【核按钮】2016高考（新课标）数学（理）一轮复习配套（课时精讲+课时检测+单元检测）：第三章　导

1、第三章第三章导导数数1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数 yC(C 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数4能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则， 能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数常见的基本初等函数的导数公式：(C)0(C 为常数)；(xn)nxn1(nN)；(sinx)cosx;(cosx)sinx；(ex)ex;(ax)axlna(a0，且 a1)；(lnx)1x；(logax)1xlogae(a0，且 a1)常用的导数运算法则：法则

2、1：u(x)v(x)u(x)v(x)法则 2：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)法则 3：u（x）v（x）u（x）v（x）u（x）v（x）v2（x）(v(x)0)5了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性， 会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)6了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)7会用导数解决实际问题8了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念9了解微积分基本定理的含义3.1导数的概念及运算导数的概念及运算1

3、导数的概念(1)定义如果函数 yf(x)的自变量 x 在 x0处有增量x，那么函数 y 相应地有增量yf(x0 x)f(x0)，比值yx就叫函数 yf(x)从 x0到 x0 x 之间的平均变化率，即yxf（x0 x）f（x0）x.如果当x0时，yx有极限，我们就说函数 yf(x)在点 x0处_，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0处的导数，记作_或 y|xx0，即 f (x0)0limxyx0limxf（x0 x）f（x0）x(2)导函数当 x 变化时，f(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数有时也记作 y， 即 f (x)y 0limxf（xx

4、）f（x）x.(3)求函数 yf(x)在点 x0处导数的方法求函数的增量y；求平均变化率yx；取极限，得导数 f (x0)0limxyx.2导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义， 就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率是相应的切线方程为3基本初等函数的导数公式(1)c(c 为常数)，(x)(Q*)；(2)(sinx)_，(cosx)_；(3)(lnx)，(logax)；(4)(ex)_，(ax).4导数运算法则(1)f(x)g(x)_.(2)f(x)g(x)_；当 g(x)c(c 为常

5、数)时，即cf(x)_.(3)f（x）g（x）(g(x)0)5复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为_即 y 对 x的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积自查自纠：1(1)可导f(x0)(3)f(x0 x)f(x0)f（x0 x）f（x0）x2f(x0)yy0f(x0)(xx0)3(1)0 x1(2)cosxsinx(3)1x1xlna(4)exaxlna4(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x)(3)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）25yxyuux函数 f(x)a35a2x2的导数

6、f(x)()A3a210ax2B3a210ax210a2xC10a2xD以上都不对解：f(x)10a2x.故选 C.曲线 y1lnx在 xe 处的切线方程为()Axeye0Bexye0Cxey2e0Dxey2e0解：y1x（lnx）21x（lnx）2，y|xe1e，故所求方程为 y11e(xe)，整理得 xey2e0.故选 D.已知曲线 yx243lnx 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A3B2C1D.12解：yx23x，令x23x12，解得 x2 或 x3(舍去)故选 B.物体的运动方程是 s13t32t25，则物体在 t3 时的瞬时速度为解：v(t)s(t)t24t，t3 时，

7、v3，故填3.(2014新课标)设曲线 yaxln(x1)在点(0，0)处的切线方程为 y2x，则 a_.解：ya1x1，根据已知，当 x0 时，y2，代入解得 a3.故填 3.类型一类型一导数的概念导数的概念已知函数 f(x)x21.用定义的方法求：(1)f(x)在 x2 处的导数；(2)f(x)在 xa 处的导数解：(1)因为yxf（2x）f（2）x（2x）21（221）x4x，当x0 时，4x4，所以 f(x)在 x2 处的导数是 4.(2)因为yxf（ax）f（a）x（ax）21（a21）x2ax，当x0 时，2ax2a，所以 f(x)在 xa 处的导数是 2a.点拨：利用导数定义求函

8、数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率yx，再化简平均变化率，最后判断当x0 时，yx无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程航天飞机发射后的一段时间内，第 t s时的高度 h(t)5t330t245t4(单位：m)(1)求航天飞机在第 1 s 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第 1 s 末的瞬时速度解：(1)航天飞机在第 1 s 内的平均速度为h（1）h（0m/s.(2)航天飞机第 1 s 末高度的平均变化率为h（1t）h（1）t5（1t）330（1t）245（1t）484t5t345t2120tt5t245t120

