应力状态和强度理论

1、第八章 应力状态和强度理论8.1应力状态的概念及其描述8.2平面应力状态分析解析法8.3平面应力状态分析图解法8.4三向应力状态8.5广义胡克定律8.6三向应力状态下应变能8.7强度理论的概念8.8四种常见的强度理论8-1 8-1 应力状态的应力状态的概念及其描述概念及其描述8.1.1应力状态的概念：应力状态的概念：构件上不同的点有不同的应力应力为位应力为位置的函数。置的函数。 构件上同一点不同的方向面上应力不尽相同 应力为方向面的应力为方向面的函数。函数。PAPPPP 一点一点处的应力状态是指通过一点处的应力状态是指通过一点不同方位截面不同方位截面上的上的应力的应力的集合集合. 应力分析就是

2、研究这些不同方向截面上应力随截面方向的变化规律，从而为构件构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础。的理论基础。8-1 8-1 应力状态的应力状态的概念及其描述概念及其描述8.1.1应力状态的概念：应力状态的概念：8-1 8-1 应力状态的应力状态的概念及其描述概念及其描述8.1.2一点处应力的表示方法：一点处应力的表示方法： 一点一点处的应力状态可用围绕该点截取的单元体处的应力状态可用围绕该点截取的单元体(微正微正六面体六面体)上三对互相垂直微面上的应力情况来表示上三对互相垂直微面上的应力情况来表示. 如如轴向拉伸杆件内围绕轴向拉伸杆件内围绕m点截取

3、的两种微元体点截取的两种微元体.特点特点: 根据材料的均匀连续假设微元体各微面上的应力均匀根据材料的均匀连续假设微元体各微面上的应力均匀分布分布,相互平行的两侧面上应力大小相等、方向相反相互平行的两侧面上应力大小相等、方向相反;互相垂直的两侧面上剪应力服从剪切互等定理互相垂直的两侧面上剪应力服从剪切互等定理. 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。表示出各个面上的应力。FFaaABC8-1 8-1 应力状态的应力状态的概念及其描述概念及其描述

4、8.1.2一点处应力的表示方法：一点处应力的表示方法：8-1 8-1 应力状态的应力状态的概念及其描述概念及其描述8.1.3主应力、主平面、主单元体：主应力、主平面、主单元体：以主平面为坐标平面的单元体称为以主平面为坐标平面的单元体称为。 主平面上主平面上的正应力的正应力称称。 剪应力为零的平面称为剪应力为零的平面称为。 A横截面横截面Cmax8-1 8-1 应力状态的应力状态的概念及其描述概念及其描述8.1.3主应力、主平面、主单元体：主应力、主平面、主单元体：可以证明，一点处必定存在可以证明，一点处必定存在主单元体主单元体，因而必定，因而必定存在存在三个互相垂直三个互相垂直的的主应力主应力

5、，分别记为，分别记为 1、 2、 3，且规定按代数值大小顺序排列。且规定按代数值大小顺序排列。即：即： 1 2 31238-1 8-1 应力状态的应力状态的概念及其描述概念及其描述8.1.4应力状态应力状态的分类：的分类：单向应力状态单向应力状态只有一个主应力不等于零二向应力状态二向应力状态有两个主应力不等于零三向应力状态三向应力状态三个主应力都不等于零1231133338-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法8.2.1斜截面上应力状态已知如下图已知如下图a所所示的一平面应力示的一平面应力状态，其上的正应状态，其上的正应力和切应力均已知。力和切应力均已知。可由截面法求与斜截

6、面可由截面法求与斜截面ef上应力。上应力。efnxyzabcdxyyx(a) xyyxyxxydabcxyyxxyx(b) xxyyyxy如如图图b所示，斜截面所示，斜截面ef的外法线与的外法线与x轴间的夹角为轴间的夹角为 ，称为称为 截面。截面。8-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法8.2.1斜截面上应力状态应力的正负和斜截面夹角的正负规定：应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力）正应力 拉为正，压为负；拉为正，压为负；2）切应力）切应力 使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；3）对）对 角，角，x轴逆时针旋转这一角度

