一类非线性积分方程正解的存在唯一性

1、第18卷第2期1998年5月数学研究与评论JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITION赵增勤李宪奎(曲阜师范大学数学系,山东273165)摘要本文研究积分方程u(x)=k(x,y)f(y,u(y)dy,>0及其它的非线性8摄动u(x)=k(x,y)f(y,u(y)dy+G(u(x),在k(x,y)非负可测,f(x,u),G(u)满足一8定条件下,得到所述方程解的存在唯一性及其迭代逼近.关键词积分方程,摄动,正解.分类号AMS(1991)45G󰃗CCLO1751引言关于Hammerstein型积分方程已有很多结果1-u(x)=84,E

2、rbe,Guo与Liu在4中研究了方程0(1.1)k(x,y)f(y,u(y)dy,>以及它的非线性摄动u(x)=k(x,y)f(y,u(y)dy+8G(u(x),(1.2)其中f(x,u)是多项式的倒数.作为文5的继续,本文对(1.1),(1.2)做进一步探讨.这里f(x,u)不必是多项式的倒数且不必连续,积分域8只要求有正测度,去掉了关于G的压缩性条件.得到所述方程有唯一解,此解可用迭代列逼近.作为推论得到4中结果的改进.设R+=0,+),8<RN;M+(8),L+(8)分别表示8上非负可测函数全体与非负可积函数全体.8上几乎处处相等的函数视为同一函数,用󰃖N,

3、󰃖C分别表示RN中的范数与C(8)中的范数.M+设f(x,u):8×R+R+.如果由F(u)=f(x,u(x)定义的叠加算子F映M+(8)入(8),则称函数f(x,u)是叠加可测的.显然,若f满足Caratheodory条件(即(i)对几乎所有的x8,f(x,u)是u的连续函数;(ii)对每个uR+,f(x,u)是x(在8上)的可测函数),则f是叠加可测的6.关于叠加可测函数性质的讨论见7.为了叙述方便,作如下假定:(H1)8是Lebesgue可测集,0<m8+;N(H是有界闭域;1)8<R1995年3月4日收到.1997年10月20日收到修改稿.251&

4、#169; 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.(H2)f(x,u)是叠加可测的,对每个x8,f(x,u)关于u是减的.对任何0<h<,0<t<1,存在=(t,h)>0使对任何(x,y)8×0,h成立f(x,ty)(1+)t-1f(x,y);(H3)存在0>0使0<inff(x,0),supf(x,0)<+;x8x8(H)存在.0>0,0>0,使对任何x8成立f(x,0)0f(x,0),且f(x,0)有界3(H4)k(x

5、,y)是8×8上的非负可测函数,(Hk(x0,y)dy>0,lim4)8k(x,y)dy是有界的且infk(x,y)dy>8x880;xx0󰃜k(x,y)-8xx0k(x0,y)󰃜dy=0,x08;k(x0,y)󰃜dy=0,x08;(H4)0󰂂k(x,y)dy0,lim󰃜k(x,y)-8(H5)G:R+R+是非增的,且对任何u>0,0<t<1成立G(tu)t-1Gu.2正解的存在唯一性定理2.1设(H1)-(H5)满足,则方程(1.2)在Lx8+(8)中有唯一解u(x),它满

6、足(2.1)0u(x)supk(x,y)f(y,0)dy+G(0),x8.8以任何0L+(8)为初始函数作迭代序列k(x,y)f(y,n(x),n=1,2,n+1(x)=n(y)dy+G(8则n(x)在8上收敛于u(x).(2.2)证明令M=supk(x,y)f(y,0)dy+G(0),x88)=B(8)=k(x,y)f(y,(y)dy,G(+G(x),M+(8),(2.3)=B()+G(),MA(8),u0(x)0,un(x)=A(un-1(x),n=1,2,则显然成立A1A2,12,1,2M+(8),(2.4)(8),0<t<1.(2.5)由(H3),(H4)知对任何>0

7、,M有限且u1(x)M,x8.由(2.3),(2.4)知存在u(x),v(x)L+(8)使(2.6)limu2n=u,limu2n+1=v,nn)t-1AA(t,M+u0u2u2nuvu2n+1u3u1M,M(2.7)(2.8)vAuAvuu0.-1-1记l=inff(x,0),L=supf(x,0),1=min1,lL,lL,G(M)󰃗G(0),则由(H2),(H3)知x8x8Mf(x,M)M)1f(x,0),G(1G(0),k(x,y)f(y,0)dy>8(2.9)0,(2.10)B(M)1其中2=1linfk(x,y)dy.结合(2.3),(2.4),(2.7)与(

