解答平衡问题时常用的数学方法

1、六、解答平衡问题时常用的数学方法目的要求：进一步学会利用平衡条件求解物理问题，培养学生运用数学工具解决物理问题的能力。知识要点：根据平衡条件解答平衡问题，往往要进行一定的数学运算才能求得结果，在选择数学方法可针对如下几种情况进行：1、物体受三力作用而平衡，且三力成一定的夹角，一般将三力平衡化为二力平衡，对应数学方法：（1）正弦定理：如图6-1所示，则有F1/sin=F2/sin=F3/sin（2）三角形相似：这种方法应用广泛，具体应用时先画出力的三角形，再寻找与力的三角形相似的空间三角形，（即具有物理意义的三角形和具有几何意义的三角形相似）由相似三角形建立比例关系求解。2、多力合成时为了便于计

2、算，往往把这些力先正交分解，根据：FX=0FY=0 求解。3、动态平衡问题：所谓动态平衡问题是指通过控制某些变量，使物体发生缓慢的变化，而这个过程中物体始终处于平衡状态。通常有两种方法分析动态平衡问题：解析法和图象法。解析法：对研究对象形的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数关系，然后根据自变量变化情况而确定因变量的变化情况。图象法：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出若干状态下的平衡图，再由边角变化关系确定某些力的大小及方向的变化情况。（要求学生熟练运用它）*解答物理问题，往往要进行一定的数学运算才能求得结果，有时数

3、学方法选择合适与否对快速解答出物理问题显得相当重要。研究物理平衡问题中，遇上物体受三力作用而平衡，且三力成一定的夹角时，一般可以化三力平衡为二力平衡，其中涉及到力的三角形。如果能找出一个几何意义的三角形与这个具有物理意义的三角形相似时，可以快速利用相似三角形对应边成比例的规律建立比例关系式。可以避免采用正交分解法解平衡问题时对角度（力的方向）的要求例题分析例1，如图1所示，小圆环重G，固定的竖直大环的半径为R。轻弹簧原长为L（L<2R）其倔强系数为K，接触面光滑，求小环静止弹簧与竖直方向的夹角？解析：选取小球为研究对象并对它进行受力分析。受力分析时要注意讨论弹簧对小球的弹力方向（弹簧是被

4、拉长还是被压缩了）和大环对小环的弹力方向（指向圆心还是背离圆心）的可能性。受力图示如图2所示。ACD（力）ACO（几何）G/R=T/2RcosT=K（2Rcos-L）解得=arcosKL/2（KR-G）例2、如图3所示，一轻杆两端固结两个小球A、B，mA=4mB，跨过定滑轮连接A、B的轻绳长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？解析：采用隔离法分别以小球A、B为研究对象并对它们进行受力分析（如图4所示）可以看出如果用正交分解法列方程求解时要已知各力的方向，求解麻烦。此时采用相似三角形法就相当简单。解析：AOE（力）AOC（几何）T是绳子对小球的拉力4mg/T=x/L1（1）BPQ（力）OCB（几

5、何）mg/T=X/L2（2） 由（1）（2）解得：L1=L/5；L2=4L/5例3、如图5所示，轻绳长为L，A端固定在天花板上，B端系一个重量为G的小球，小球静止在固定的半径为R的光滑球面上，小球的悬点在球心正上方距离球面最小距离为h，则轻绳对小球的拉力和半球体对小球的支持力分别是多大？解析：由图6可知：BCDAOBG/（R+h）=N/R=T/LN=GR/（R+h）T=GL/（R+h）可见：解答平衡问题时除了用到正交分解法外，有时巧用“相似三角形”法，可以提高解题速度和提高解题的准确度。（2002/5/30完成）例题分析：例1、如图6-2所示，小圆环重G，固定的竖直大环半径为R，轻弹簧原长为L（LR）其倔强系数为K，接触面光滑，求小环静止时弹簧与竖直方向的夹角？提示：可利用正弦定律求解或三角形相似法求解例2、如图6-3所示，一轻杆两端固结两个小物体A、B，mA=4mB跨过滑轮连接A和B的轻绳长为L，求平衡时OA