概率论与数理统计基本综述

1、概率论与数理统计基本综述1058215101872525/15)( BP25/7)( AP25/5)( ABP,75)( ABP)()()(APABPABP 例1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场供应矿泉水,每个浴场装一个阀门,25个阀门购自两家生产厂,部分有缺陷,A: 有缺陷:A无缺陷B: 生产厂1:B生产厂2已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率:)()()(APABPABP , 0)( AP符合概率定义中的三个条件.)( AP 设A ,B 是两个事件,称为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的.0)( AP: 1* 只讨论 的情况;2* 在A 固定的情况下,1非负性: 对任

2、事件 B，有;0)( ABP; 1)( ASP3可列可加性: 11)()(nnnnABPABP 2规范性:,21nBBB两两互不相容,则)(1)(. 3ABPABP );()(BPSBP 条件概率满足的一些：; 0)(. 1 AP nBBB,212.若 两两互不相容，则有 niiniiABPABP11)()()()()()(. 4ABCPACPABPACBP 3* P (B) 称为无条件概率,4* 条件概率的:(1) 缩减样本空间; (2) 用定义.),(),(),(),(ABPABPAPAP,03. 0)( ABP98. 0)( ABP)()(ABPABP及及,35. 0)(,65. 0)(

3、 APAP,02. 0)( ABP,97. 0)( ABP例2 市场上供应的某种商品中,甲厂产品占65%,乙厂产品占35%,甲厂产品的次品率为3%,乙厂产品的次品率为2%,事件A 表示甲厂的产品,B 表示产品为次品,试写出概率:解:BA )()()(APABPABP )()(APBP 5 . 08 . 04 . 0 例3 某动物活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,已知活到20岁, 它能活到25岁的概率是多少?解: A = “活到20岁”,B = “活到25岁”,1)(22MmMCCAP ,BA 22)(MmCCBP )()()(APABPABP 121)()( mMmAPBP例

4、4 若M 件产品中包含m 件废品( m M ),今从中任取两件,求:(1) 已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的概率;解: (1) 设 A = “两件中至少有一件是废品”,B = “两件都是废品”DC ,1)(22MmCCCP 211)(MmMmCCCDP )()()(CPCDPCDP )()(CPDP 12 mMm(2) 已知取出的两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的概率;设 C = “两件中至少有一件不废品”,D = “两件中恰有一件是废品”),()()(ABPAPABP , 0)( ABP, 0)()( ABPAP)()()()(ABCPABPAPABCP ,0

5、)( AP,ABA )()()(ABCPABPABCP ,)()()(APABPABP 证：),()()(ABPAPABP )()()(ABCPABPAP A ,B,C 是随机事件,)(21nAAAP)()()(213121AAAPAAPAP nAAA,21若有n 个事件 ,且, 0)(121 nAAAP)(11 nnAAAP1 . 0505)(1 AP)()()(12121AAPAPAAP )()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP 4844945505 )(),(),(321211AAAPAAPAP494505 解：0082. 02452 0077. 03923 例5 设

6、50 件产品中有5 件是次品,每次抽一件,不放回地抽取3件, Ai 表示第i 次抽到次品, i =1,2,3求:例6 某袋中有r 只红球, t 只白球,每次从袋中任取一球,观察颜色后将球放回袋中,并加进与所取出的球颜色相同的球 a 只,如果共进行了4次,求第一、第二两次都取到红球,第三、第四次都取到白球的概率.4 , 3 , 2 , 1 i)(4321AAAAP)()()()(3214213121AAAAPAAAPAAPAP atratatrtatrartrr32 iA“第i 次取到红球”解: 设2 , 1 i, 2 . 0)(1 AP, 3 . 0)(1 ABP, 4 . 0)(12 BAA

7、P)()(1BAPBP )()(11ABPAP 例7 在空战中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率是0.2; 若乙机未被击中,就进行回击,击落甲机的概率是0.3;若甲机也未被击中,则再次进攻乙机,乙机被击落的概率是0.4,在这几个回合中,分别计算甲、乙机被击落的概率.24. 03 . 08 . 0 解: 设 iA“乙机在第i 次被击落”A = “乙机被击落”,B = “甲机被击落”)()(212ABAPAP )()()(1211BAAPABPAP 224. 04 . 07 . 08 . 0 )()(21AAPAP )()(21APAP 424. 0224. 02 . 0 ;, 2 , 1,)1(

8、njijiBBji ,)2(21SBBBn 设 S 是试验 E 的样本空间， 是试验 E 的一组事件,若 nBBB,21nBBB,21则称 为样本空间S 的一个. BB 与与*1组成样本空间S 的一个划分.2* 所有基本事件组成样本空间S 的一个划分.niBPi, 2 , 1, 0)( niiiBAPBPAP1)()()()(21nBBBAASA 试验 E 的样本空间是SnBBB,21为S 的一个划分证明：nABABAB 21njijiABABji, 2 , 1,;,)()( niiABPAP1)()( niiiBAPBP1)()( ()任一事件A,3 . 0931059310292103 3

9、21,BBB组成样本空间S 的一个划分. 31)()()(iiiBAPBPAP例8 袋中有10个球,3个白球,2个黑球,5个红球,采用不放回抽样,每次任取一个,求第二次取到白球的概率.321:BBB、解解分别表示第一次取到白球、黑球、 红球A = “第二次取到白球”,)()()()()(BAPBPBAPBPAP SBnii 1*3条件条件ABnii 1可放宽到可放宽到)()()(1iiiBAPBPAP BB 与与*2组成样本空间S 的一个划分.,*121nBBB组成样本空间S 的一个划分.:25. 0)()(, 5 . 0)(321 BPBPBP,04. 0)(,02. 0)()(321 BA