8、2.9)得x88252© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.u2A(M)1A(0)1u,u31u21v.-1-1(2.11)(2.12)n令rn=sup>0󰃜uu2n,u2n+1v,n=1,2,.由(2.7),(2.11)知rn是首项不小于1每项不超过1的单调增加数列,下面证明limrn=1.若不然,存在r<1,使rnr(n=1,2,).由(H2)知存在1=(r,M)>0,2=(r,r-1M)>0使-1-1(2.13)B(ru)r(1+1

9、)Bu,B(rv)r(1+2)Bv.取实数1使-11<1,2+G(0)(2.14)这结合(2.7),(2.10)式得1-(1+1)-1Bu(1-1)Gu,从而得知(1+1)-1Bu+Gu1Au.由(2.3)-(2.5),(2.8),(2.12)-(2.15)得到u2n+3rn+1(2.15)B(ru)+G(ru)rn+1urnv.(2.16)取实数2使(1+2)-1-1<22+G0(1+2)-1Gv,(2.17)这结合(2.8),(2.10),(2.13)与B的减性得(1-2)Bv2-(1+2)-1G(0)2-用(2.3)-(2.5),(2.8)与(2.12),(2.18)得u2n

10、+2-1-1A(rv)r(1+2)Bv+(1+2)Gvr2(1+2)Av.(2.18)=min2(1+2),-11,则由(2.12),(2.16)与(2.19)式知rn+1r1dn,又由(2.14)与(2.记d>1.这矛盾于rn1,于是limrn=1.17)知dn-1(rv)rn2(1+2)u.r(2.19)-1由(2.3)-(2.5)与(2.7),(2.12)式知uAu2n+1A(rnv)rnAv,vAu2nA(rnu)rnAu,注意到limrn=1,结合(2.8)式得n-1u=Av,v=Au.t0M)>0使-1B(t0v)t0(1+3)Bv.-1(2.20)取t0=supt&g

11、t;0󰃜utv.由(2.7),(2.10)知t0.假若t0<1,由(H2)知存在3=(t0,1(2.21)-1取实数3使3<1,结合(2.7),(2.10)式得3-(1+3)-1Bv(1-()2+G0-13)Gv.这结合(2.20),(2.21)式得vA(t0v)t0(1+3)-1Bv+t0Gvt0u,这与t0是上确界矛盾,于是t01.这与(2.8)式知u=v=Au=Av.记u=v=u,显然u是(1.2)的解且满足(2.22)u0uM.253© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All r

12、ights reserved.以任何0L+(8)为初始函数作迭代序列n+1=An,n=0,1,2,则u2n-2.6)式得2nu2n-1,u2n2n+1u2n-1(n=1,2,).结合(2limn=u.n(2.23)(2.24)显然u是(1.2)的唯一解.再由(2.22)-(2.24)式知本定理的结论成立.注1本定理中,8仅是正测度集,不假定k(x,y),f(x,y),G(u)任何连续性,得到其正解存在唯一,并可用迭代列逼近.定理2.2设(H.则(1.2)在L+(8)中有1),(H2),(H3),(H4),(H5)满足且G是连续函数(2.25)limuc=0.n-n证明当(H)满足时(H4)必满

13、足,由此得知定理2.1的结论与证明都成立.对x08,取定的非负整数m,有󰃜um+1(x)-um+1(x0)󰃜4󰃜k(x,y)-8k(x0,y)󰃜f(y,um(y)dy+󰃜G(um(x)-G(um(x0)󰃜.用此式和(H.由此可归纳地得到4),由G的连续性与um(x)的连续性可推得um+1(x)的连续性un(x)是8上的连续函数列.取>>0,由定理2.1的证明知对(2.12)中的rn存在N,当nN时有1-<rn1.65于是存在n使(2.26)<nuu2n,nu2n+1u,1-n

14、rn1,nN.5从而对任何自然数p(nN),用(2.7)与(2.26)式有0u2(n+p)-u2n(-n)uu1.于是n+p得知u2n(x)在8上一致收敛于u(x).用u2n(x)每项的连续性便知u(x)的连续性.从而(2.25)式成立.注2定理2.2的意义在于不假定f(x,u)的连续性,但得到的唯一解却是连续的.3固有函数与有关推论定理3.1设(H1),(H2),(H3),(H4)满足,则有(󰂪)对(x),它满足>0,方程(1.1)在L+(8)中有唯一解(x)(sup0x8(󰂫)以任何L0+(3.1)k(x,y)f(y,0)dy),x8;(8)为初始作迭

