江西理工大学2014年数值分析试卷

1、精选优质文档-倾情为你奉上2013级建测学院数值分析期末试卷1注意： 答题方式为闭卷。 可以使用计算器。l 请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。一、 填空题 （2 0×2）1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 位有效数字。2. 设，A_ _，X_ _，AX_ _ (注意：不计算AX的值) 。3. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=j(x)在有解区间满足 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。4. 若f(x)=x7x31，则f20,21,22,23,24,25,26,27= ， f20,21,22,23,24,25,26,27

2、,28= 。5. 区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到 阶的连续导数。6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 。7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是： ；所以当系数ai(x)满足 ，计算时不会放大f(xi)的误差。8. 要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 位有效数字。9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性

3、方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 。10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 。 x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛顿下山法的下山条件为 。12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,n)来实现的，其中的残差ri ，(i=0,1,n)。13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 。14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 、迭代计算。二、 判断题(在题目

4、后的( )中填上“”或“×”。) （10×1）1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AXb一定可以使用高斯消元法求解。( )2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( )3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式 则解线性方程组AXb的高斯塞德尔迭代法一定收敛。 ( )4、 样条插值一种分段插值。 ( )5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( )6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 ( )7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AXb。

5、( )8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( )9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差舍入误差。 ( )10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( )三、 计算题 （5×8+10）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。2、用牛顿埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f (xi)153、对下面的线性方程组变化为等价的线性方

6、程组，使之应用雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。4、设y=sinx，当取x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0, y1, y2应取几位小数?5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。6、应用牛顿法于方程 ，导出求的迭代公式，并用此公式求的值。（计算时小数点后保留4位)。2013级建

7、测学院数值分析期末试卷21. 数值积分公式形如（15）(1) 试确定求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。(2) 已知该求积公式余项试求出余项中的参数。（1）解：时，左，右，左右得：时，左，右，左右得： 时，左，右，左右得： 联立上述三个方程，解得： 时，左，右，左右所以，该求积公式的代数精度是2 （2）解：过点0，1构造的Hermite插值，因为该求积公式代数精度为2，所以有： 其求积余项为： 所以， 2. 设初值问题 .写出用改进的Euler法解上述初值问题数值解的公式，若，求解，保留两位小数。（10分）.解：改进的Euler公式是： 具体到本题中，求解的公式是： 代入

8、求解得：, 3. 分别用梯形公式，复化梯形公式计算积分：其中在用复化梯形公式求积分时，步长。（10分）梯形公式为: 复化梯形公式为:具体到本题中,可知=4.用改进的欧拉方法求解初值问题：取步长，计算过程中保留到小数点后四位。（10分）.改进的Euler公式为:具体到本题中,则为经化简为:所以:05.证明: 设,左=右 左=右 ,右,左右所以,该公式具有一次代数精度.6. 用两点Gauss-Legendre求积公式求积分解：两点Gauss-legrende求积公式为：所以7. 用欧拉法求解常微分方程组初值问题：（10分）在0,0.4上的数值解,取步长，计算过程中保留两位小数。（10分）Euler

9、公式为:具体到本题中,则为又因为：所以上述求解公式可化简为:所以:；8.分别写出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯赛德尔迭代求解方程组： 的迭代公式.并判断用高斯赛德尔迭代法求解该方程组的收敛性。(15分).解:Jacibo迭代公式为:Gauss-Seidel迭代公式为:(2)解:设矩阵可分解为三个矩阵的和,即,其中所以, Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵可求得所以,所以,用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组是发散的.9.证明(10分)1.设,已知插值节点且,证明:(1)在上的线性插值函数的误差界为(2)二次插值多项式的误差界为1证明: 因为是在上的线性插值函数 所以有插值余项公式可知其插值余项为：，其中即：令，易知：，所以：10. 证明: 因为是在上的二次插值多项式可知其插值余项为：，其中即：令，令令，则所以， 11用Euler方法求解初值问题取在区间计算,结果保留到小数点后4位。(10分）.解：Euler公式是：具体到本题中，求解的Euler公式是：代入求解得：12. 用LU分解法解线性方程组（10分）解，设A可以三解分解，即由矩阵的乘法及矩阵相等可得：， 令求解三角方程组：，得：