 练习 T3 改编) 若 a，b 都是实数， 则“ab>0”是“ a b >0”的

5、() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件22解析：选 A.a b>0?a>b? a>b? a >b ，22但由 a b >0? /ab>0.112. ( 必修 5P75A 组 T2 改编) 5 21( 填“ >”“ <” 或“ ” ) 6 51解析：分母有理化有 52， 5 2656 5，显然 5 2<65，所以1<1.5 265答案： <3. ( 必修 5P75B组 T1 改编) 若 0<a<b，且 a b 1，则将 a，b， 大排列为a，12ab，222b 从小到解析：令 a12

6、， b ，33则 2ab 2×124× ，22133945a b ，9991 522故 a<2ab<2< a b <b. 9122答案： a<2ab< 易错纠偏 <a b <b 2(1) 乱用不等式的相乘性致错；(2) 命题的必要性出错；(3) 求范围乱用不等式的加法原理致错1. 若 a>b>0， c<d<0，则下列结论正确的是()aA. cbd>0B.ab <0cda bC. >d ca bdD.<c解析：选 D. 因为 c<d<0，所以 0< d< c

7、， 又 0<b<a，所以 bd< ac，即 bd>ac，又因为 cd>0，所以bd cd>acb a cd， 即 > .cd2. 设 a，b R，则“ a>2 且 b>1”是“ ab>3 且 ab>2” 的条件( 填“充分不必要”“ 必要不充分 ”“ 充要 ”“ 既不充分也不必要 ” ) 解析： 若 a>2 且 b>1，则由不等式的同向可加性可得ab>2 13，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2× 1 2. 即“ a>2 且 b>1” 是“a b>3 且 ab>2”的充

8、分条件； 反之，若“ a12b>3 且 ab>2” ，则 “ a>2 且 b>1” 不一定成立，如 a 6， b . 所以“ a>2 且 b>1”是“ ab>3 且 ab>2” 的充分不必要条件 答案：充分不必要3. 若 < < 2< 2 ，则 的取值范围是解析：由2 << 2 ， 2 < < 2 ， <，得 < <0.答案： ( ， 0)用不等式 ( 组) 表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A， B 两台设备上加工， 在 A， B 设备上加工一件甲产品所需工时

9、分别为1 小时、 2 小时，加工一件乙产品所需工时分别为 2 小时、 1 小时， A， B两台设备每月有效使用时数分别为400 和 500. 写出满足上述所有不等关系的不等式【解】设甲、乙两种产品的月产量分别为x， y，则由题意可知x 2y 400， 2x y 500， x 0， xN， y 0， yN.用不等式 ( 组) 表示不等关系(1) 分析题中有哪些未知量(2) 选择其中起关键作用的未知量，设为x 或 x，y，再用 x 或 x，y 来表示其他未知量(3) 根据题目中的不等关系列出不等式( 组) 提醒 在列不等式 ( 组) 时要注意变量自身的范围某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使

10、用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40 万元、 90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车，根据需要， A 型汽车至少买 5 辆， B型汽车至少买 6 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式解：设购买 A 型汽车和 B型汽车分别为 x 辆、 y 辆，40x 90y 1 000 ，x 5，则 y 6，即*x， y N .4x 9y 100， x 5， y 6， x， y N .*不等式的性质及应用 ( 高频考点 )不等式的性质及其应用是高考命题的热点不等式性质的应用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形式出现主要命题角度有：(1) 判断命题的真假；(2) 与充要条件相结合命题的判断；(3) 求

11、代数式的取值范围 角度一判断命题的真假(1) 设 a， b，c R，且 a>b，则 ()1 1bA ac>bcB. a<2233C a >b(2) 下列命题中，正确的是() A若 a>b， c>d，则 ac>bdB. 若 ac>bc，则 a>bC. 若 a <b ，则 a<bD. a >bc2 c2D若 a>b， c>d，则 a c>b d【解析】(1)A 项， c0 时，由 a>b 不能得到 ac>bc，故不正确；B 项，当 a>0， b<0( 如 a1， b 2) 时，由 a&

12、gt;b 不能得到1 1a<b，故不正确；22C项，由 a b ( a b)( a b) 及 a>b 可知当 a b<0 时( 如 a 2， b 3 或 a2，b22 3) 均不能得到 a >b ，故不正确；3322b 23b 23 22D 项， a b ( a b)( a ab b ) ( a b) · a 2 b2 ，因为 a44b>0 ，3333所以可由 a>b 知 a b >0，即 a >b ，故正确(2)A ：取 a2， b 1， c 1，d 2，可知 A 错误； B：当 c<0 时， ac>bc? a<b，