15、代序列=,=k(x,y)f(y,(y)dy,n800n+18n=1,2,必成立n(n);21(󰂬)对任何2>1>0,存在实数=(1,2)>1使(x)(x),x8;(x)-0(x)󰃜=0,(󰂭)limsup󰃜0>0;x80(󰂮)li(x)=0;󰃜msup+0x8254© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.(󰂯)如果(H2)中的满足li(t,h)=

16、+,则li(x)=+sup.mmt0+x8证明令A=k(x,y)f(y,(y)dy,M8+(8),(3.2)(3.3)(3.4)u0(x)0,un(x)=Aun-1(x),n=1,2,则显然成立A1A2,12,1,2M+(8).对任意(x)L+(8),(x)M,0<t<1,由条件(H2)知存在=(t,M)>0使)(1+)t-1A)t1+(t,t-1M)A(3.5)A(t,A(t-1.类似于定理2.1的证明则得到=1时结论(󰂪),(󰂫).对给定的>0,令f(x,u)=f(x,u).对f(x,u)用已得的结果得到结论(󰂪),(

17、󰂫).iii对任意.4),(3.5)式2>1>0,令u0(x)0,un+1=iAun,i=1,2,n=0,1,2,则利用(321可以归纳地得到u22.根据(󰂫)知u2ini,u2in-1i(i=1,2).n-1n-1,u2nu2n,n=1,2,u211于是有(3.6)121.1利用(3.4)与(3.5)式得2,)A1=1+(,)1.2A(1)11+(12121于是结论(󰂬)成立.由(3.6)知(3.7)0-00,>0>0时,0(3.8)00-,.0>>0时-11由(3.7),(3.8)式结合(󰂪

18、)得到(󰂭).由(3.1)知(󰂮)成立.由(3.5)知当>1时,用-1-1(3.4)与(3.5)式得=AA(,M),取+得(󰂯).)1+(研究下述积分方程(x)=k(x,y)a0(y)+8(x)=k(x,y)a(y)+8pi=1pi=1-1ai(y)(y)idy,>0,(3.9)(3.10)a(y)(y)imi-1dy+G(x),其中k(x,y),ai(x)非负可测,0<.i1(i=0,1,p).利用已得到的结果,有以下各推论推论1设(H),(H),(H5)满足,且infa0(x)>0,x8+14a(x)有界,G(u)连续

19、.ii=0则方程(3.10)在L(8)中有唯一解u(x),u(x)连续且满足(2.1)式.以任何0L序列(2.2),则(2.25)式成立.p+(8)为初始作迭代证明记f(x,u)=a0(x)+t(1+f(x,tu)a(x)uii=1i-1,(t,h)=p,则1+(1+h)R-1-1a0(x)+(h+1)t(1+(t,h),ia(x)i=1255© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.用定理2.1得到此推论.注3此推论把4中关于G的压缩性条件(3.2)(那是较强的条件)减弱为连续;

20、去掉了.ai(x)(i=1,2,p)的连续性要求;得到的唯一解可以迭代求出n推论2设(H1),(H)满足,infa0(x)>0,x8(x)infa0(x)x84a(x)Raii=10(x),则(󰂪)对任意>0,方程(3.9)有唯一非负可测解(x),这个解是连续的且满足0<k(x,y)dy.8(󰂫)定理3.1中结论(󰂫)-p(󰂮)成立,且limsup(x)=0,其中f(x,u)=+x8a0(x)+i=1ai(x)ui-1.参考文献1郭大钧,多项式型Hammerstein积分方程的正解及其应用,数学年刊,4A:5(1

21、983),645-656.2孙经先,非连续的增算子的不动点定理及其对含间断项的非线性方程的应用,数学学报,31:1(1988),101-107.3孙经先,Hammerstein型积分方程正解的存在性及其应用,数学年刊,9A:1(1988),90-96.4LynnEybe,GuoDajunandLiuXinzhi,Positivesolutionsofaclassofnonlinearintegralequations5赵增勤,关于多项式型Hammerstein积分方程的唯一正解,系统科学与数学,14:2(1994),97-101.6郭大钧,非线性泛函分析,山东科学技术出版社,1985.7JurgenAppell,P.Petr,Za