7、而与斜截面外法线重合时，轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。其值为正；反之为负。 取图取图c所示分离体进行分析。图所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。斜截面夹角均为正。efbyxxy(c) xy8-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法8.2.1斜截面上应力状态 0n0cossindsinsindsincosdcoscosddxyAAAAAyyxx 由由图图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线和切线t方向可得：方向可得： 0t0sinsindcossindc

8、oscosdsincosddxyAAAAAyyxx其中其中dA为斜截面为斜截面ef的面积。的面积。8-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法8.2.1斜截面上应力状态 0n0cossindsinsindsincosdcoscosddxyAAAAAyyxx 0t0sinsindcossindcoscosdsincosddxyAAAAAyyxx简化：简化：yxxy 倍角公式倍角公式cossin22sin22cos1sin22cos1cos22得：得：2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx（8.1）（8.2）8-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法

9、解析法8.2.1斜截面上应力状态2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx（8.1）（8.2）公式表明公式表明：（2）取另一截面取另一截面，令，令 =/2+，此截面上的应力为此截面上的应力为（1）平面应力平面应力状态下，一点的应力状态由过该点的两个相互垂直状态下，一点的应力状态由过该点的两个相互垂直截面上的应力（截面上的应力（ x 、 y 和和 xy ）确定。确定。2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyxyx单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。切切应力互等定理。应力互等定理。8-2 8-2 平面应力状态分

10、析平面应力状态分析解析法解析法8.2.2正应力极值状态2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx（8.1）（8.2）?maxmin在何处在何处? ? 该处该处?)2cos2()2sin2(2xyyxdd20dd时有：设则：02cos2sin2xyyxyxxy22tan（8.3）90及解出2dd00dd当正应力取极值时都是主应力、minmax8-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法8.2.2正应力极值状态2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx（8.1）（8.2）?maxmin在何处在何处? ? 该处该处?（8.4）2122sin2112co

11、s2222tgtgtgtgyxxy，22minmax22xyyxyx所在的平面中绝对值较小者确定、则max90:yx若:yx若所在的平面中绝对值较小者确定、则min908-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法8.2.3切应力极值状态2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx（8.1）（8.2）?maxmin在何处在何处? ? 0dd令02sin22cos22xyx有02sin2cos2xyx即01dd时有：设02sin2cos211xyx则xyyx22tan1（8.5）9011及解出将三角函数表达式代入（将三角函数表达式代入（8.2）式，得式，得 ：22mi

12、nmax)2(xyyx（8.6）8-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法8.2.3切应力极值状态2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx（8.1）（8.2）?maxmin在何处在何处? ? 比较比较yxxy22tan和和xyyx22tan110tan212tan有22201401即8-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法例题8.1试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。一点一点处的平面应力状态如图所示。处的平面应力状态如图所示。 。3

13、0MPa，60 x30MPa,x ,MPa40y已知已知y x xy解：解：（1 1）求）求 斜面上的应力斜面上的应力cos2sin222xyxyx 60 406040cos( 60 ) 30sin( 60 )22MPa02. 9sin2cos22xyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .588-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法例题8.1y x xy(a) （2 2）求主应力、主平面）求主应力、主平面MPa3 .48, 0MPa,3 .68321。30MPa ，60 x30 M P a,x ,MPa40y根据已知根据已知8-2 8-2 平面应力状态分析

14、平面应力状态分析解析法解析法例题8.1Mpa3 .48Mpa3 .68)30(2406024060222222minmaxxyyxyxy x xy(a) 可知三个主应力分别是：可知三个主应力分别是：（3 3）主平面方位）主平面方位8-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法例题8.1y x xy6 . 040606022tan0yxxy可解得两个主平面角度：可解得两个主平面角度：5 .1505 .105905 .150由已知：由已知：yx则则Mpa3 .681对应绝对值较小的角度，对应绝对值较小的角度，1515. .5 5 Mpa3 .483对应对应105.5 105.5 （4

15、 4）主）主单元体单元体5 .1513例例8.2 讨论圆周扭转时的应力状态，并分析铸铁受扭时的破坏讨论圆周扭转时的应力状态，并分析铸铁受扭时的破坏现象。现象。解：解：由危险点处取出单元体如由危险点处取出单元体如图图bxyyx.00,即22max22xyyxyxmin危险点位置：轴最外边缘危险点位置：轴最外边缘点点myxxytg22902458-2 8-2 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法tWT铸铁铸铁扭转扭转破坏发生在沿与轴线成破坏发生在沿与轴线成的的45斜截面方向，这是由于脆性斜截面方向，这是由于脆性材料的抗拉强度较低所造成的。材料的抗拉强度较低所造成的。8-3 8-3 平面应力