9、，当t0 时，5t245t120120，所以航天飞机在第1 s末的瞬时速度为120 m/s.类型二类型二求导运算求导运算求下列函数的导数：(1)y5x24x1；(2)yxlnx；(3)ysin(x)(其中为常数)；(4)yx3x2(x2)解：(1)y10 x4；(2)ylnxx1xlnx1；(3)ycos(x)(x)cos(x)；(4)y11x2 1（x2）2.点拨：求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单求下列函数的导数：(1)y(x1)(x2)；(2)yxex1(x0

10、)；(3)ycos2x；(4)ylnx3x1(x1)解：(1)y(x1)(x2)(x1)(x2)x2x12x3；(2)yx（ex1）x（ex1）（ex1）2（1x）ex1（ex1）2；(3)ysin2x(2x)2sin2x；(4)yln(x3)ln(x1)1x31x12（x1） （x3）.类型三类型三导数的几何意义导数的几何意义已知曲线 y13x343.(1)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程；(2)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程；(3)求曲线过点 P(2，4)的切线方程解：(1)yx2，设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为 kx201，解得 x01，故切点为1，53 ，(1，1)故所

11、求切线方程为 y53x1 和 y1x1，即 3x3y20 和 xy20.(2)yx2，且 P(2，4)在曲线 y13x343上，在点 P(2，4)处的切线的斜率 ky|x24.曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.(3)设曲线 y13x343与过点 P(2，4)的切线相切于点 Ax0，13x3043 ，又切线的斜率 ky|xx0 x20，切线方程为 y13x3043 x20(xx0)，即 yx20 x23x3043.点 P(2，4)在切线上，42x2023x3043，即 x303x2040，x30 x204x2040，x20(x01)4(x01)(x01)0，(

12、x01)(x02)20，解得 x01 或 x02，故所求的切线方程为 4xy40 或 xy20.点拨：曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0， f(x0)为切点的切线方程的求解步骤：求出函数 f(x)的导数 f(x)；求切线的斜率 f(x0)；写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组y0f（x0） ，y1y0 x1x0f（x0） ，得切点(x0，y0)，进而确定切线方程注意：求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的

13、公共点不一定只有一个已知函数 f(x)x3x16.(1)求满足斜率为 4 的曲线的切线方程；(2)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(3)直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程解：(1)设切点坐标为(x0，y0)，f(x0)3x2014，x01，x01，y014或x01，y018.切线方程为 y4x18 或 y4x14.(2)f(x)3x21，且(2，6)在曲线 f(x)x3x16 上，在点(2， 6)处的切线的斜率为 kf(2)13.切线方程为 y13x32.(3)解法一：设切点为(x0，y0)，直线 l 的斜率为 f(x0)3x201，直线 l 的方

14、程为 y(3x201)(xx0)x30 x016，又直线 l 过原点(0，0)，0(3x201)(x0)x30 x016，整理得 x02，斜率 k13.直线 l 的方程为 y13x.解法二：设直线 l 的方程为 ykx，切点为(x0，y0)，则斜率 ky00 x00 x30 x016x0，又kf(x0)3x201，x30 x016x03x201，解得 x02，k13.直线 l 的方程为 y13x.1弄清“函数在一点 x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点 x0处的导数 f(x0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点 x 而言的函数

15、f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数 f(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数 f(x)的导函数 f(x)；(3)函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 xx0处的函数值2求函数 yf(x)在 xx0处的导数 f(x0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求0limxf（x0 x）f（x0）x的值；(2)利用导函数的函数值： 先求函数 yf(x)在开区间(a，b)内的导函数 f(x)，再将 x0(x0(a，b)代入导函数 f(x)，得 f(x0)

16、3正确区分“曲线在某点处的切线”与“过某点的曲线的切线”的含义，前者的“某点”即切点，后者的“某点”是否为切点则须检验4求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数， 即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程如果切点未知，要先求出切点坐标1函数 f(x)x3sin2x 的导数 f(x)()Ax2cos2xB3x2cos2xCx22cos2xD3x22cos2x解：f(x)3x2(2x)cos2x3x22cos2x.故选D.2已知 f(x)(x2)(x3)， 则 f(2)的值为()A0B1C2D3解：f(x)(x3)(x2)2x5，f(2)1.故选 B.3曲线 yx311

