定点、定值和最值问题

1、定点、定值、最值问题 复习目标及教学建议 基础训练 知识要点 双基固化 能力提升 规律总结 复习目标掌握与圆锥曲线有关的定点问题、定值问题、最值问题的探求方法，能利用这些方法解决与定点问题、定值问题、最值问题.有关的圆锥曲线综合问题.复习目标及教学建议教学建议充分利用数形结合的思想来分析求解定点问题、定值问题、最值问题. 基础训练1已知抛物线C的方程为y=x2-2m2x-(2m2+1) (mR)，则抛物线C恒过定点 (-1,0) 【解析】由y=x2-2m2x-(2m2+1)(mR)， 化为2m2(x+1)=x2-y-1， 则 x+1=0 x=-1 x2-y-1=0 y=0 抛物线C恒过M(-1

2、,0).定点、定值、最值问题2双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则POQ的面积为 () A4 B2 C1 D不确定【解析】双曲线x2-y2=4的两条渐近线y=x，即xy=0.C0000,22xyxyPQPR定点、定值、最值问题3斜率为1的直线l与椭圆 +y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为 () A2 B C D 【解析】设l直线方程为y=x+t，则弦长|AB|=SPOQ= |PQ|PR|=C22004xy1224x4 554 1058 10524 54 10255t定点、定值、最值问题4若动点（x，y）在曲线 上变化，则

3、x2+2y的最大值为 【解析】由 (b0)得到x2= 则x2+2y= +2y=- (y- )2+ +4. -byb.若 b，即0b4时，当y= 时，x2+2y的最大值为 +4.22214xyb24(04)42 (4)bbb b22214xyb2244,yb2244yb24b24b24b24b24b24b定点、定值、最值问题根据双曲线的定义，有|PF1|-|PF2|=2a，所以 当且仅当|PF2|= ，即|PF2|=2a时等号成立. 设点P的坐标为(x,y)(xa)，由双曲线的第二定义，得|PF2|=(x- )e=ex-ac-a，即2ac-a，于是e= 3，又e1，1e3.224aPF2acac

4、定点、定值、最值问题 知识要点 1求过定点问题的基本方法 若曲线C1：f(x,y)=0，与曲线C2：g(x,y)=0有公共点M，则曲线系C： f(x,y)+g(x,y)=0，（R,R）恒过定点M. 2求圆锥曲线的有关最值的常用方法 （1）代数法 借助代数函数求最值的方法.运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值的方法.常用的方法有：定点、定值、最值问题 配方法：由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值； 基本不等式法：如能转化为定和或

5、定积的问题，可以考虑用基本不等式求其最值； 三角法：借助圆锥曲线的参数方程或三角代换，将所求最值问题转化为三角函数的最值问题.定点、定值、最值问题 （2）几何法 利用圆锥曲线的第二定义化为直接求有关最值； 利用圆锥曲线的第一定义结合对称的有关结论求到两定点的距离的和差的最值； 利用平面几何中的有关结论求其最值.定点、定值、最值问题例1曲线 的内接PAB中，PA、PB的倾斜角互补，且直线OP的倾斜角为60.证明直线AB的斜率为定值.双基固化1定值问题22126xy【解析】（1）由直线OP的倾斜角为60，得P(1, ). 设PA的方程为y- =k(x-1)， 则PB的方程为y- =-k(x-1).

6、 将代入椭圆方程有333定点、定值、最值问题(3+k2)x2-2k2x+2 kx+k2-2 k-3=0,33222 333akkxk222 333akkxk同理可得第56讲定点、定值、最值问题例2 20072007届届 湖南联考题湖南联考题 已知椭圆 上一点M(1, )，P、Q是椭圆上异于M的两个动点，并且P、M、Q到椭圆左焦点F1的距离成等差数列，求证：线段PQ的垂直平分线过定点.2定点问题【解析】设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，|PF1|=2+ x1,|MF1|=2+ ,|QF1|=2+ x2. 依题意，2|MF1|=|PF1|+|QF1|，x1+x2=2. 22142xy62222

7、222定点、定值、最值问题 设PQ中点为C(x0,y0)，线段PQ的垂直平分线为l，则 P、Q在椭圆上，120 x +xx,2120y +yy,222112222142142xyxy1212(x +x )(x -x )41212(y +y )(y -y )021201ox -xyy -y02定点、定值、最值问题 PQl，kl=2y0l的方程为y-y0=2y0(x-1)， 即y=y0(2x-1). 直线l过定点( ,0).2121012PQyykxxy 12【小结】直线过定点问题，常用直线系知识来解决.定点、定值、最值问题例520062006年年 全国全国 卷卷 已知抛物线x2=4y的焦点为F，

8、A、B是抛物线上的两动点，且 = （0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M （1）证明 为定值； （2）设ABM的面积为S，写出S=f()的表达式，并求S的最小值3最值问题AF FB FM AB 定点、定值、最值问题 【解析】 (1)由已知条件，得F(0，1)，0 设A(x1，y1)，B(x2，y2)由 = ， 即得(-x1，1-y1)=(x2，y2-1)， -x1=x2 1-y1=(y2-1) 将式两边平方并把y1= x12，y2= x22代入得y1=2y2，AF FB 1414定点、定值、最值问题 解、式得y1=，y2= ， 且有x1x2=-x22=-4y2=-4， 抛物线方程为

9、y= x2，求导得y= x 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y= x1(x-x1)+y1，y= x2(x-x2)+y2， 即y= x1x- x12，y= x2x- x22. 解出两条切线的交点M的坐标为 ( )=( ，-1) 112141212121214141212,24xxx x122xx定点、定值、最值问题 所以 =( ，-2)(x2-x1，y2-y1) = (x22-x12)-2( x22- x12)=0. 所以 为定值，其值为0 (2)由(1)知在ABM中，FMAB， 因而S= |AB|FM|12121414FM AB 122xxFM AB 2212221212()( 2)2

10、1114442xxFMxxx x 定点、定值、最值问题 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线 y=-1的距离， 所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=定点、定值、最值问题 + +2=（ + ）2 于是S= |AB|FM|= ( + )3， 由 + 2知S4，且当=1时，S取得最小值411111212【小结】本题融向量运算、导数的几何意义、运用基本不等式求最值、抛物线的几何性质于一体.考查运用所学知识与方法综合分析解决问题的能力.定点、定值、最值问题1曲线过定点的问题一般利用曲线系的知识来求解. 2有关直线与圆锥曲线的最值问题是解析几何高考热点问题之一，它融解析几何知识与函数知识为一体，综合性强.解答这类问题一般有两种方法，代数法与几何法. 3处理最