16、状态分析平面应力状态分析图解图解法法8.3.1应力圆方程：应力圆方程：2sin2cos2)2(xyyxyx2cos2sin2xyyx2sin2cos22xyyxyx12222cossin2sin2cos2222)2()2(xyyxyx8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法8.3.1应力圆方程：应力圆方程：xyyxR222)(),(02yxxy),( 0a222Ryax )(2y222)2()2(xyxyx8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法8.3.2应力圆的画法：应力圆的画法：（2） 以以 x 面应力值作为面应力值作为D 点坐标点坐标, 即即),(

17、xyxD（1） 建立建立直角坐标直角坐标 系，选定比例尺系，选定比例尺（3） 确定确定D（y ，yx ）点）点（4）连）连D、 D 交交轴于轴于 c 点，以点，以 c 点点为圆心，为圆心，CD为半径，作圆为半径，作圆xyyyxxyxyx10MPa),(xyxDD c8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法8.3.3几种几种对应关系对应关系 yxyyxxcaA),(aa yyxxyx8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法8.3.3几种几种对应关系对应关系y,yx x ,xy yyxxyx yyxxyx8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图

18、解法法8.3.4应力圆应力圆的应用的应用 yyxxyxn),(E),(xyx),(yxyE2例例8.38.3：单元体如图，绘相应的应力圆单元体如图，绘相应的应力圆 ，从而确定从而确定= -40= -40时斜截面上的应力时斜截面上的应力MPaMPa26. 095. 04040量得：量得：x x=-1MPa=-1MPa，y y=-0.4MPa=-0.4MPa， xyxy=-0.2MPa,=-40=-0.2MPa,=-40已知：已知：图解法求解：图解法求解：E E8080y yx x40400.4MPa0.4MPa0.2MPa0.2MPaxxyy1MPa1MPa0.20.20.20.2D DD D8

19、-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法8.3.4应力圆应力圆的应用的应用1A1B8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法8.3.4应力圆应力圆的应用的应用 x x y yA AD主应力的确定主应力的确定1oA10cAc 2yxxyyx22)2( 1oB10cBc 2yxxyyx22)2(8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法8.3.4应力圆应力圆的应用的应用 2q qp12 13 23yxxy22tan22yxxxytg8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图

20、解法法8.3.4应力圆应力圆的应用的应用8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法8.3.4应力圆应力圆的应用的应用221A1max4212xyyxB 1A1B例例8.4：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和和b所示，梁的尺寸见图所示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面。试通过应力圆求截面C上上a、b两点处的主应力。两点处的主应力。解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和和e所示：所示： (a) B8 m10 mA250 kNC(b)fza(c) b120152701598-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状

21、态分析图解图解法法(d) FS图M图(e) M(kNm)80 x200 kN50 kNFSx由此可得由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：mkN80CMkN200SCF 又因为横截面的惯性矩和计算又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所点切应力所需的静矩为：需的静矩为：8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法例例8.4：4633m10881227. 0111. 0123 . 012. 0zI36*m102560075. 015. 0015. 012. 0zaS且：且：m135. 0ay由此可得由此可得C截面上截面上a点处正应力和切应力分别为

22、：点处正应力和切应力分别为：MPa7 .122135. 01088108063azCayIMMPa6 .64109108810256102003663*SdISFzzaCa8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法例例8.4： 该点的应力状态如图该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例，所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图即可绘出相应的应力圆，如图g所示。所示。y(f) yyxxxxxx=122.7MPax=64.6MPay=-64.6MPa/MPa/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)3max20(g) 由应力圆可得由应力圆可得a

23、点处的主应力为：点处的主应力为：MPa150111CAOCOA8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法例例8.4：02且：且：4 .467 .1226 .642arctan20则则 1主平面的方位角主平面的方位角 0为：为：2 .230显然，显然， 3主平面应垂直与主平面应垂直与 1主平面，如下图所示。主平面，如下图所示。MPa27223CAOCOA31yyyxxxxx2 .2308-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法例例8.4：对对C截面上的截面上的b点，因点，因yb=0.15m可得：可得：MPa4 .13615. 01088108063bzCbyI