13、所ab2以 B 错误； C：因为 2< 2，所以 c0，又 c >0，所以 a<b，C 正确； D：取 ac 2，b d 1，cc可知 D 错误，故选 C.【答案】(1)D(2)C角度二与充要条件相结合命题的判断(1)设 a， bR，则 “( a b) ·a2<0”是 “ a<b” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2) 设 a， b R，则 “ a>b” 是“ a| a|> b| b| ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件222【解析】 (1)( a b) &#

14、183;a <0，则必有 a b<0，即 a<b；而 a<b 时，不能推出 ( a b) · a <0， 如 a 0， b 1，所以 “ ( a b) · a <0”是“ a<b”的充分不必要条件(2) 当 b<0 时，显然有 a>b? a| a|> b| b| ；当 b0 时，显然有 a>b? a| a|> b| b| ； 当 b>0 时，由 a>b 有| a|>| b| ，所以 a>b? a| a|> b| b|.综上可知 a>b? a| a|> b| b|

15、 ，故选 C.【答案】(1)A(2)C角度三求代数式的取值范围(2020 · 台州高三模拟 ) 若 ， 满足为 1 1， 1 2 3，则 3 的取值范围【解析】设 3x( ) y( 2) ( x y) ( x 2y) .x y 1，则解得x2y 3，x 1，y 2.因为 1 ( ) 1， 2 2( 2) 6， 两式相加，得 1 3 7.所以 3 的取值范围是 1 ， 7 【答案】1 ，7(1) 判断不等式命题真假的方法判断不等式是否成立， 需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式性质在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑， 找到与命

16、题相近的性质，并应用性质判断命题真假(2) 充要条件的判断方法利用两命题间的关系，看p 能否推出 q，再看 q 能否推出 p，充分利用不等式性质或特值求解(3) 求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径围是已知 ABC的三边长 a， b，c 满足 bc 2a， c a 2b，则b的取值范a解析：因为 bc 2a， c a 2b， c a b，c b a，ab c， b ac，所以问题等价于不等式组a b2a b，c 2ab，c 2ba

17、有解，a b2b a，2b32所以?b a2a b，b a 2b a3 a ，b23即a的取值范围是3， 2 .2323答案：，比较两个数 ( 式) 的大小312(1)设函数 f ( x) x 1 x， x 0 ， 1 证明： f ( x) 1x x ；(2) 若 aln 33， bln 22，比较 a 与 b 的大小4231（ x）1 x1 x44【解】(1) 证明：因为 1x x x 1（ x） 1 x ，由于 x 0 ，1 ，有 1 x1 x 1，231即 1x x x x 1，.所以 f ( x) 1x x2ln 3ln 2(2) 因 为 a 3 0， b2 0，aln 322ln 3

18、ln 9所 以 b3·ln 2 3ln 2 ln 8 log 8 9 1，所以 a b.21设 m ( x 2)( x 3) ，n 2x 5x 9，则 m与 n 的大小关系为 ()A m>nB m<nC mnD m n22解析：选 B. mn x 5x6 (2 x 5x 9)2 x 3<0，所以 m<n. 故选 B.a2b22比较b a 与 ab( a>0， b>0) 两个代数式的大小223322aba b a b ab解：因为b a ( a b) aba2（ ab） b2（ b a）ab（ a b）（ a b ）22ab2（ a b） （ ab）

19、ab.2（a b） （ a b）又因为 a>0， b>0，所以ab0，a2b2故 b a a b. 基础题组练 1. (2020 · 嘉兴期中 ) 若 x y， mn，下列不等式正确的是()A my n xB xm ynC. xynmD x m y n解析：选 A. 对于 B， x 1， y 2，m 1， n 2 时不成立， 对于 C， x 1，y 2，m 1，n 2 时不成立，因为 x y， mn，所以 x m y n，所以 m y nx.A 正确，易知 D不成立，故选 A.2(2020 · 义乌质检 ) 设 0， 2， 0， 2，那么 2 3 的取值范围是

20、()A. 0，5B. ，5666C (0 ， )D. 6 ， 解析：选 D. 由题设得 0<2<， 0 3 6 ，所以6 3 0，所以6 <23 < .3. 设实数 x， y 满足 0xy 1 且 0 x y1 xy ，那么 x， y 的取值范围是 () A x1 且 y 1B 0 x1 且 y 1C 0x 1 且 0 y 1D x 1 且 0 y 1解析：选 C.xy 0，?x y0x 0，y 0.又 xy 1 xy，所以 1 xy x y 0，即 ( x1)( y1) 0，所以x 1，或y 1x1， y1( 舍去) ，所以0 x 1，0 y 1.4. (2020 &