17、在点 P(1，12)处的切线与 y轴交点的纵坐标是()A9B3C9D15解：由 y|x13，得在点 P(1，12)处的切线方程为 3xy90，令 x0，得 y9，故选 C.4若 f(x)x22x4lnx，则 f(x)0 的解集为()A(0，)B(1，0)(2，)C(2，)D(1，0)解： f(x)2x24x2（x2） （x1）x0，x0，x20，解得 x2.故选 C.5(2014湖北八市高三 3 月调考)设 aR，函数 f(x)exaex的导函数是 f(x)，且 f(x)是奇函数，则 a 的值为()A1B12C.12D1解：因为 f(x)exaex，由奇函数的性质可得f(0)1a0，解得 a1

18、.故选 A.6已知曲线 C：f(x)x3axa，若过曲线 C外一点 A(1，0)引曲线 C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为()A.278B2C2D278解：设切点坐标为(t，t3ata)切线的斜率为 ky|xt3t2a，所以切线方程为 y(t3ata)(3t2a)(xt)，将点(1， 0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)， 解之得 t0 或 t32.分别将 t0 和 t32代入式，得 ka 或 k274a，由它们互为相反数得 a278.故选 A.7(2014江西)若曲线 yex上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_解：设点 P 的坐标为(x0，y

19、0)，yex.又切线平行于直线 2xy10，所以ex02，可得 x0ln2， 此时 y2， 所以点 P 的坐标为(ln2，2)故填(ln2，2)8(2013江西)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.解：令 ext，则 xlnt.f(ex)xex，f(t)lntt，f(t)1t1，f(1)112.故填2.9求函数 f(x)x34x4 图象上斜率为1的切线的方程解：设切点坐标为(x0，y0)，f(x0)3x2041，x01.切点为(1，1)或(1，7)切线方程为 xy20 或 xy60.10设函数 f(x)13x3ax(a0)，g(x)bx22b1.若曲线 yf

20、(x)与 yg(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数 a，b 的值，并写出切线 l的方程解：因为 f(x)13x3ax(a0)，g(x)bx22b1，所以 f(x)x2a，g(x)2bx.因为曲线 yf(x)与 yg(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，所以 f(1)g(1)，且 f(1)g(1)，即13ab2b1，且 1a2b，解得 a13，b13，得切点坐标为(1，0)切线方程为 y23(x1)，即 2x3y20.11已知函数 f(x)x1aex(aR，e 为自然对数的底数)(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x 轴，求 a 的值；(2)当 a1 时，

21、若直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)相切，求 l 的直线方程解：(1)f(x)1aex，因为曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x 轴，所以 f(1)1ae0，解得 ae.(2)当 a1 时，f(x)x11ex，f(x)11ex.设切点为(x0，y0)，f(x0)x011ex0kx01，f(x0)11ex0k，得 x0kx01k，即(k1)(x01)0.若 k1，则式无解，x01，k1e.l 的直线方程为 y(1e)x1.(2014安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件：(1)直线 l 在点 P(x0，y0)处与曲线C 相切；(2)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l

22、 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线 l： y0 在点 P(0， 0)处“切过”曲线 C：yx3直线 l：x1 在点 P(1，0)处“切过”曲线 C：y(x1)2直线 l： yx 在点 P(0， 0)处“切过”曲线 C：ysinx直线 l： yx 在点 P(0， 0)处“切过”曲线 C：ytanx直线 l：yx1 在点 P(1，0)处“切过”曲线 C：ylnx解：对于，y(x3)3x2，y|x00，所以 l：y0 是曲线 C：yx3在点 P(0，0)处的切线，画图可知曲线 C：yx3在点 P(0，0)附近位于直线l 的两侧，正确

