第4版-第6章-IIR滤波器的设计方法

1、第6章 几种特殊滤波器及简单一、二阶数字滤波器设计主要内容n理解数字滤波器的基本概念n了解最小相位延时系统n理解全通系统的特点及应用n掌握冲激响应不变法n掌握双线性变换法n掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点n了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程n了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念1.1.数字滤波器的基本功能数字滤波器的基本功能是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 与模拟滤波器一样，都是用来滤波的，将某些频段的信号加以放大，另外一

2、些频段的信号加以抑制。可以通过模数转换对模拟信号进行处理。1. 1. 数字滤波器的基本功能数字滤波器的基本功能 滤波器的功能是对输入信号进行滤波滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。以增强所需信号部分，抑制不要的部分。a a） 时域说明时域说明b b） 频域说明频域说明01( )( )( )( )( )1MiiiNiiib zY zB zH zX zA za z10( )()()NMiiiiy na y nib x ni(2) 系统函数系统函数（1）线性差分方程表示）线性差分方程表示2.2.数字滤波器的表示方法数字滤波器的表示方法(3) 单位抽样响应单位抽样响应h

3、(n)(4) 线性信号流图（第线性信号流图（第5章）章）(1) 按单位冲激响应分：按单位冲激响应分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n z有限长冲激响应有限长冲激响应(FIR)数字滤波器数字滤波器无限长冲激响应无限长冲激响应(IIR)数字滤波器数字滤波器3.3.数字滤波器的类型数字滤波器的类型 是是z-1的有理分式，有输的有理分式，有输出到输入的反馈结构出到输入的反馈结构 是是z-1的多项式，无输出的多项式，无输出到输入的反馈结构到输入的反馈结构(2)按幅度响应分：低通、高通、带通、带阻、全通按幅度响应分：低通、高通、带通、带阻、全通(3)按相位响

4、应分：线性相位、非线性相位按相位响应分：线性相位、非线性相位(4)按特殊要求分：按特殊要求分： 最小相位滞后、梳状、陷波、全通最小相位滞后、梳状、陷波、全通4、数字滤波器的实现步骤、数字滤波器的实现步骤q 数字滤波器设计的4个步骤: (1) 按任务的需要，确定滤波器性能指标； (2) 用一个因果稳定的LSI系统函数去逼近这一性能要求，有IIR和FIR两种； (3) 用有限精度算法实现这个系统函数（包括选择运算结构（第5章）、选择合适的字长等）； （4）实际的技术实现；可以采用通用计算机，也可以采用DSP。5. IIR数字滤波器的设计方法分类数字滤波器的设计方法分类n间接法：先设计模拟滤波器，再

5、转换为数字滤波器间接法：先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：, kkab即为求滤波器的各系数：n直接法：计算机辅助设计法直接法：计算机辅助设计法 s平面逼近：模拟滤波器z平面逼近：数字滤波器6.2 全通滤波器全通滤波器对所有对所有w w，满足：，满足：()1()japHew或常数称该系统为称该系统为全通系统全通系统n一阶全通系统：一阶全通系统：11( )1apzaHzaaz为实数01aza极点：极点：1/za零点：零点：零极点以单位圆为镜像对称零极点以单位圆为镜像对称za极点：极点：1*1( )1ap

6、zaHzaaz为复数01a*1/za零点：零点：n实系数二阶全通系统实系数二阶全通系统1*111( )11*apzazaHzazaz1a 两个零点（极点）共轭对称两个零点（极点）共轭对称*zaa ，极点：极点：*1/zaa，1/零点：零点：零点与极点以单位圆为镜像对称零点与极点以单位圆为镜像对称1*()1()11111cos()sin()11cos()sin()jjjjjjjjz ezaerereeazreererjrrjrwww www wwww可以证明可以证明，一阶全通节在任何频率上，其频率响应的模，一阶全通节在任何频率上，其频率响应的模都为都为1：n N 阶数字全通滤波器阶数字全通滤波器