10、PBAPBAP 31)()()(iiiBAPBPAP04. 025. 002. 025. 002. 05 . 0 025. 0 例9 市场上某种商品由三厂家同时供货,其供应量第一厂家是第二厂家的二倍,第二,三两个厂家相等.各厂产品的次品率依次为2%, 2%,4%,现从市场上买一件产品是次品的概率是多少?解: 设 kB“买到第k 家厂生产的产品”3 , 2 , 1 kA = “买到次品”,)(1ABP 3111)()()()(kkkBAPBPBAPBP04. 025. 002. 025. 002. 05 . 002. 05 . 0 4 . 0 )()(1APABP 例10 例9中,如现从市场上买

11、一件次品,问它是第一个工厂生产的概率是多少?, 0)( AP njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()(niBPi, 2 , 1, 0)( 试验 E 的样本空间是SnBBB,21为S 的一个划分 (Bayes)任一事件A,)(iBP称为先验概率,)(ABPi称为后验概率,iB在获得试验中事件A 已经发生这个信息之后,事件 发生的条件概率.,0004. 0)( BP,99. 0)( BAP,05. 0)( BAP)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP 05. 09996. 099. 00004. 099. 00004. 0 00786. 0 9996

12、. 0)( BP例11 某地区居民的肝癌发病率为0.0004,用甲胎蛋白法检查肝癌,A = “检查为阳性”,B = “该地区居民患肝癌”求某人已检出阳性,问他患肝癌的概率.解:人人50005. 09996 医生应该采用的方法是,当怀疑某人有可能患肝癌时才建议作甲胎蛋白检验.6 . 0)(4 . 0)( BPBP9296. 005. 06 . 099. 04 . 099. 04 . 0 )()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP 结果说明:肝癌发病率很低,10000人中大约4人患肝癌, 9996位不患肝癌人中呈阳性的9 . 04 . 02 . 095. 08 . 095.

13、08 . 0 例12 以往数据表明,当机器调整良好时,产品的合格率为95%,当机器没有调整好时,产品的合格率仅为40%,每天早晨机器开动时,机器调整良好的概率是80%,试求某日机器开动后生产的第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率.)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP A = “产品合格”,B = “机器调整良好”解: 设2. 例5中,求:某日机器开动后,(1) 生产的头三件产品合格时,机器调整良好的概率.(2) 生产的头三件产品中,第一件合格,第二、三件是次品时,问机器是否需要重新调整?1. 10张考签中有4张难签,今有甲、乙、丙三人依次参加抽签,从中任抽一张,

14、抽后不放回.三人各自抽到难签的概率一样吗 (抽签公平吗) ?)()()()()(BACPBAPABCPABPCP , 4 . 010/4)( AP)()()()()(ABPAPABPAPBP 4 . 09/410/69/310/4 )()()()(BACPBAPBACPBAP 1. 设事件A,B,C 分别表示甲,乙,丙各自抽到难签.8/3)9/610/4(8/2)9/310/4( 4 . 08/4)9/510/6(8/3)9/410/6( ，)()()(CPBPAP 说明抽签的结果与先后次序无关,抽签是公平的.)()()()()(BACPBAPABCPABPCP )()()()(BACPBAP

15、BACPBAP )()1(321AAABP)()()()()()(321321321BAAAPBPBAAAPBPBAAAPBP 98. 04 . 02 . 095. 08 . 095. 08 . 0333 3 , 2 , 1 i2. 设 iA“第i 件产品合格”062. 06 . 04 . 02 . 005. 095. 08 . 005. 095. 08 . 0222 )()2(321AAABP)()()()()()(321321321BAAAPBPBAAAPBPBAAAPBP 机器必须重新调整.，cBAPbBPaAP )()()(2. 看某报纸广告的人数占该报读者的 15%,有 30%的 读

16、者看了广告后去看商品,求读者看了广告并去看商 品的概率.3. 某射手第一次击中目标的概率是 1/2,如第一次未击中,则进行第二次射击,击中目标的概率是 2/9,如又未击中,则进行第三次射击,击中目标的概率是 1/8,求射手击中目标的概率.1. 事件A,B 满足 )(BAP4. 申请某工作的人中1/3是大学毕业生,这些大学毕业生中的1/4是具有一年以上的工作经验,随机地挑选一个申请人, 这个人是大学毕业生且他(她)至少有一年工作经验的概率是多少？5. 一袋中装有10个球,其中3个白球,7个红球,现采用不放回方式从中摸球两次,每次一个,求: (1)第二次才取到白球的概率； (2)第二次取到白球的概

17、率.7. 已知一批产品有70%的合格品,检验产品时,一个合格品被误认为是次品的概率是2%,一个次品被误认为是合格品的概率是8%,求一个检验为合格的产品确实是合格品的概率.6. 甲,乙,丙三名射手打靶的命中率分别为4/5,3/4,2/3,他们同时各打一发子弹,结果恰有两弹中靶,试求丙未中靶的概率.8.甲袋中有2个黑球,3个白球,乙袋中有1个黑球,3个白球,丙袋中有3个黑球,1个白球,从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球放入丙袋,最后从丙袋中任取一球,求最后取到白球的概率. 10. 设A,B 为两个随机事件,若 ,证明： )()(APBAP )()(BPABP 9. A箱中装有M个黑球,B箱中装有M个白球,从B 箱中随机地取出一球投入A箱中,然后从A箱中随机地取出一球投入BM次交换后, A 箱中有M个白球的概率. 1. a + b - - bc 2. 0.045 3. 95/144 4. 1/12)()1(21AAP)()(121AAPAP 307 )()2(2AP)()(121AAPAP )()(121AAPAP 103 , 2 , 1 i5. 设 iA“第i 次抽到白球”213243)(1 ABP534354)(3 ABP136)5331158412151(5331 )(