24、M0b 该点的应力状态如图该点的应力状态如图h所示，选定适当的比例，所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图即可绘出相应的应力圆，如图i所示。所示。x=136.5 MPa(h) xyx(i) maxD2(0,0)/MPa/MPaD1(136.4,0)8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法例例8.4：b点处的主应力为：点处的主应力为：MPa4 .1361032 1主平面就是主平面就是x平面，即梁的横截面平面，即梁的横截面C。8-3 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析图解图解法法例例8.4：8-4 8-4 三向应力状态三向应力状态已知：一点处已知：一点处321,

25、8.4.1三向应力状态的解析表达三向应力状态的解析表达132xzyn),cos(),cos(),cos(22232222212322212232222212znnynmxnlnmlnmlnmlpnnn（一）解析求解式：（一）解析求解式：8-4 8-4 三向应力状态三向应力状态1、平行于、平行于3方向的一组斜截面上的应力：方向的一组斜截面上的应力： 平行于平行于3的斜截面上的应力与的斜截面上的应力与3无关无关（可按平面应力状态分析）（可按平面应力状态分析） 用用1、2作应力圆，该圆上点坐标代作应力圆，该圆上点坐标代表平行于表平行于3的某个斜截面上的应力的某个斜截面上的应力332112bacd利用

26、利用应力圆分析：应力圆分析：132xzy8.4.2三向应力状态的图解表达三向应力状态的图解表达8-4 8-4 三向应力状态三向应力状态32、与、与2平行的一组斜截面上的应力：平行的一组斜截面上的应力： 与与2无关无关 可用由可用由1、3作的应力圆上的作的应力圆上的各点坐标表示各点坐标表示1323、与、与1平行的一组斜截面上的应力：平行的一组斜截面上的应力： 可用由可用由2、3作的应力圆上的作的应力圆上的各点坐标表示各点坐标表示 与与1无关无关132128.4.2三向应力状态的图解表达三向应力状态的图解表达8-4 8-4 三向应力状态三向应力状态132xzy3124、三向应力状态的应力圆、三向应

27、力状态的应力圆 与三个主应力均不平行的与三个主应力均不平行的任意方向面上的应力：其对应任意方向面上的应力：其对应的点一定在三个应力圆所围区的点一定在三个应力圆所围区域之内域之内综上：综上：三向应力状态下，代表某一三向应力状态下，代表某一截面上的应力的点或在三个应力圆截面上的应力的点或在三个应力圆圆周上或在其所围阴影范围内圆周上或在其所围阴影范围内132xzy8.4.2三向应力状态的图解表达三向应力状态的图解表达8-4 8-4 三向应力状态三向应力状态5、最大应力、最大应力正应力：正应力：3min1max最大最大切切应力应力：231max作用面和作用面和2平行，和平行，和1、3所在所在面成面成4

28、5221123平面应力状态：平面应力状态：132xzy4512312作用面作用面max作用面作用面222xyyxxy8.4.2三向应力状态的图解表达三向应力状态的图解表达8-4 8-4 三向应力状态三向应力状态maxmax8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律8.5.1单向胡克定律单向胡克定律P时，时，ExEyEz2 2）纯剪应力状态：）纯剪应力状态：Gxyxy P1 1）单向应力状态：）单向应力状态：横向线应变：横向线应变： xyxy时，时，对图示空间应力状态：对图示空间应力状态：; , ,zyx 正负号规定：正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压正应力分量同前，拉为正、压为负；切应力分量

29、重新规定，正面（外法线与坐为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。正，反之为负。六个应力分量，六个应力分量，zxyzxy , ,dxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyz对应的六个应变分量，对应的六个应变分量，zxyzxyzyx,8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律8.5.2空间应力状态空间应力状态8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律8.5.2空间应力状态空间应力状态 正负号

30、规定：正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为正应变分量同前，拉为正、压为负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。 对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理分量和应变分量的关系可由叠加原理求得。求得。应力对应应力对应的六个应变分量，的六个应变分量，zxyzxyzyx,dxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyz8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律8.5.2广义胡