23、；对于，l：x1 显然不是曲线 C：y(x1)2在点 P(1，0)处的切线，错误；对于，y(sinx)cosx，y|x01，曲线在点 P(0，0)处的切线为 l：yx，画图可知曲线 C：ysinx 在点 P(0，0)附近位于直线 l 的两侧，正确；对于，y(tanx)sinxcosx 1cos2x，y|x01cos201，曲线在点 P(0，0)处的切线为 l：yx，画图可知曲线 C：ytanx 在点 P(0，0)附近位于直线 l 的两侧，正确；对于，y(lnx)1x，y|x11，在点 P(1，0)处的切线为 l：yx1，令 h(x)x1lnx(x0)，可得 h(x)11xx1x，所以 h(x)

24、minh(1)0，故 x1lnx，可知曲线 C：ylnx 在点 P(1，0)附近位于直线 l 的下方，错误故填.3.2导数的应用导数的应用(一一)1函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增；如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间内_2函数的极值与导数(1)判断 f(x0)是极大值，还是极小值的方法：一般地，当 f(x0)0 时，如果在 x0附近的左侧 f(x)0， 右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0附近的左侧_，右侧_，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程_的根；检查

25、 f(x)在上述方程根的左右对应函数值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得_3函数的最值与导数(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2) 若 函 数 f(x) 在 a ， b 上 单 调 递 增 ， 则_ 为 函 数 在 a ， b 上 的 最 小 值 ，_为函数在a，b上的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则_为函数在a，b上的最大值， _为函数在a， b上的最小值(3)设函数 f(x)在a， b上连续， 在(a， b)内可导，求 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求 f(x)在

26、(a，b)内的极值；将 f(x)的各极值与端点处的函数值_，_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值自查自纠：1单调递减2(1)f(x)0f(x)0(2)f(x)0极大值极小值3(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)f(a)f(b)关于函数的极值， 下列说法正确的是()A导数为 0 的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值Cf(x)在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数解：导数为 0 的点不一定是极值点(如 yx3，在 x0 处)，而极值点的导数一定为 0.极值是局部概念，因此极小值可

27、能有多个且有可能大于极大值极值点是单调性的转折点故选 D.已知函数 f(x)12x2x，则 f(x)的单调增区间是()A(，1)和(0，)B(0，)C(1，0)和(1，)D(1，)解：f(x)x1，令 f(x)0，解得 x1.故选D.若在区间1，2内有 f(x)0，且 f(1)0，则在1，2内有()Af(x)0Bf(x)0Cf(x)0Df(x)1解：f(x)0，f(x)在1，2内单调递增f(1)0，在1，2内 f(x)0.故选 A.若函数 f(x)的导函数 f(x)x24x3， 则函数 f(x1)的单调递减区间是_解：由 f(x)x24x30 得 1x3，所以函数 f(x)的单调递减区间为(1

28、，3)，函数 yf(x1)的图象由函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位得到， 故函数 f(x1)的单调递减区间是(2， 4)故填(2，4)函数 f(x)x2cosx，x0，2 的最大值是_解：f(x)12sinx，令 f(x)0 得 sinx12，从而 x6，当 x0，6 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x6，2 时，f(x)0，f(x)单调递减，所以 f(x)在 x6处取得极大值，即最大值6 3.故填6 3.类型一类型一导数法判断函数的单调性导数法判断函数的单调性设函数 f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数 yf(x)的图象可能是()解：当 x0 时，f(x

29、)为增函数，f(x)0，排除 A， C； 当 x0 时， f(x)先增后减， 再增， 对应 f(x)先正后负，再正故选 D.点拨：导函数的图象在哪个区间位于 x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于 0(小于 0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)(2014北京联考)如图是函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在(2，1)上 f(x)是增函数B在(1，3)上 f(x)是减函数C当 x2 时，f(x)取极大值D当 x4 时，f(x)取极大值解： 由 yf(x)的图象可得 yf(x)的大致图象如图由图可知，A，B，D 均错故选 C.类型二类型二导数

30、法研究函数的单调性导数法研究函数的单调性已知函数 f(x)x3ax，f(1)0.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解：(1)f(x)3x2a，由 f(1)3a0，得 a3.(2)f(x)x33x，f(x)3x23.令 f(x)0，得 x1 或 x1.所以 f(x)的单调递增区间是(，1)，(1，)，单调递减区间是1，1点拨：用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号注意： 区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响如，本例中1， 1也可以写成(1， 1)写单调区间时，一般不要使用符号“”，可以用“， ” “和”分开各区间，原因是各单调区间用“”连接的