7、1*11( )1NkkkzaH za z 1(1)111(1)11.1.NNNNNNNNddzd zzd zdzd z 1()( )NzD zD z 极点：极点： 的根的根( )D z 1jpzrerw零点：零点： 的根的根1()D z1 1jozerrw*()()jjD eD eww因为所以()1jH ewn全通系统的应用全通系统的应用min( )( )( )apH zHzHz7 7. .任一因果稳定（非最小相位延时）系统任一因果稳定（非最小相位延时）系统H(z)H(z)都可都可以表示成全通系统以表示成全通系统H Hapap(z)(z)和和最小相位系统最小相位系统H Hminmin(z)(z

8、) ( (见见P321P321定义定义) )的级联的级联11*100( )( )()()H zH z zzzz令：其中：其中：H H1 1(z)(z)为最小相位延时系统，为最小相位延时系统， 为单位圆外的一对共轭零点为单位圆外的一对共轭零点*0001/ 1zzz ，1/ ，*1111*00100*110011( )( )11z zz zH zH zzzzzz zz z11*1100100*1100( ) 1111zzzzH zz zz zz zz zmin( )( )apHzHz把把H(z)H(z)单位圆外的零点：单位圆外的零点： 映射到单位圆内的镜像位置：映射到单位圆内的镜像位置：构成构成H

9、 Hminmin(z)(z)的零点。的零点。*0001/, 1/ , 1zzzz*00, zzz而幅度响应不变：而幅度响应不变：minmin()()()()jjjjapH eHeHeHewwwwP319 图图6-28. 8. 级联一个全通系统可以级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器一个稳定滤波器把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内单位圆外极点：单位圆外极点：1 1jzerr，1111( )11jjapjjzrezreHzrezre z( )( )( )dapH zHzHz0( )( )( )( )dapdd w

10、wwww 9.9.作为相位均衡器作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性而不改变系统的幅度特性()()()jjjdapH eHeHewww()()()()dapjjjdapHeHeewwww22200( )( )( )apde www利用均方误差最小准则求均衡器利用均方误差最小准则求均衡器H Hapap(z)(z)的有关参数的有关参数min( )( )( )apH zHzHz1.1.任意非最小相位延时系统任意非最小相位延时系统H(z)H(z)都可以表示成全都可以表示成全通系统通系统H Hapap(z)(z)和最小相位系统和最小相位系统H Hminmin

11、(z)(z)的级联的级联11*100( )( )()()H zH z zzzz令：其中：其中：H H1 1(z)(z)为最小相位延时系统，为最小相位延时系统， 为单位圆外的一对共轭零点为单位圆外的一对共轭零点*0001/ 1zzz ，1/ ，6.3 最小相位滞后滤波器最小相位滞后滤波器6.3.1 6.3.1 最小最小( (最大最大) )相位系统与全通系统的关系相位系统与全通系统的关系*1111*00100*110011( )( )11z zz zH zH zzzzzz zz z11*1100100*1100( ) 1111zzzzH zz zz zz zz zmin( )( )apHzHz把把

12、H(z)H(z)单位圆外的零点：单位圆外的零点： 映射到单位圆内的镜像位置：映射到单位圆内的镜像位置：构成构成H Hminmin(z)(z)的零点。的零点。*0001/, 1/ , 1zzzz*00, zzz而幅度响应不变：而幅度响应不变：minmin()()()()jjjjapH eHeHeHewwwwP254 图图662.2. 最大相位系统：最大相位系统： 若全部极点在单位圆内，全部零点在单位圆外若全部极点在单位圆内，全部零点在单位圆外的因果稳定系统称为最大相位延时系统。的因果稳定系统称为最大相位延时系统。同样：用级联全通系统函数的办法，可将最小同样：用级联全通系统函数的办法，可将最小相位

13、系统的全部零点反射到单位圆外，得到最相位系统的全部零点反射到单位圆外，得到最大相位系统。大相位系统。6.3 最小相位滞后滤波器最小相位滞后滤波器3. 3. 混合系统混合系统。 P322, P322,例例6.16.1解解：此系统有一对复零点在单位圆外，利用式（此系统有一对复零点在单位圆外，利用式（.1）将将H H(z)(z)写成写成：例例6.1: 6.1: 试将以下因果稳定的混合相位系统分解为一试将以下因果稳定的混合相位系统分解为一个最小相位系统与一个全通系统的级联。个最小相位系统与一个全通系统的级联。/31/311/41/41(1 1.25e)(1 1.25e)(1 0.7)(

