山科大材料力学复习9章后

1、二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力PEIlcr22()称为长度系数li压杆的长细比压杆的长细比压杆的柔度压杆的柔度计算压杆的临界计算压杆的临界应力的欧拉公式应力的欧拉公式crE22PEIlcr221PEIlcr2222()PEIlcr220707( .).PEIlcr220505( .).PEIlcr22222EIl()2207EIl( .)2205EIl( .)附：求二阶常系数齐次微分方程的通解 yp yq0特征方程为rprq20两个不相等的实根、通解rr12yC eC er xr x1212两个相等的实根通解rr12yCC xer x（）121

2、一对共轭复根通解ri1 2 ,yeCxCxx(cossin)12sinkl 0通解： vAkxBkxsincos边界条件：xv00时：B0 xlv时：0Aklsin0klnn(, , ,)012 knlPnEIl222kPEI2PEI13-3 压杆的临界应力及临界应力总图压杆的临界应力及临界应力总图一、压杆的临界应力一、压杆的临界应力PEIlcr22()crcrPA22EIlA()222E i AlA()()22Eli令li则crE22二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式 在推导欧拉公式时在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微使用了挠曲线的近似微分方程分方程EIvM

3、x ( )crpE22在推导该方程时在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉应用了胡克定律。因此，欧拉公式也只有在满足胡克定律时才能适用：公式也只有在满足胡克定律时才能适用：或写成2Ep欧拉公式的适用范围：欧拉公式的适用范围：满足该条件的杆称为满足该条件的杆称为细长杆细长杆或大柔度杆或大柔度杆记ppE2则p 对对A3钢，当取钢，当取E=206GPa，p=200MPa,则则ppE2所以，只有压杆的长细比所以，只有压杆的长细比100时，才能应用时，才能应用欧拉公式计算其临界压力。欧拉公式计算其临界压力。2962061020010100 当压杆的长细比当压杆的长细比p时，欧拉公式已不时，欧拉公式已

4、不适用。适用。crab直线公式直线公式式中式中 a、b是与材料性质有关的系数。是与材料性质有关的系数。 在工程上，一般采用经验公式。在工程上，一般采用经验公式。 在在我国的设计手册和规范中给出的是直线公式和我国的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。抛物线公式。下面考虑经验公式的适用范围：下面考虑经验公式的适用范围：crsab经验公式的适用范围经验公式的适用范围对于塑性材料：对于塑性材料：即abs记ssab则sp对于对于 s的杆，不存在失稳问题，应考虑强的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问题度问题crscrab112ab11、经验公式中，抛物线公式的表达式为经验公式中，抛物线公式的表达式

5、为式中式中 也是与材料性质有关的系数，可也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中查到。在有关的设计手册和规范中查到。三、临界应力总图三、临界应力总图12322.(),.(),.(),细长杆用欧拉公式中长杆用经验公式粗短杆用强度条件pcrspcrscrsEabcrscrabcrE22ssabppE2licrO小柔度杆小柔度杆中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆spCL13TU2013-4 压杆的稳定性计算压杆的稳定性计算稳定性条件：稳定性条件：PPncrstmaxPmaxPcrnstnPPnstcrstmaxnst式中式中-压杆所受最大工作载荷压杆所受最大工作载荷-压杆的临界压力压杆的临

6、界压力-压杆的规定稳定安全系数压杆的规定稳定安全系数稳定性条件也可以表示成：稳定性条件也可以表示成：式中式中 为压杆实际的工作稳定安全系数。为压杆实际的工作稳定安全系数。 例：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临例：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比实际；横截面上界力，其结果比实际；横截面上的正应力有可能。的正应力有可能。大，危险大，危险超过比例极限超过比例极限 例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设同，设P1和和P2分别为这两个桁架稳定的最大载分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则荷，则 (A) P1=P2 (B) P1P2 (D) 不能断定不能断