31、克定律（叠加原理）广义胡克定律（叠加原理）yzxzyxxE1xyzxExx1Eyx2Ezx3yxzzE1zxyyE1同理可得：同理可得：对切应力分量与切应变的关系，有：对切应力分量与切应变的关系，有：GxyxyGyzyzGzxzx8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律8.5.2广义胡克定律（叠加原理）广义胡克定律（叠加原理）zyxxE1(8.10)(8.11)综合综合(8.10)和和(8.11)为广义胡克定律。为广义胡克定律。广义胡克定律广义胡克定律适用于适用于空间空间应力状态下，线弹性和小变应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性形条件下各向同性材料。特定情况会有变型如下。材料。特定情况会

32、有变型如下。对平面应力状态：设对平面应力状态：设 z=0， xz=0， yz=0，有：，有：yxzEyxxE1xyyE1xyxyG18-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律8.5.2广义胡克定律（叠加原理）广义胡克定律（叠加原理）若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：213331223211111EEE21312221111EEE二向应力状态：二向应力状态：, 03设设有有8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律8.5.2广义胡克定律（叠加原理）广义胡克定律（叠加原理）可见，即使可见，即使 3 =0，但但 3 08-5 8-5 广义胡克定律广义胡克

33、定律8.5.3体积应变体积应变dxdydzV 单元体变形单元体变形前前 体积体积V：单元体变形后各棱边长：单元体变形后各棱边长：dxdydzV)1)(1)(1 (3211单元体变形后体积单元体变形后体积V1：dxdxdx)1 (11dydydy)1 (22dzdzdz)1 (33)1 (321133221321 V)1 (321 V3211qVVV单元体体积应变：单元体体积应变：321:q体积应变应变用广义胡克定律表示，整理得应变用广义胡克定律表示，整理得)(21321321qE即体积应变与三个主应力之和有关即体积应变与三个主应力之和有关,与主应力的大小与主应力的大小比例无关比例无关.8-5

34、8-5 广义胡克定律广义胡克定律8.5.3体积应变体积应变讨论讨论:纯剪切平面应力状态的体积应变纯剪切平面应力状态的体积应变 4545xx3210 ,021321)(qE剪应力的存在不影响体积应变剪应力的存在不影响体积应变.因此对于一般空间的应力状态单元体因此对于一般空间的应力状态单元体)(21zyxEq x y z xy yx yz zy zx xzyxz8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律8.5.3体积应变体积应变一般一般,单元体的单元体的变形变形由由体积改体积改变变和和形状改变形状改变所组成所组成.体积改变体积改变指形状不变而只指形状不变而只是体积大小改变是体积大小改变.形状改变形状

35、改变指体积不变而只指体积不变而只是形状的改变是形状的改变.例例8.5：已知一受力构件自由表面上某点处的两主已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为应变值为 1=24010-6， 3=16010-6。材料的弹性。材料的弹性模量模量E =210GPa，泊松比泊松比=0.3。求该点处的主应力。求该点处的主应力值数，并求另一应变值数，并求另一应变 2的数值和方向。的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：02即为平面应力状态，有即为平面应力状态，有3111E1331E8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律联立两式可解得：联立两式可解得：MP

36、a3 .44101603 . 02403 . 011021016293121EMPa3 .20102403 . 01603 . 011021016291323E669312103 .34103 .203 .44102103 . 0E主应变主应变 2为：为：其方向必与其方向必与 1和和 3垂直，沿构件表面的法线方向。垂直，沿构件表面的法线方向。8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律例例8.5例例8.6：边长边长a =0.1m的铜立方块，无间隙地放入体的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已所示。已知铜的弹性模量知铜的弹性模量E=1

37、00GPa，泊松比，泊松比 =0.34。当受到。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。体应变以及最大切应力。yxz(b)yxz(a)Faaa8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律01zyxxE01xyzzE联解可得：联解可得：MPa5 .15112yzxMPa30AFy 受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：并产生压应力，即有：解：铜块应力状态如图解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：所示，横截面上的压应力为：8-5 8-5 广义胡克定律广义