31、条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立如，本例中(，1)，(1，)不能写成(，1)(1，)，不妨取 x132(，1)，x232(1，)，x1x2，而 f(x1)f32 98，f(x2)98，这时 f(x1)f(x2)不成立(2014山东) 设 函 数 f(x) exx2k2xlnx(k0，k 为常数，e2.71828是自然对数的底数)，求函数 f(x)的单调区间解：函数 yf(x)的定义域为(0，)f(x)x2ex2xexx4k2x21xxex2exx3k（x2）x2（x2） （exkx）x3.由 k0 可得 exkx0，所以当 x(0，2)时，f(x)0，函数 yf(x)单调递减，x(2，

32、)时，f(x)0，函数 yf(x)单调递增所以 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)类型三类型三导数法研究函数的极值问题导数法研究函数的极值问题已知函数f(x)12x3cx在x1处取得极值(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的极值解： (1)f(x)32x2c， 当 x1 时， f(x)取得极值，则 f(1)0，即32c0，得 c32.故 f(x)12x332x.(2)f(x)32x23232(x21)32(x1)(x1)，令 f(x)0，得 x1 或 1.x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(， 1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)极极

33、大值小值因此，f(x)的极大值为 f(1)1，极小值为 f(1)1.点拨：找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数为零的点就是极值点(如 yx3)，还要保证该零点为变号零点设 f(x)a(x5)26lnx，其中 aR，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 2.(1)确定 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解：(1)f(x)2a(x5)6x，依题意，f(1)68a2，得 a12.(2)由(1)知，f(x)12(x5)26lnx(x0)，f(x)x56x（x2） （x3）x.令 f(x)0，得 x2 或 3.x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2(

34、2，3)3(3， )f(x)00f(x)极大值极小值故 f(x)的单调增区间为(0，2)和(3，)，单调减区间为(2，3)f(x)的极大值 f(2)926ln2，极小值 f(3)26ln3.类型四类型四导数法研究函数的最值问题导数法研究函数的最值问题已知函数 f(x)ax22，g(x)x3bx.若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线(1)求 a，b 的值；(2)求函数 f(x)g(x)的单调区间， 并求其在区间(，1上的最大值解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，f(1)g(1)，f(1)g(1)，a21b，且 2a3b，解得 a4，b5.(2)设 h(

35、x)f(x)g(x)x34x25x2，则 h(x)3x28x5(3x5)(x1)x，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，53)53(53，1)1(1，)h(x)00h(x)极大值极小值所以 f(x)在，53 ，(1，)上单调递增，在53，1上单调递减h53 427，h(1)12，12427，f(x)g(x)在(，1上的最大值为 12.点拨：函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得已知函数 f(x)2x3ax2bx1，若函数 yf(x)的图象关于直线 x12对称，且 f(1)0.(1)求实数 a

36、，b 的值；(2)求函数 f(x)在区间2， 2上的最大值和最小值解：(1)f(x)6x22axb，函数 yf(x)的图象的对称轴为 xa6.a612，a3.f(1)0，62ab0，得 b12.故 a3，b12.(2)由(1)知 f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(， 2)2(2，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值f(2)21，f(2)5，215，f(1)6.所以 f(x)在2，2上的最大值为 21，最小值为6.类型五类型五实际应用问题实际应用问题(优化问题优化问题)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD

37、 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点， 设 AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大，x应取何值？(2)若厂商要求包装盒容积 V(cm3)最大，x 应取何值？解：(1)根据题意有S6024x2(602x)2240 x8x2，0 x30，S24016x，令 S0，得 x15.当 0 x15 时，S0，S 递增；当 15x30 时，S0，S 递减所以 x15 cm 时包装盒侧面

38、积 S 最大(2)根据题意有V( 2x)222(602x)2 2x2(30 x)，0 x30，V6 2x(20 x)，当 0 x20 时，V0，V 递增；当 20 x30 时，V0，V 递减所以 x20 cm 时包装盒容积 V 最大点拨：本题主要考查学生的空间想象能力、 阅读能力、运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题注意用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点用长为 15 cm， 宽为 8 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为 x cm 的小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊

39、接而成(如图)问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解：依题意，0 x4，容积 V(152x)(82x)x4x346x2120 x，V12x292x1204(3x5)(x6)令 V0，得 x53或 6(舍去)当 0 x53时，V0，V 递增；当53x4 时，V0，V 递减所以高 x53cm 时容器的容积最大1用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于 0 的点外，还要注意定义区间内的间断点2极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数

40、的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在， 且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值3实际问题中的最值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较1(2014新课标)函数 f(x)在 xx0处导数存在若 p： f(x0)

41、0， q： xx0是 f(x)的极值点， 则()Ap 是 q 的充分必要条件Bp 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Cp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D p 既不是 q 的充分条件， 也不是 q 的必要条件解：由条件知由 q 可推出 p，而由 p 推不出 q.故选 C.2设 f(x)是函数 f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则 yf(x)的图象有可能是()解：当 x0 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 0 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减故选C.3函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0，3)C(1，4)D(2，)解：f(x)(x

42、3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令 f(x)0，解得 x2，故选 D.4设函数 f(x)2xlnx，则()A. x12为 f(x)的极大值点B. x12为 f(x)的极小值点C. x2 为 f(x)的极大值点D. x2 为 f(x)的极小值点解： f(x)x2x2， 令 f(x)0， 得 x2.当 x2 时，f(x)2 时，f(x)0，f(x)为增函数，所以 x2 为 f(x)的极小值点，故选 D.5函数 f(x)x33x2m 在区间1，1上的最大值是 2，则常数 m()A2B0C2D4解：f(x)3x26x3x(x2)，令 f(x)0，得 x0 或 x2(舍去)，当1x0 时，f(x)

43、0；当 0 x1 时，f(x)0.所以当 x0 时，f(x)取得最大值为 m，m2.故选 C.6已知函数 f(x)ax3bx2cxd 的图象如图所示，则下列判断正确的是()Aa0，b0，c0，b0，c0，b0Da0，b0，c0解： 因为 x0 时， f(x)0 恒成立， 所以 a0； f(x)3ax22bxc0 的两个根 x1、x2均小于零，所以x1x22b3a0；x1x2c3a0，则 c0，所以 a，b，c 同为正故选 D.7函数 f(x)x32xf(1)，则函数 f(x)在区间2，3上的值域是_解：f(x)3x22f(1)，令 x1，则 f(1)32f(1)， 得 f(1)3， 因此 f(

44、x)x36x，f(x)3x263(x 2)(x 2)，f(2)4，f( 2)4 2，f( 2)4 2，f(3)9，f(x)在区间2，3上的值域为4 2， 9故填4 2， 98已知圆柱的体积为 16 cm3，则当底面半径r_cm 时，圆柱的表面积最小解：圆柱的体积为 Vr2h16r2h16，圆柱 的 表 面 积 S 2rh 2r232r 2r2216rr2，由 S216r22r0，得 r2.因此r(0，2)2(2，)S0S极小值，也是最小值当底面半径 r2 时，圆柱的表面积最小故填 2.9(2014重庆)已知函数 f(x)x4axlnx32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切

45、线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值解：(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x 知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x454xlnx32，则 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0，5)时，f(x)0，故 f(x)在(0，5)上为减函数；当 x(5，)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)上为增函数由此知函数 f(x)在 x5 时取得极小值 f(5)ln5.10已知函

46、数 f(x)x2alnx，a0.(1)若 x1 是函数 f(x)的极值点， 求实数 a 的值；(2)讨论 f(x)的单调性解：f(x)2xax，x0.(1)因为 f(1)0，所以 2a0，得 a2，经检验，当 a2 时，x1 是函数 f(x)的极值点(2)若 a0，则 f(x)0 恒成立，f(x)在(0，)上单调递增若 a0，令 f(x)0，得 xa2，当 x0，a2 时， f(x)0， f(x)单调递减；当 xa2，时，f(x)0，f(x)单调递增11(2014天门、仙桃、潜江高三期末)某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地 AOCB规划建成一个矩形的高科技工业园区已知 A

47、BBC， OABC， ABBC2AO4 km，曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向上的抛物线的一段如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB，BC上，且一个顶点 P 落在曲线段 OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到 0.1 km2)解：以 O 为原点，AO 所在直线为 x 轴建立直角坐标系(如图)依题意可设抛物线的方程为x22py，且 C(2，4)222p4，p12.故曲线段 OC 的方程为 yx2(0 x2)设 P(x，x2)(0 x2)，则|PM|2x，|PN|4x2.工业园区的用地面积S|PM|PN|(2x)(4x2)x32x24x8.S3x