7、定P1和和P2的关系的关系CL13TU10解：图中，杆受压( )aADNPAD21222EIaPEIa12212 2图（ ）中，杆受压bABNPAB222EIaPEIa222 例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则其临界力为原压杆的；若将压杆的其临界力为原压杆的；若将压杆的横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的。界力为原压杆的。解：( ) 1PEIlcr22()24264Edl()116( )2PPcrcr正圆2222EI

8、lEIl正圆()()II正圆ad441264dd224412643 例：三种不同截面形状的细长压杆如图所例：三种不同截面形状的细长压杆如图所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。惯性轴转动。正方形正方形等边角钢等边角钢槽钢槽钢CL13TU12 例：五根直径都为例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹，如各杆材料相同，弹性模量为性模量为E。求图。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。杆系所能承受的最大载荷。CL13TU15解：(

9、)a杆受压，其余杆受拉BDBD杆的临界压力:PEIacr222222EIa故杆系所能承受的最大载荷PPcrmax222EIa342128Eda( )b杆受拉，其余杆受压BD四根受压杆的临界压力：PEIacr22故杆系所能承受的最大载荷：PPcrmax2264342Eda例：图示结构，例：图示结构，、两杆两杆截面和材料相截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的为最大值时的角（设角（设0/2/2）。）。90CL13TU16解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：NPNP12cossin，两杆的临界压力分别为：PE IlPE Ilcrcr12122222，

10、要使 最大，只有、都达到临界压力，即PNN12PE IlPE Ilcossin21222212（ ）（ ）90将式除以式便得( )( ),21122tgll ctg2由此得 arctg(ctg2)902022-3-4 载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为各部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静静载荷载荷。例例: :起重机以起重机以等速度等速度吊起重物，重物对吊索的作用为吊起重物，重物对吊索的作用为静载。静载。 起重机以起重机以加速度加速度吊起重物，重物对吊索的作用为吊起重物，重物对

11、吊索的作用为动载。动载。 旋转的飞轮、气锤的锤杆工作时、打桩均为旋转的飞轮、气锤的锤杆工作时、打桩均为动荷载作用。动荷载作用。 载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯性力），此类载荷为（系统产生惯性力），此类载荷为动载荷动载荷。 dVVT 冲击时，冲击物在极短的时冲击时，冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化，间间隔内速度发生很大的变化，其加速度其加速度a很难测出，无法计算很难测出，无法计算惯性力，故无法使用动静法。在惯性力，故无法使用动静法。在实用计算中，一般采用能量法。实用计算中，一般采用能量法。CL14TU6 现考虑重为现考虑

12、重为Q的重物从距弹的重物从距弹簧顶端为簧顶端为 h 处自由下落，在计算处自由下落，在计算时作如下假设时作如下假设:1. 冲击物视为刚体，不考虑其变形冲击物视为刚体，不考虑其变形;2.被冲击物的质量远小于冲击物的被冲击物的质量远小于冲击物的 质量，可忽略不计质量，可忽略不计;3.冲击后冲击物与被冲击物附着在冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动一起运动;4.不考虑冲击时热能的损失，即认不考虑冲击时热能的损失，即认 为只有系统动能与位能的转化。为只有系统动能与位能的转化。CL14TU6dh 重物重物Q从高度为从高度为 h 处自由落下，冲击到弹处自由落下，冲击到弹簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当

13、重物簧顶面上，然后随弹簧一起向下运动。当重物Q的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最的速度逐渐降低到零时，弹簧的变形达到最大值大值d，与之相应的冲击载荷即为，与之相应的冲击载荷即为Pd。TVUd 根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的根据能量守恒定律可知，冲击物所减少的动能动能T和位能和位能V，应全部转换为弹簧的变形能，应全部转换为弹簧的变形能Ud,即即2 22 21 11 1 st d hK22vhg std211hK2 st11vg h0v2202vvgh 2d st11vKg 20 st211vghg 例题例题6 6：图示矩形截面梁，抗弯刚度为 EI，一重为 F 的重物从距梁顶面 h 处自