38、胡克定律例例8.6yxz(b)yxz(a)Faaa7.25MPa231max利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：则铜块的主应力为：MPa30MPa5 .15321，由此可得其体应变为：由此可得其体应变为：43211095. 121qE8-5 8-5 广义胡克定律广义胡克定律例例8.6yxz(b)yxz(a)Faaa8-6 8-6 三向应力状态三向应力状态下应变能下应变能8.6.1应变能的概念应变能的概念变形能变形能弹性体受外力变形弹性体受外力变形外力会作功外力会作功弹性体会储存能量弹性体会储存能量弹性体因变形而储存的能量弹性体因

39、变形而储存的能量 V外力功外力功 =变形能变形能 （在数量上）（在数量上）应变能密度应变能密度 dVdVLFFLVW 即即LFW21vFLEALFLFV2)(21221dVdVvdVdxdydzdW21dxdydzdV dydzdx332211212121v（8.18）132xzy8-6 8-6 三向应力状态三向应力状态下应变能下应变能8.6.2单向应力状态下的应变能密度单向应力状态下的应变能密度 8.6.3复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度 式中主应变用主应力表示式中主应变用主应力表示,则则133221232221221Ev（8.19）8-6 8-6 三向应力状态三向应力状

40、态下应变能下应变能8.6.4体积改变能密度vv与畸变能密度vdvv：因体积变化而储存的应变能密度vd：因形状变化而储存的应变能密度v= vv+vd1、 vv的计算：mmmE2132131m由（ 8.18 ）：232162123Evmmv8-6 8-6 三向应力状态三向应力状态下应变能下应变能8.6.4体积改变能密度vv与畸变能密度vd2、 vd的计算：22323222161Evvvvd（8.20）8-7 8-7 强度理论的概念强度理论的概念max,maxAFN（拉压）拉压）maxmaxWM（弯曲）（弯曲）*maxzzsbISF（剪切）（剪切）（扭转）（扭转）maxpnWM（正应力强度条件）（正

41、应力强度条件）（切切应力应力强度条件）强度条件）8.7.1基本变形下强度条件的建立基本变形下强度条件的建立式中式中,0n为极限应力为极限应力0n0为极限应力为极限应力0（通过试验测定）（通过试验测定）基本变形下的强度条件为什么可以这样建立？基本变形下的强度条件为什么可以这样建立？因为因为(1)构件内的应力状态比较简单构件内的应力状态比较简单单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态(2)(2)用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应力值比较容易实现力值比较容易实现。8-7 8-7 强度理论的概念强度理论的概念8.7.1基本变形下强度条件的建立基

42、本变形下强度条件的建立复杂复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？xxyyxy它的强度条件是：它的强度条件是： x x、 y y 吗吗？ xyxy、yxyx 8-7 8-7 强度理论的概念强度理论的概念8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究不是！不是！实践证明：实践证明：(1)(1)强度与强度与、均有关，相互影响均有关，相互影响例例：两两个物体哪个容易剪断个物体哪个容易剪断易剪断易剪断 不易剪断不易剪断就象推动某物一样：就象推动某物一样：易动易动 不易动不易动 8-7 8-7 强度理论的概念强度理论的概念8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究（2 2）强

43、度与）强度与x x、y y、z z ( (1 12 23 3) )间的比例有关间的比例有关1 1=2 2=0 =0 1 1=2 2=3 3 单向压缩，极易破坏单向压缩，极易破坏 三向均有受压，极难破坏三向均有受压，极难破坏石材石材1238-7 8-7 强度理论的概念强度理论的概念8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究实践证明：实践证明：(1)(1)强度与强度与、均有关，相互影响均有关，相互影响例例：两两个个石块石块哪个容易压坏？哪个容易压坏？ 那么那么，复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？，复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？模拟实际受力情况，通过实验来模拟实际受力情况，通过实验来

44、建立建立可行吗可行吗？因为因为(1)(1)复杂应力状态各式各样，无穷多种；复杂应力状态各式各样，无穷多种； (2)(2)实验无穷无尽，不可能完成；实验无穷无尽，不可能完成；(3)(3)有些复杂应力状态的实验，技术上难以实现有些复杂应力状态的实验，技术上难以实现怎么办怎么办？长期以来，随着生产和实践的发展，大量工程构件长期以来，随着生产和实践的发展，大量工程构件强强度失效度失效的实例和材料失效的实验结果表明的实例和材料失效的实验结果表明：无论：无论应力状态应力状态多么复杂，多么复杂，材料在材料在常温常温静载作用下的主要发生静载作用下的主要发生两种强度两种强度失效形式失效形式：一种一种是断裂是断裂