21、#183; 温州校级月考 ) 下列不等式成立的是 ()22A. 若 | a| b，则 a bB. 若 | a| b，则 a2 b222C. 若 a b，则 a b22D. 若 a | b| ，则 a b2222解析：选 D.若| a| b，则 a b ，故 A 错误；若 a b0，则 | a| b，则 a b ，故 B错误；22若 a b 0，则 a b，则 a b ，故 C 错误；22若 a| b| ，则 a b ，故 D正确故选 D.5. 已知 a， b，c R，那么下列命题中正确的是()22A. 若 a b，则 ac bcabB. 若 c c，则 a b3311C. 若 a b且 ab

22、0，则a b2211D. 若 a b 且 ab 0，则 a b33解析：选 C. 当 c 0 时，可知 A 不正确；当 c 0 时，可知 B不正确；由 a b 且 ab 011知 a 0 且 b 0，所以 a b成立， C 正确；当 a 0 且 b 0 时，可知 D 不正确6. 已知实数 a， b， c.()22222A若 | a b c| | a b c| 1，则 a b c <100B若 | a2b c| | a2 b c| 1，则 a2b c2<1002C若 | a b c2| | a bc2| 1，则 a2 b2 c2<10022222D若 | a b c| | a

23、b c| 1，则 a b c <100解析：选 D. 取 a 10， b 10， c 110，可排除选项A；取 a 10， b 100，c 0， 可排除选项 B；取 a 10， b 10， c 0，可排除选项 C.故选 D.7(2020 · 严州模拟 ) 若 a1<a2，b1<b2，则 a1b1 a2b2 与 a1 b2 a2b1 的大小关系是 解析：作差可得 ( a1b1 a2b2) ( a1b2 a2b1) ( a1 a2) · ( b1 b2) ，因为 a1<a2， b1<b2，所以 ( a1a2)( b1 b2)>0 ， 即 a1

24、b1 a2b2>a1b2 a2b1.答案： a1b1 a2b2>a1b2 a2b1118. a，b R， ab 和ab同时成立的条件是11解析：若 ab 0，由 ab 两边同除以ab 得， b a，bb.即11；若 ab 0，则 11aa11所以 a b 和a b同时成立的条件是a 0 b.答案： a 0 b29. 用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm，要求菜园的面积不小于 216 m ，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式( 组) 表示为解析：矩形靠墙的一边长为x m，则另一边长为 30 x m，即 15 xm，根据题意知220<x

25、 18，xx 15 2 216.0<x 18，答案：x 15 x2 21610已知二次函数yf ( x) 的图象过原点，且1 f ( 1) 2， 3 f (1) 4，则 f ( 2)的取值范围是2解析：因为 f ( x) 过原点，所以设 f ( x) ax bx( a0) 1f （ 1） a b， 由得f （ 1） a b，a 2 f （ 1） f （1） ，1b 2 f （ 1） f （ 1） ，所以 f ( 2) 4a 2b 3f ( 1) f (1) 1 f （ 1） 2，又3 f （ 1） 4，所 以 6 3f ( 1) f (1) 10， 即 f ( 2) 的取值范围是 6 ，

26、 10 答案： 6 ， 10332211. (2020 · 嘉兴期中 ) 已知 a， b 是正数，且 a b，比较 a b 与 a b ab的大小3322解： ( a b ) ( a bab )323222 ( a a b) ( b ab ) a ( a b) b ( b a)222 ( ab)( a b ) ( a b)2因为 a b， a0， b 0， 所以 ( a b) ( a b) 0，( a b) ，3322所以 a b a b ab .12. 已知 a b 0， m 0 且 m a. 试比较：bb m与的大小aa mbb mb（ a m） a（ b m）m（ ab）解：

27、a a m因为 a>b>0， m>0.a（a m） a（ am） .所以 a b>0， m( a b)>0.(1) 当 a>m时， a( a m)>0 ， m（ a b）所以 a（ a m）>0，bb m即aa >0，mb b mma故 >a .(2) 当 a<m时， a( a m)<0.m（ a b）所以 a（ a m）<0，bb mb b m即 <0，故 <.aa ma a m 综合题组练 1(2020 · 浙江省名校协作体高三联考) 已知 a>0 且 a 1，则“ab>1”是“

28、 ( a 1) b>0” 的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 C.由 aba>1，>1?或b>00<a<1，b<0；由( a 1) b>0?a 1>0，或b>0a 1<0，b<0，又 a>0 且a 1，所以 “ ab>1”是“ ( a 1) b>0” 的充要条件2. 若 a>b>0，且 ab 1，则下列不等式成立的是()1A. a <ba<log 2( ab)b 2b1B. 2a<log 2( a b)< ab1bC. a b<log 2( ab)< 2aD. log( a b)< a1<ba2b 211b1解析：选 B. 根据题意，令 a 2， b 2进行验证，易知ab 4， 2a8， log 2( ab) 51blog