14、由落下，冲击到梁的跨中截面上。求：梁受冲击时的最大应力和最大挠度。FABCHL/2L/2AL/2L/2BFC解解（1）动荷系数stH 211dK33961148211FLEIEIFLHH （2）最大应力（3）最大挠度EIFLKKddd483 maxstmaxbZhYZdstddWFLKK41maxmaxFABChL/2L/2AL/2L/2BFCA、B支座换成刚度为支座换成刚度为 C 的弹簧的弹簧st hKd211CFEIFL22483 st例题例题7 7 已知：已知：d1=0.3m, l = 6m, P=5kN, E1 = 10GPa, , 求两种求两种情况的动应力。情况的动应力。（1）H =

15、 1m自由下落自由下落；（；（2）H =1m, , 橡皮橡皮垫垫d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa. HPPhld1d1d2解：（解：（1 1） =0.0425 mm 11AEPlst218211stdHKMPaKstdd42.15(2) 加橡皮垫 d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa. 2211AEPhAEPlst=0.75mm, Kd=52.3 MPaKstdd7 . 3HPPhld1d1d22dddFV 22vgGT 222vgGFdd dstddKGF stdgvK22 stdgvK2 lvddFEIGlst33 WGlWMmaxm

16、axst glGEIWvWGlEIGlgvKmaxstdmaxd3332 工程上常利用冲击进行锻造、冲压、打桩以及粉工程上常利用冲击进行锻造、冲压、打桩以及粉碎等，这时就需要尽量降低冲击应力，以提高构件抗冲碎等，这时就需要尽量降低冲击应力，以提高构件抗冲击的能力。击的能力。 冲击应力的大小取决于冲击应力的大小取决于 Kd 的值，静位移的值，静位移 st越大，动荷越大，动荷系数系数 Kd 越小，（因为越小，（因为静位移静位移 st增大，表示构件柔软，因而增大，表示构件柔软，因而能更多地吸收冲击时的能量，从而降低冲击载荷和冲击应能更多地吸收冲击时的能量，从而降低冲击载荷和冲击应力，提高构件抗冲击的

17、能力力，提高构件抗冲击的能力）。）。增大静位移增大静位移 st t 的具体措施如：的具体措施如：以上这些弹性元件不仅起了缓冲作用，而且能吸收一部分冲击动能，从而明显降低冲击动应力。 另外，把刚性支座改为弹性支座能提高系统的静位移值，不失为一种提高构件的抗冲击能力的良好措施。值得注意的是，在提高静位移、减小Kd的同时，应避免提高静应力。 对于等截面受冲拉（压）或扭转杆件，其冲击应力与构件的体积有关。增大构件的体积，可提高构件的抗冲击能力。对于变截面受冲杆件，上述增加体积降低冲击应力的方法并不适用。 在汽车车粱与轮轴之间安装叠板弹簧；火车车窗玻璃与窗框之间、机器零件之间装有橡皮垫圈；以大块玻璃为墙

18、的新型建筑物，把玻璃嵌在弹性约束之中等等。 例：等截面刚架的抗弯刚度为例：等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯，抗弯截面系数为截面系数为 W，重物，重物Q自由下落时，求刚架自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。内的最大正应力（不计轴力）。CL14TU12解：stQaE I433KhE I hQadst11211323ddstKE I hQaQaWmaxmax11323一、交变应力（Alternating stress ) 构件内一点处的应力随时间作周期性变化,这种应力称为交变应力.AFt 静平衡位静平衡位置置tt st max minFF tzAtry sintIrMIyM sint 1

19、 2 3 4 1O 一个应力循环一个应力循环O t maxminr maxminr max minO一个应力循环一个应力循环 t max min a a2minmaxa 2minmaxm aO max min t1maxmin rmaxa 0m 1r0maxmin r2maxma O max min=0 t1r0a maxm O max min=0t 1()()dkK-1-1 ()()1 d1 kK K K()d -1-1-1-1()()-1 d - -1 1101 K K 1 如果循环应力为切应力,将上述公式中的正应力换为切应力即可.rK 01 对称循环下,r= -1 .上述各系数均可查表而