45、，另一种是屈服，另一种是屈服。8-7 8-7 强度理论的概念强度理论的概念8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究塑性屈服失效塑性屈服失效脆性断裂失效脆性断裂失效破坏形式与原因初步分析破坏形式与原因初步分析 屈服或滑移屈服或滑移可能是可能是 max 过大所引起过大所引起 断裂断裂可能是可能是 t,max 或或 t,max过大所引起过大所引起断裂断裂断裂断裂断裂断裂断裂断裂8-7 8-7 强度理论的概念强度理论的概念8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究何谓强度理论？何谓强度理论？根据材料在不同应力状态下强度失效共同根据材料在不同应力状态下强度失效共同原因的假说，利用单向拉伸的实验结果，建立原因的

46、假说，利用单向拉伸的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件，这就是复杂应力状态下的强度条件，这就是强度理论强度理论。8-7 8-7 强度理论的概念强度理论的概念8.7.3强度理论的概念强度理论的概念8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论第一强度理论第一强度理论强度理论分为两强度理论分为两 类类:解释断解释断裂破坏裂破坏的理论的理论解释屈解释屈服破坏服破坏的理论的理论最大拉应力理论最大拉应力理论最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论最大切应力理论最大切应力理论畸变能密度理论畸变能密度理论第二强度理论第二强度理论第三强度理论第三强度理论第四强度理论第四强度理论8.8.1关于断裂的强度理

47、论关于断裂的强度理论8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论b1强度条件：强度条件：1nb1 1）最大拉应力理论）最大拉应力理论( (第一强度理论第一强度理论) ) 假设最大拉应力假设最大拉应力 1是引起材料脆性断裂的因素。不论是引起材料脆性断裂的因素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力在什么样的应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力 1达到极限应力达到极限应力 b，材料就发生脆性断裂，即：材料就发生脆性断裂，即：可见：可见：a) 与与 2、 3无关；无关； b) 应力应力 b可用可用单向拉伸试样发生单向拉伸试样发生脆性断裂试验脆性断裂试验来确定。来确定。实验

48、验证：实验验证：铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与该理论铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本相符。相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本相符。存在问题：存在问题：没有考虑没有考虑 2、 3对脆断的影响，无法解释石料单对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。压时的纵向开裂现象。F8.8.1关于断裂的强度理论关于断裂的强度理论8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论假设假设最大伸长线应变最大伸长线应变 1是引起脆性破坏的主要因素，则：是引起脆性破坏的主要因素，则：u1 u用单向拉伸测定，即：用单向拉伸测定，即：Euu2 2）最大伸长线应

49、变理论）最大伸长线应变理论( (第二强度理论第二强度理论) )实验验证：实验验证： a) 可可解释石材单解释石材单压时的纵向裂缝；压时的纵向裂缝； b) 铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符； c) 对铸铁对铸铁一拉一压一拉一压的二向应力状态的二向应力状态偏安偏安全，但可用全，但可用。因此因此断裂条件为断裂条件为：uu321强度条件为：强度条件为：321nuu32111uE因为：因为：8.8.2关于屈服的强度理论关于屈服的强度理论8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论231maxumax 对对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由低碳钢等塑性

50、材料，单向拉伸时的屈服是由45斜截面斜截面上的切应力引起的，因而极限应力上的切应力引起的，因而极限应力 u可可由单拉时的屈服应由单拉时的屈服应力求得力求得，即即2ssu3 3）最大切应力理论）最大切应力理论( (第三强度理论第三强度理论) )假设假设最大切应力最大切应力 max是引起材料塑性屈服的因素，则：是引起材料塑性屈服的因素，则：因为：因为：ss=s/2由此可得，强度条件为：由此可得，强度条件为：31ns8.8.2关于屈服的强度理论关于屈服的强度理论8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论实验验证：实验验证：c) 二向应力状态基本符合，偏于安全。二向应力状态基本符合，偏于安全

