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文档简介

1、多元函数微分学1、多元函数的概念1）多元函数的定义域：使其表达式有意义的点的全体，是平面上的区域。例1：求函数定义域解：。2）多元函数表达式：变量一致。例2：（A卷填空题1）设，则（ ） A）； B）； C）； D） 解：设，则，代入原式，得于是，所以应选B。3）多元函数的极限与连续：多元初等函数在定义区域内为连续函数，此时有。例3：求解：由于为二元初等函数，点（1，2）在其定义区域内，因此在点（1，2）处连续，于是。2、 多元函数的偏导数与全微分1） 偏导数：设，则（此时把看成常数）；（此时把看成常数）；2） 全微分：设，则。3）例1：设 ，求。解： ，所以。例2：求三元函数的偏导数及全微分

2、解：。3）多元函数连续，偏导存在，偏导连续和函数连续之间有如下关系：偏导数存在连续函数可微；反之不一定。例3：（A卷选择题2）设函数在点处两个偏导数存在，是在该点连续的（ ）A）充分条件而非必要条件； B）必要条件而非充分条件；C）充分必要条件； D）既非充分又非必要条件。解：应选D。4）二阶偏导数：；如果在区域D内连续，则。例4：（A卷计算题1）设，求。解：，所以;,。3、多元复合函数的微分法1）设，则；例1：设，求。解：，。例2：设具有一阶连续偏导数，求。解：， 。2）如 ，则全导数。例3：设，求解：4隐函数的求导1）设，则有2）设，则有。 例1：设，求。（是常数）解：，则所以。5、多元函

3、数微分学的几何应用1）空间曲线 在时对应的点处l 切线方程：l 法平面方程：2）曲面上一点处l 切平面方程：l 法线方程：例1：（A卷选择题3）：在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ ）A）只有一条； B）只有两条； C）至少有三条； D）不存在。解：已知切线方向向量与平面法向量垂直，于是，所以只有两条切线。应选B。6、多元函数极值1）多元函数极值存在的必要条件设函数在点的邻域内有定义且存在一阶偏导数，如果是极值点，则必有2）多元函数极值存在的充分条件设函数在点的邻域内连续，且存在一阶及二阶连续偏导数，而是驻点，令若1）时有极值，并且； 2）时没有极值； 3）时无法判定。3）求具有二阶连续偏

4、导数的函数极值（无条件极值）的步骤如下：l 求出的点（驻点）；l 对每一个驻点，求出l 确定的符号， 有极值，没有极值；4）条件极值求条件极值的步骤：l 构造拉格朗日函数；其中：是目标函数，是已知条件，是待定常数。l 求解，从中可求得所得到的点即是在条件下的极值点。例1：试用拉格朗日乘数法讨论，欲建造一容积为的矩形水池（有盖），问如何设计，才能使建筑材料最省？解：设矩形小池的长、宽、高为，由已知，构造拉格朗日函数， ,由实际问题极值的唯一性，可知，当矩形水池的长、宽、高分别为时，表面积最小，使用的建筑材料最省。7、方向导数与梯度（了解）1) 方向导数l 函数在点沿着方向的方向导数为： l 函数在点沿着方向的方向导数为： 。例1：函数在点处沿点指向点方向的方向导数。解：这里为的方向，向量的方向余弦为又，

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