20、得. 115 对称循环下构件的疲劳强度计算1011 1 Knn1011 1 Knn1max nKn 1max nKn 1max 116 持久极限曲线107r0.25r0r-1 a mO a mPP A20 C bB a mO a mPP2/2/tan001 m1arr nnnnnn 22 n n VW )d(d11lFW EAlFl11d)d( FF lFF lF lFO l l1d l1dF1F1lFEAlFFEAlFWWF22dd2101 lFlFWV2121N EAlFEAFllN EAlFEAlFV222N2 niiiiiAElFV12N2F lFO l l1d l1dF1F1 lxE

21、AxxFV02N)(2)d(AllFVV2121 E 222122EE 或或ppepeeeGIlTGIlMGIlMMMWV22212122 lxxGIxTVd)(2)(p2 niiiiiIGlTV1p22B EIlMEIlMMMWV221212 eeexxEIxMVld)(2)(2e PM=PaACBaa LLGAdxFkdVV22)(S dxdydzxyzabd 变形形式外力功位移与力的关系变形能lFW21,FFN EAlFlN EAlFVN22 FW21 ,FFS GAlFQ GAlFVS22 eMW21 ,eMT pGITl pGIlTV22 eMW21 ,eMM zEIMl zEIlM

22、V22 不考虑xxEIxMxxGIxTxxEAxFVllld)(2)(d)(2)(d)(2)(2p22N 123FV21 F3BCF2AF1)(233221123322112FFCCFFCFFCFCFC F3ABCF1F2123 iF3ABCF1F2123)(21332211FFFV iOOOOOO12VVVOOO1 12+MMABABAB312VVV312VVV ?312VVV312VVV ?ABFlxxFxM )(EIlFxEIFxxEIxMVll6d2)(-d2)(32022 BwFW 21EIFlwB33 ABCFx1x2ablEIlbaFbEIlaFaEIlbFxEIxlFaxEIx

23、lFbxEIxMVbal63232d2)(d2)(d2)(22232223222202210212 CwFW 21EIlbFawC322 FF3311 31 eMCABCDeMallCfABB D F解：由功的互等定理得：DeCMfF 而查表可以得到：EIFlEIlFBD416)2(22 代入上式即得到：EIlMFMFMfeEIFleDeC4242 求任意点A的位移wA F1F2A A lxEIxMVd2)(2 lxEIxMVd2)(2AwVVV 11AF1F2=1F0AF1F2wA)()(xMxM lxEIxMxMVd2)()(2212VV lAxEIxMxMwVVd2)()(12 lAxE

24、IxMxMwVVd)()(122 lAxEIxMxMwd)()( LEIdxxMxM)()( 莫尔积分 LEIdxxMxM)()()( xM)(xM lllxEIxMxMxGIxTxTxEAxFxFd)()(d)()(d)()(pNNTMFN、TMFN、一个力一个力一个力偶一个力偶一对力一对力一对力偶一对力偶一个线位移一个线位移一个角位移一个角位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移ABCFabxxFxxM )(xxM )(0)( xT0)( xTABCFabABCabxxFxxM )(xxM )(FbxT )(bxT )(xxABCFabABCabxx( )( )( ) ( )llp11

25、ddCM x M xxT x T xxEIGI xxFxEIxxFxEIbad )(1d )(100 xbFbGIad )(10p p233)(3GIFabbaEIF )( ABCllqxxxx2)(2qxxM 2)(2qlxM xxM )(lxM )(ABCllqABCllq)(85)d2d2(140022 EIqlxlqlxxqxEIlly2)(2qxxM 2)(2qlxM 0)( xMxxM )()(4)d2d02(140022 EIqlxxqlxqxEIllxxxxxABCllqABCllqxx2)(2qxxM 1)( xM2)(2qlxM 1)( xMEIqlxqlxqxEIllA32)d1)2(d1)2(130022 xxABC