51、。b) 不不适用于适用于拉压拉压性能不相同的脆性材料性能不相同的脆性材料。a) 适用于适用于拉压性能相同拉压性能相同的塑性材料的塑性材料；b) 低碳钢单拉低碳钢单拉(压压)对对45 滑移线吻合；滑移线吻合；存在问题：存在问题：a) 没考虑没考虑 2对屈服的影响，偏于对屈服的影响，偏于安全，误差安全，误差10%15%；3 3）最大切应力理论）最大切应力理论( (第三强度理论第三强度理论) )8.8.2关于屈服的强度理论关于屈服的强度理论8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论假设假设形状改变能密度形状改变能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：是引起材料塑性屈服的因素，即： uvvd

52、ds10324 4）形状改变能密度理论）形状改变能密度理论( (第四强度理论第四强度理论) )因为单因为单向向拉伸屈时拉伸屈时有：有： uvd可通过单拉试验来确定。可通过单拉试验来确定。所以所以(8.20)： 2d261sjxEuv231232221d61Euv又：又：s2312322212121231232221因此：因此：由此可得强度条件为：由此可得强度条件为：与最大切应力理论相比，精度更高与最大切应力理论相比，精度更高8.8.3强度理论的统一形式强度理论的统一形式8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论 rr 相当应力，或计算应力相当应力，或计算应力.最大拉应力理论：最大拉应

53、力理论：11r第一强度理论第一强度理论最大伸长线应变理论：最大伸长线应变理论：3212r第二强度理论第二强度理论最大切应力理论：最大切应力理论：313r第三强度理论第三强度理论畸变能密度理论：畸变能密度理论：213232221421r第四强度理论第四强度理论各各强度理论的适用范围：强度理论的适用范围：一般一般情况情况塑性材料塑性材料 屈服破坏屈服破坏;特殊特殊情况情况无论塑、脆性材料，用第三、无论塑、脆性材料，用第三、四强度理论四强度理论三向受拉三向受拉321无论塑、脆性材料，用第一、二强度理论无论塑、脆性材料，用第一、二强度理论用：用：最大拉应力理论最大拉应力理论最大伸长线应变理论最大伸长线

54、应变理论用：用：最大切应力理论最大切应力理论畸变能密度理论畸变能密度理论三向受压三向受压321脆性材料脆性材料 断裂破坏断裂破坏;132xzy8.8.3强度理论的统一形式强度理论的统一形式8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论例题例题8.8：已知已知 ：铸铁构件上：铸铁构件上 危险点的应力危险点的应力状态状态。铸铁拉伸铸铁拉伸许用应力许用应力 = =30MPa30MPa。试试校核该点的强度。校核该点的强度。8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论 解：解：首先根据材料和应力首先根据材料和应力 状态确定破坏形式，状态确定破坏形式， 选择强度理论。选择强度理论。 r1 =

55、 max= 1 脆性断裂，最大拉应力准则脆性断裂，最大拉应力准则例题例题8.8：8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论其次确定主应力其次确定主应力MPaxyyxyx28.29421222maxMPaxyyxyx72. 3421222min129.28MPa,23.72MPa, 30 MPar3011结论：强度是安全的。结论：强度是安全的。521222231两两危险点的应力状态如图，危险点的应力状态如图， = ，由第三、第四强，由第三、第四强度理论分别比较其危险程度。度理论分别比较其危险程度。(a)(b)解：解：对图对图a所示应力状态，因为所示应力状态，因为例题例题8.9：8-8

56、8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论0252222313r2321222312322214r所以：所以：(a)(b)例题例题8.9：8-8 8-8 四种常见的强度理论四种常见的强度理论2132313r2212312322214r对图对图b所示应力状态，有：所示应力状态，有：所以：所以： 2234r2243r 可见：由第三强度理论，图可见：由第三强度理论，图b所示应力状态比所示应力状态比图图a所示的安全；而由第四强度理论，两者的危险所示的安全；而由第四强度理论，两者的危险程度一样。程度一样。 注意：注意：图图a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态，其相当应力如下：合加载对应的应力状态，其相当应力如下：可记住，便于组合变形的强度校核。可记住，便于组合变形的强度校核。例题例