14、 )(1 0.6e)(1 0.6e)jjjjzzzH zzz1/31/312/41/41(0.8e)(0.8e)(1 0.7)( )(1.25)(1 0.6e)(1 0.6e)jjjjzzzH zzzmin/31/311/41/411/31/3/31/31( )( )( )(1 0.8e)(1 0.8e)(1 0.7)1.5625(1 0.6e)(1 0.6e)(0.8e)(0.8e)(1 0.8e)(1 0.8e)apjjjjjjjjH zHz Hzzzzzzzzzz再利用式（再利用式（.2），可得），可得：LSI系统的系统函数：1()11111(1)()( )(1)()MM

15、mmN MmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()()jMjmjj N MjjH emNjkkecH eKeH eeedwwwwww频率响应：补充：补充：最小（最大）相位延时、超前系统：最小（最大）相位延时、超前系统：n模：模：11()MjjmmNjkkecH eKedwww各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKwwwwn相角：02 ,w2w当当位于单位圆内的零位于单位圆内的零/ /极矢量角度变化为极矢量角度变化为2 2 位于单位圆外的零位于单位圆外的零/ /极矢量角度变化为极矢量角度变化

16、为 0 0Re zIm jz011()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKwwwwiommMioppN令：令：单位圆内零点数为单位圆内零点数为m mi i单位圆外的零点数为单位圆外的零点数为m mo o单位圆内的极点数为单位圆内的极点数为p pi i单位圆外的极点数为单位圆外的极点数为p po o2()arg2 ()22jiiH eNMmpKww则：则：11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKwwww全部极点在单位圆内：全部极点在单位圆内：po = 0，pi = Nn因果稳定系统因果稳定系统2()arg222 ()jiiH empNMKw

17、w22imM1 1）全部零点在单位圆内：）全部零点在单位圆内：,0iomM marg02 2）全部零点在单位圆外：）全部零点在单位圆外：0,iommMarg2 M 20om 为为最小相位延时系统最小相位延时系统为为最大相位延时系统最大相位延时系统, 1 zr rn 0时，时，h(n) = 06.3.2 6.3.2 最小相位延时系统的性质最小相位延时系统的性质1.1.在在 相同的系统中，具有最小的相位滞后相同的系统中，具有最小的相位滞后()jH ew 2.2.最小相位延时系统的能量集中在最小相位延时系统的能量集中在n=0n=0附近，而总能附近，而总能 量相同量相同 故：最小相位延时系统故：最小相

18、位延时系统又称为最小能量延时系统又称为最小能量延时系统。22min00( )( )mmnnh nhn1mN1122min00( )( )NNnnh nhn6.3.2 6.3.2 最小相位延时系统的性质最小相位延时系统的性质 6. 6.级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成 一相同幅度响应的非最小相位延时系统一相同幅度响应的非最小相位延时系统 例例6.26.2，P257P2575.5.在在 相同的系统中，相同的系统中， 唯一唯一; ;()jH ewmin( )hn3.3.最小相位序列的最小相位序列的 最大：最大：min(0)hmin(0)(0)h

19、h例例6.2: 6.2: 设最小相位系统为设最小相位系统为Hmin(z)，混合系统为，混合系统为H(z)，最大相，最大相位系统为位系统为Hmax(z)，三个系统具有相同的幅度相应，试比较三者，三个系统具有相同的幅度相应，试比较三者的能量延迟特性。的能量延迟特性。解解：以以FIRFIR系统为例加以讨论。系统为例加以讨论。0.310.311min121123( )(1 0.8e)(1 0.8e)(1 0.9)1 1.6cos(0.3)0.64(1 0.9)1 1.84045641.48641080.576jjHzzzzzzzzzz （1 1）设最小相位设最小相位FIRFIR系统：系统：（2 2）如将一对共轭零点用全通函数反射到单位圆外，则可得混如将一对共轭零点用全通函数反射