宜宾市一中高2013级自主招生数学辅导资料三1

1、宜宾市一中高2013级自主招生数学辅导资料 导数函数不等式综合（三）二元变量 李波 涉及多个变量的问题，其本质就是消元，尽可能减少变量的个数.类型一、化成齐次式，构造一元变量，这类题往往和函数的零点有关，主要是涉及形如函数练习1：已知函数图像上一点处的切线方程为()求的值；()若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围；()令如果的图像与轴交于两点，的中点为，求证：解：() a2,b1 () (),.假设结论成立,则有,得.由得,于是有,即. 令, (0t1),则0.在0t1上是增函数,有,式不成立,与假设矛盾.练习2：已知函数,(为自然对数的底数).(1)求函数在区间上的值域;(2)是否存在

2、实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由;(3)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对于函数图象上的点(其中)总能使得成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是否具备性质“”,并说明理由.解：(1) . (2)当时,在区间上单调递增,不合题意; 当时,在区间上单调递减,不合题意; 当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增. 注意到此时,故只需的最小值小于等于0即可.而由解得,这与矛盾. 综上,满足条件的不存在. (3)设函数具备性质“”,即在点处的切线斜率等于,不妨设,则 , 而在点处的切线斜率为, 故有, 即. 令,则上式

3、化为. 令,则由可知在上单调递增,故,即方程无解. 函数不具备性质“”. 例2、已知函数（1）当时，讨论函数；（2）如果证明：.解：（） （）， 练习1：设函数.（）求函数的单调区间 （）若函数有两个零点，且，求证： 解：（）当时，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为 当时，由，得；由，得所以函数的单调增区间为，单调减区间为 （）因为是函数的两个零点，有则，两式相减得即所以 又因为，当时，；当时，故只要证即可，即证明 即证明，即证明， 设.令，则，因为，所以，当且仅当时，所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立. 练习2： 已知函数（为常数，）,（1）当时，求证：函数； （2）（）讨论的

4、单调性，并证明当有两个不同零点时，（）若有两个不同零点，求证：。解：（1）略（2）（）由已知得易知，均为负数才有可能有两个零点，（）要使成立，即证由（1）得，即原不等式成立练习3：已知函数（I）若函数的图象在x0处的切线方程为y2xb，求a，b的值；（II）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；（III）如果函数恰好有两个不同的极值点证明：解：（I）， 于是由题知1a=2，解得a=1 ，于是1=2×0+b，解得b=1（II）由题意即恒成立， 恒成立设，则x(，0)0(0，+)0+h(x)减函数极小值增函数 h(x)min=h(0)=1， a1（III）由已知， x1，x2是函数g

5、(x)的两个不同极值点（不妨设x1<x2）， a0（若a0时，即g(x)是R上的增函数，与已知矛盾），且， ，两式相减得：，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证(x1-x2)>，即证(x1x2)>0，令x1x2=t，t<0即证不等式当t<0时恒成立设， 由(II)知，即， (t)<0， (t)在t<0时是减函数 (t)在t=0处取得极小值(0)=0 (t)>0，得证 练习3：已知函数. （I）若a1,求曲线y=f(x)在x3处的切线方程； （II）若对任意的，都有f(x)g(x)恒成立，求a的最小值；（III)设p(x)f（x1），a0，若

6、为曲线yp (x)的两个不同点，满足使得曲线y=f(x)在x0处的切线与直线AB平行，求证：类型二、利用根与系数关系，构造一元变量，此类题目较多的涉及极值点的问题，其特征之一就是导数为零的时候与二次函数有关。练习3、设函数有两个极值点。（）求的取值范围，并讨论的单调性；（）证明：也可证.3、转化为任意存在，求最值问题练习3.已知函数.（1）当时，讨论的单调性（2）设，当时，若对任意，存在.使求实数的取值范围.()练习4.已知函数，其中.（1）若是函数的极值点，求实数的值; （2）若对任意的都有成立，求实数的取值范围练习5已知函数.（1）若，求曲线在处切线的斜率；（2）求的单调区间；（3）设，若

7、对任意的，均存在，使得，求得取值范围.()练习7、已知函数.（1）试判断函数的单调性;（2）当时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点;（3）若存在使得，试求的取值范围.练习8、（2015年成都一诊21）已知函数，其中且为自然对数的底数 （）当时，求函数的单调区间和极小值； （）当时，若函数存在三个零点，且，试证明：；（）是否存在负数，对，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由解：（）（且）由，得；由，得，且函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （）在上单调递增，上单调递减，上单调递增函数存在三个零点,由综上可知，结合函数单调性及可得：即，得证（III）由题意，只需由，函数在上单调递减，在上单调递增由，函数在上单调递增，上单调递减 ，不等式两边同乘以负数，得，即由，解得综上所述，存在这样的负数满足题意4、将其中一个变量当作常数例、已知函数. ()求的单调区间;()当时,设斜率为的直线与曲线交于、 两点,求证:.解:(), 当时,在上