定积分的概念1

1、1.6.1定积分的概念教材分析本节的主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质.教材在对两类典型问题求曲边梯形的面积和求变速运动物体的位移进行详细讨论的基础上，抽象、概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质.在本节的开头，提出了如何计算平面“曲边梯形”的面积，如何求变速直线运动物体的位移、如何求变力做工等问题，并猜测解决它们的基本思想方法，即讲求“曲边图形”的面积转化为求“直边图形”的面积，利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题，从而引发学生学习定积分知识的兴趣.在教材的处理上，要大胆创新，明确求曲边梯形面积的步骤方法，结

2、合学生的认知能力和思维习惯进行引导.，让学生充分体验“分割-近似代替-求和-取极限”的过程针对课本题目较少的特点，例题和练习的选择要遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点，多角度，多层次地认识曲边梯形的面积，多梯度地进行求面积的训练.课时分配本课时是定积分部分的第一课时，主要解决的是定积分的概念问题.教学目标重点: 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义.难点：定积分的概念、定积分的几何意义.知识点：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景.能力点：能用定积分的定义求简单的定积分.教育点：特殊到一般的探究路程，享受从复杂到简单的和谐之美.自主探究点：图形的面积与

3、定积分之间的关系.考试点：了解定积分的几何意义.易错易混点：在横轴下方部分图形的面积与定积分关系.拓展点：链接高考.教具准备 实物投影机和粉笔.课堂模式 基于问题驱动的诱思探究.一、创设情境复习回顾：从求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.许多函数(例如等)的图象都在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线.如图1. 一般地,如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数（不加说明，下面研究的都是连续函数） ；如图2.；如图3.事实上，许多问题都可以归结为

4、求这种特定形式和的极限.【设计意图】通过复习回顾求解步骤及结果的形式，使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知，逐渐过渡到对定积分的学习情境.二、探究新知1定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：，即其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限.说明：定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是 用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：.曲边图形面积：；变速运动路程

5、；变力做功.易得，.2定积分的几何意义如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积. 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积.说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号 分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值.考察和式，不妨设于是和式即为阴影的面积阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）3定积分的性质性质1 （其中是不为的常数） （定积分的线性性质）性质2 （定积分的线性性质）性质3 【设计意图】使学生通过动手操作，实践体验的

6、方法，切身感受到曲边图形的面积与定积分之间的关系.三、理解新知 定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示，.，曲边梯形的面积.，曲边梯形的面积的负值.阴影的面积阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）.【设计意图】利用流程图帮助总结求曲边梯形面积的步骤，让学生进一步熟悉其操作步骤，做到烂熟于心.四、应用新知例1利用定积分定义计算定积分的值解：令，如图分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间，每个小区间的长度为近似代替、作和取，则取极限例2计算定积分分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为.即：思考：若改为计算定积分呢？改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）【设计意图】由学生通过具体的问题进行自学、探究，分组讨论、交流，进一步让学生感受这种以直代曲、化曲为直的极限法求定积分.五、课堂小结定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义.六、布置作业1、必做题：2、选做题：计算下列定积分1； 解：.2. 解：.七、反思提升1.本节课内容较主要是定积分的概念与几何意义和性质，定义由老师引领学生逐步理解和接受在区间选取的任意性，本节