48、24x4，令 S0 x123，x22(舍去)，当 x0，23 时，S0，S 是 x 的增函数；当 x23，2时，S0，S 是 x 的减函数x23时，S 取到最大值，此时|PM|2x83，|PN|4x2329，Smax83329256279.5(km2)答： 把工业园区规划成长(PN)为329km， 宽(PM)为83km 时，矩形工业园区的用地面积最大，最大用地面积约为 9.5 km2.(2014全国)已知函数 f(x)x33x2ax2，曲线 yf(x)在点(0，2)处的切线与 x轴交点的横坐标为2.(1)求 a；(2)证明：当 k1 时，曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点解：(1)

49、f(x)3x26xa，f(0)a.曲线 yf(x)在点(0，2)处的切线方程为 yax2.由题设得2a2，所以 a1.(2)证明：由(1)知，f(x)x33x2x2.设 g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4，由题设知 1k0.当 x0 时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10，g(0)4，所以 g(x)0 在(，0上有唯一实根当 x0 时，令 h(x)x33x24，则 g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以 g(x)h(x)h(2)0，所以 g(x)0 在(0，)上没有实根综上，

50、g(x)0 在 R 有唯一实根，即曲线 yf(x)与直线 ykx2 只有一个交点3.3导数的应用导数的应用(二二)1当 f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(，)上，f(x)x3，当 x0 时，f(x)_，当 x0 时，f(x)0，而 f(x)x3显然在(，)上是单调递增函数2可导函数求最值的方法f(x)0 xx1，x2，xn，xa，b直接比较 f(a)，f(b)，f(x1)，f(xn)，找出_和_即可在此基础上还应注意：(1)结合_可减少比较次数(2)含参数的函数求最值可用：按_分类；按_分类3实际问题中的导数

51、，常见的有以下几种情形：(1)加速度是速度关于_的导数；(2)线密度是质量关于_的导数；(3)功率是功关于_的导数；(4)瞬时电流是电荷量关于_的导数；(5) 水 流 的 瞬 时 速 度 是 流 过 的 水 量 关 于_的导数；(6)边际成本是成本关于_的导数4N 型曲线与直线 yk 的位置关系问题如图，方程 f(x)0 有三个根 x1，x2，x3时，极大值 f(a)0 且极小值 f(b)0.曲线 yf(x)与直线 yk(k 是常数)有一个交点时，见图中的直线或直线，极大值 f(a)_k或极小值 f(b)_k；曲线 yf(x)与直线 yk(k 是常数)有两个交点时，见图中的直线或直线，极大值

52、f(a)_k或极小值 f(b)_k；曲线 yf(x)与直线 yk(k 是常数)有三个交点时，见图中的直线.以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目自查自纠：102最小值最大值(1)单调性(2)单调性极值点3(1)时间(2)长度(3)时间(4)时间(5)时间(6)产量4函数 y4x21x的单调增区间为()A(0，)B.12，C(，1)D.，12解：y8x1x2，令 y0，解得 x12，函数 y4x21x在12，上递增故选 B.函数 f(x)ax3x1 在 x1 处有极值，则 a 的值为()A1B0C13D12解：f(x)3ax21，f(1)3a10，a13.故选 C.已知函

53、数 f(x)ax3bxc(a，b，cR)，若 f(1)2，则 f(1)()A0B3C1D2解：f(x)3ax2b，f(1)f(1)2.故选 D.已知 f(x)sinx2x，xR，且 f(2a)f(a1)，则 a 的取值范围是_解：f(x)cosx20 恒成立，f(x)在 R 上单调递增f(2a)f(a1)，2aa1，得 a1.故填(，1)若函数 f(x)ax33x23x(a0)在区间(1，2)是增函数，则 a 的取值范围是_解：f(x)3ax26x3，当 a0 时，f(x)在区间(1，2)是增函数，当且仅当 f(1)0 且 f(2)0，解得54a0.故填54，0.类型一类型一函数单调性的进一步

