欧拉公式的应用（课堂PPT）

1、1欧拉公式的应用 2目目 录录1、什么是欧拉公式、什么是欧拉公式2、认识欧拉、认识欧拉3、 “上帝创造的公式上帝创造的公式”4、欧拉公式的应用、欧拉公式的应用3欧拉公式欧拉公式 欧拉公式欧拉公式是指是指以欧拉命名的诸多公式以欧拉命名的诸多公式。其。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式式-将复数、指数函数与三角函数联系起将复数、指数函数与三角函数联系起来；来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。论中的欧拉函数公式。4初等数论初等数论中的欧拉公式：中的欧拉公式：设m是大于1的整数，（a,m）=1，则，则复变函

2、数论复变函数论中的欧拉函数：中的欧拉函数： mammod1)(sincossformularEuleiei数值分析数值分析中的欧拉函数：中的欧拉函数：一般的，设已作出该折线的极点,过依方向场的方向再推进到，显然两个极点的坐标有以下关系 ),(11nnnnnnyxfxxyy),(1nnnnyxhfyy即即5离散数学离散数学中的欧拉公式：中的欧拉公式： 若G为连通平面图，则n-m+r=2,其中，n,m,r分别为G的结点数，边数和面数。 另外，我们在另外，我们在常微分方程常微分方程中还学了欧拉折中还学了欧拉折线；在线；在离散数学离散数学中中 学过欧拉图。学过欧拉图。6 认识欧拉认识欧拉欧拉欧拉-瑞士

3、人（瑞士人（Euler,L. 1707-1783Euler,L. 1707-1783）；）；欧拉欧拉-16 -16 岁获得硕士学位；岁获得硕士学位；欧拉欧拉-数学史上数学史上“高产高产”的数学家。在世发表论文的数学家。在世发表论文700700多篇，多篇， 去世后还留下去世后还留下100100多篇待发表；多篇待发表；欧拉欧拉-首先使用首先使用f(x)f(x)表示函数，用表示函数，用e e表示自然对数的底，用表示自然对数的底，用a a、 b b、c c 表示表示ABCABC，用，用表示求和，用表示求和，用i i表示虚数单位等。表示虚数单位等。欧拉欧拉-目前数学中有欧拉公式、欧拉常数、欧拉猜想、欧拉

4、目前数学中有欧拉公式、欧拉常数、欧拉猜想、欧拉 方法、欧拉方程、欧拉定理。方法、欧拉方程、欧拉定理。7 将欧拉公式 中的 换为 得到 欧拉公式成为人们公认的最优美公式，被视为数学美的一个象征，数学家们评价它是“上帝创造的公式” 。sincosiei01ie“上帝创造的公式上帝创造的公式” 8欧拉公式的两个基本性质欧拉公式的两个基本性质1、 由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周期函数，具有基本周期 。cos1sin1iei2cossin22ieiicossin1iei 3233cossin22ieii 2cos2sin210, 1, 2k iekikk 2 i9 2、在欧拉公式中用 代替

5、 ，则由 ，得到由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数cossinieicossinieicossinieicos,sin22iiiieeeei10欧拉公式的应用欧拉公式的应用欧拉公式在计算中的应用：欧拉公式在计算中的应用：1、幂乘、幂乘例：例：2、求方根、求方根例：例：ieeeeiiiii364222)2(36/66/7776/73 , 2 , 1 , 02214248444neeinii11 3、初等函数求值初等函数求值例：例：4、求积分、求积分例例1：例例2：dteit4/0211212214/iiiiiiei zfszfsidxxczcz10ReRe21142414124143iieei, 2, 1, 03122ln2322ln31ninniiLog12 例3：Sol:Let 1sin20aad20iez1sin20aad 112Re21222121azfsdziazzizzzizz2sin1izdzd13 5、 倍角和半角的三角变换倍角和半角的三角变换 例：证明： 证：左 =右 所以原式成立sin21