第二章23（一）等差数列的前n项和（一）

1、第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和（一）明目标、知重点 1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路2. 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个知识梳理1 数列前n项和的概念把a1a2an叫数列an的前n项和，记做Sn.a1a2a3an1Sn1(n2)2 等差数列前n项和公式(1)若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn ；(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Snna1n(n1)d.3 等差数列前n项和的性质(1)若数列an是

2、公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.(2)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.(3)设两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn，Tn，则.情境导学“数学王子”高斯是德国数学家在高斯10岁时，老师出一道数学题为1到100的所有整数的和为多少？很快高斯即得出答案为5 050.老师大吃一惊，而更使人吃惊的是高斯的算法，高斯的算法是老师未曾教过的方法，那么这是一个什么样的方法呢？它用于解决什么类型的问题呢？这种方法叫倒序相加法，是等差数列求和的一种重要方法，本节我们就来研究它探究点一等差数列前n项和

3、公式思考1高斯是用怎样的方法快速求出123100？.思考2人们从“高斯的算法”受到启示，创造了“倒序相加法”，即设S12399100，把加数倒序写一遍：S100999821.两式相加有2S(1100)(299)(992)(1001)100×101，S50×1015050.你能利用此种方法123n等于多少吗？答思考3如何用“倒序相加法”求首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和Sn呢？答小结(1)我们称a1a2a3an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2a3an.(2)等差数列an的前n项和公式：Snna1d.例12000年11月14日教育部下发了关于在中小学

4、实施“校校通”的工程通知某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解依题意得，反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解易错方面：把前n项和与最后一项混淆，忘记答或写单位跟踪训练1甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟

5、比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解例2已知一个等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？解方法一； 方法二：反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题中，要注意方程思想和整体思想的运用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二跟踪训练2在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.探究点二等差数列前n项

6、和的性质思考1设an是等差数列，公差为d，Sn是前n项和，那么Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？答思考2设Sn、Tn分别为两个等差数列an和bn的前n项和，那么与有怎样的关系？请证明之答例3(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m(2) 两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值(3) 解(1)方法一 方法二反思与感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果跟踪训练3设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，

7、Tn为数列的前n项和，求Tn.解当堂检测1 在等差数列an中，S10120，那么a1a10的值是()A12 B24 C36 D48答案B解析由S10，得a1a1024.2 记等差数列前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A2 B3 C6 D7答案B解析方法一 由，解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3 在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.答案190解析S1919a1019×10190.4 已知等差数列an中，(1)a1，d，Sn15，求n及an；(2)a11，an512，Sn1 022，求d.解(1)

8、Snn·()×15，整理得n27n600，解之得n12或n5(舍去)，a12(121)×()4.(2)由Sn1 022，解之得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解之得d171.呈重点、现规律1 求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2 等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)；若mn2p，则anam2ap.3 本节基本思想：方程思想，

9、函数思想，整体思想，分类讨论思想.一、基础过关1 已知等差数列an中，a2a88，则该数列的前9项和S9等于()A18 B27 C36 D45答案C解析S9(a1a9)(a2a8)36.2 等差数列an中，S104S5，则等于()A. B2 C. D4答案A解析由题意得：10a1×10×9d4(5a1×5×4d)，10a145d20a140d，10a15d，.3 已知等差数列an中，aa2a3a89，且an<0，则S10为()A9 B11 C13 D15答案D解析由aa2a3a89得(a3a8)29，an<0，a3a83，S1015.4 设等

10、差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27答案B解析数列an为等差数列，则S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，则S9S645.a7a8a9S9S645.5 在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A765 B665 C763 D663答案B解析a12，d7,2(n1)×7<100，n<15，n14，S1414×2×14×13×7665.6 含2n1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A. B. C

11、. D.答案B解析S奇，S偶，a1a2n1a2a2n，.7 设Sn为等差数列an前n项和，若S33，S624，求a9.解设等差数列的公差为d，则S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.由解得故a9a18d18×215.二、能力提升8 等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m等于()A38 B20 C10 D9答案C解析因为an是等差数列，所以am1am12am，由am1am1a0，得：2ama0，由S2m138知am0，所以am2，又S2m138，即38，即(2m1)×238，解得m10，故选C.9现

12、有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A9 B10 C19 D29答案B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个钢管总数为：123n.当n19时，S19190.当n20时，S20210>200.n19时，剩余钢管根数最少，为10根10设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A. B. C. D.答案A解析方法一，a12d，.方法二由，得S63S3.S3，S6S3，S9S6，S12S9仍然是等差数列，公差为(S6S3)S3S3，从而S9S6S32S33S3S96S3，S12S9S3

13、3S34S3S1210S3，所以.11 已知等差数列an的前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk2 550，求a及k.解设等差数列an的公差为d，则由题意得，.(注：k51舍)a2，k50.12一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和解方法一设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则Snna1d.由已知得×10整理得d，代入，得a1，S110110a1d110××110110.故此数列的前110项之和为110.方法二设Snan2bn.S10100，S10010，解得Snn2n.S110×1102×110110.三、探究与拓展13已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式an；(2)