54、讨论函数单调性的进一步讨论已知实数 a0，函数 f(x)a(x2)22lnx.(1)当 a1 时，讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在区间1，4上是增函数，求实数 a的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)x24x42lnx，f(x)2x42x2（x1）2x，x0，f(x)0，f(x)在区间(0，)上单调递增(2)f(x)2ax4a2x2ax24ax2x，又 f(x)在区间1，4上是增函数，f(x)2ax24ax2x0对x1， 4恒成立，即 2ax24ax20 对 x1，4恒成立，令 g(x)2ax24ax2，则 g(x)2a(x1)222a，a0，g(x)在1，4上单调递增，只

55、要使 g(x)ming(1)22a0 即可，0a1.点拨：函数 f(x)在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解设函数 f(x)xekx(k0)(1)若 k0，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(1，1)内单调递增，求 k的取值范围解：(1)f(x)(1kx)ekx.若 k0，令 f(x)0，得 x1k，所以函数 f(x)的单调递增区间是1k，单调递减区间是，1k .(2)f(x)在区间(1，1)内单调递增，f(x)(1kx)ekx0 在(1，1)内恒成立，1kx0 在(1，1)内恒成立，即1k（1）0，1k10，解得1k1.因为 k0，所以 k

56、的取值范围是1，0)(0，1类型二类型二极值与最值的进一步讨论极值与最值的进一步讨论(2013福建) 已 知 函 数 f(x) x alnx(aR)(1)当 a2 时，求曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值解：(1)当 a2 时，f(x)x2lnx，f(x)12x.f(1)1，f(1)1.所求切线方程为 y1(x1)， 即 xy20.(2)f(x)1axxax，x0.若 a0，则 f(x)0 恒成立，f(x)不存在极值若 a0，则 x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，)f(x)0f(x)极小值所以 f(x)的极小值 f(a)a

57、alna.点拨：本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤分类与整合思想是解这类题目常用的数学思想方法，注意：分类标准统一，层次分明；不重不漏已知函数 f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0，1上的最小值解：(1)f(x)(xk1)ex，令 f(x)0，得 xk1.f(x)与 f(x)的变化情况如下：x(， k1)k1(k1， )f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)，(2)当 k10，即 k1 时，函数 f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(0)k；当 0k

58、11，即 1k2 时，由(1)知 f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1；当 k11，即 k2 时，函数 f(x)在0，1上单调递减，所以 f(x)在区间0，1上的最小值为 f(1)(1k)e.类型三类型三方程根的讨论方程根的讨论已知函数 f(x)ex，xR.(1)求 f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程；(2)证明：曲线 yf(x)与直线 yex 有唯一公共点解：(1)f(0)e01，f(0)1，切线方程为 y11(x0)，即 xy10.(2)证法一：设 g(x)exex，曲线 yex与 yex 的公共点的个数等

59、于函数g(x)exex 零点的个数g(x)exe，令 g(x)0，得 x1，g(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)的最小值 g(1)e1e0，g(x)exex0(仅当 x1 时，等号成立)曲线 yf(x)与直线 yex 有唯一公共点证法二：由于方程 exex 等价于xex1e .设 h(x)xex，分析方法类似证法一点拨：本题通过作差或作商构造出新的函数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点处的函数值、特殊点(如图象与 x 轴，y 轴交点)，来判断交点的个数，这是函数与方程思想的体现若 a1e， 则方程 lnxax0 的实根的个数为()A0 个B1 个C2 个D无穷多个

60、解法一：由于方程 lnxax0 等价于lnxxa.设 f(x)lnxx.f(x)1xxlnxx21lnxx2，令 f(x)0，得 xe，f(x)在(0，e)上单调递增；在(e，)上单调递减f(x)的最大值 f(e)1e，f(x)lnxx1e(仅当 xe 时，等号成立)a1e，原方程无实根解法二：设 g(x)lnxax，分析单调性、极值可得结论故选 A.类型四类型四导数法证明不等式导数法证明不等式已知函数 f(x)ex，当 x0，1时，求证：(1)f(x)1x；(2)(1x)f(x)1x.证明：(1)设 g(x)exx1，x0，1g(x)ex10，g(x)在0，1上是增函数，g(x)g(0)10