量子力学 一维无限深势阱

1、§2.6一维无限深势阱（Potential Well）(理想模型) 重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。一、写出本征问题 0,x<a 势场为：U(x)= ,xa区域I（阱内，x<a）方程为： 2d2I(x)=EI(x) (1) 2dx2区域II、III（阱外，xa）方程为： 2d2(+U0)II(III)(x)=EII(III)(x) (2) 22dx其中U0=。波函数的边界条件是：I(a)=II(a)，I(a)=III(a) (3)二、求解本征方程 我们令=2E，

2、 '=2h2(U0E) (4) 2h2d2则：I(x)=EI(x)的解为: 2dx2I(x)=Aeix+Beix x<a (5) (2d22dx2+U0)II(III)(x)=EII(III)(x)的解为: xII(x)=A'e'+B'e'x xa (6)III(x)=A''e'x+B''e'x xa (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: A''=0,B'=0，即： II(x)=A'e'x xa III(x)=B''e'x xa

3、 又由于UU0E)0=，则：'=2(h2=于是：II(x)=III(x)=0 (8) 而I(a)=II(a)，ixI(a)=III(a)；I(x)=Ae+BeixAeia+Beia则：=0Aeia+Beia=0 (9) 于是A、B不能全为零的充分必要条件为： iaeeiaeiaeia=0， 即：sin(2a)=0 解之得：=n2a，n=0,±1,±2,. (10) Aeia将其代入到+Beia=0in/2in/2Aeia+Beia=0，得：Ae+Be=0即:A=(1)n+1B代入I(x)=Aeix+Beix中，得：nCsinx,n=2,4,6,.2a I(x)= x

4、<a (11) Dcosnx,n=1,3,5,.2a其中n=0，(x)=0为平凡解，无意义； n=1,2,.不给出新的解。 而II(x)=III(x)=0 +则利用归一化条件ndx=1得：C=D=21。 a于是体系的本征函数： 1nxn=2,4,6Lsin2aan1 n(x)=cosxn=1,3,5,L2aa0x<ax<a (12) xa又由于=n2E=和，则对应体系本征函数的本征值为: 22ahn222n222= En= (n=1,2,3,.) (13) 2(2a)28a2说明：由于sinnnnnn，则一维无+cosxsin(x+a)=sinxcos2a2a22a2限深势阱

5、中粒子的定态波函数可表述为: 1n(x+a)eiEnt/hsin n(x,t)=a2a0x<axa (14)三、讨论 n222，n=1,2,3,L 1.能量量子化 En=28a其特征为：(1)n叫做主量子数，每一个可能的能量称为一个能级，n=1称为基态，粒子处于能量最低的状态，即：Emin称为零点能；(2)能量是分立的，相邻能级间距： 22=E1=0，8a2(2n+1)22En=En+1En= 28a所以当n时，相邻能级的相对间距：En20 Enn即相邻能级的相对间距随量子数n的增加而减少。当n很大时，能级可视为连续，这是经典极限时的情况，即经典物理可以看成是量子物理中量子数n时的近似。

6、2.波函数n及几率密度n (1)在x>a时，波函数均为零，即粒子被束缚在阱内运动。通常把在无限远处波函数为零的状态称为束缚态（仅在有限范围内运动的状态）。一般来说束缚态所属能级是分立的。(2)n(x,t)是阱内驻波，是两个沿相反方向传播的平面波的迭加。 2 n(x,t)=1nsin(x+a)eiEnt/ha2a(15) inin=c1exp(xEnt)+c2exp(x+Ent)h2ah2a其中c1、c2为两常数。说明：利用形成驻波的条件可导出能级公式，形成驻波的条件是：波所在的空间限度等于半波的整数倍，即L=2a=n，则波矢的大小为：2k=2n =2a于是由De Broglie关系得：

7、p22k2n222En= (16) =228a2(3)节点(波函数的零点)数（P37图）：n有n1个节点（与x轴的交点，即n=0的点且除去两端点）； n2有n个极大值，两极大值之间有一零点，共n1个零点，且n关于y轴对称。(4)n的奇偶性（宇称）n的奇偶性由n决定，当n为偶数时，n为奇函数或奇宇称（odd parity）；当n为奇数时，n为偶函数或偶宇称（even parity）。 即有：n(x)=(1)n1n(x) 2所以n的宇称为(1)n1。(这是由U(x)=U(x)决定的)3.与阱内经典质点的比较(1)经典质点的能量连续，而阱内微观粒子的能量是分立的。微观粒子具有波动性，限制在阱内运动，只能形成驻波，波长必分立，则粒子的能量和动量必分立。(2)经典粒子的能量的最小值为零，它可在零到无穷大之间取值，而阱内微观粒子的能量最小值不等于零。当微观粒子的质量增大且阱宽增大时，过渡到宏观环境，Emin0,E0(能量连续)。(3)经典质点几率分布均匀，而阱内微观粒子几率分布不均匀。 一般来说，经典质点的动量和能量