第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

1、 一、向量、矩阵的范数，一、向量、矩阵的范数， 向量函数的收敛与一致收敛向量函数的收敛与一致收敛5.2 线性微分方程组的解的存在唯一性定理线性微分方程组的解的存在唯一性定理二、线性微分方程组的解的存在唯一性定理的证明二、线性微分方程组的解的存在唯一性定理的证明定理定理1在在a，b存在唯一解存在唯一解(线性微分方程组的解的存在唯一性定理) 维列向量，则nbat0).(tx对于初值问题对于初值问题)()()(0txtfxtAx若若nn矩阵矩阵A(t)，n维列向量维列向量f（t）在）在a，b上连续，上连续，n21初值问题)()()(0txtfxtAx件要比那里相比：这里所要求的条的解的存在唯一性定理

2、注注 1、与一阶微分方程初值问题、与一阶微分方程初值问题00)()(xtxxtfx，那里“宽”。“弱”，相应地结论比 2、关于本定理的证明，类似于第三章中与一阶微、关于本定理的证明，类似于第三章中与一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理的证明，同样相应分方程初值问题解的存在唯一性定理的证明，同样相应地分为五个小命题进行证明。地分为五个小命题进行证明。 不过，相应于那里函数列的收敛、一致收敛等不过，相应于那里函数列的收敛、一致收敛等需引入一些新的概念：需引入一些新的概念： 一、向量、矩阵的范数，向量函数的收敛与一一、向量、矩阵的范数，向量函数的收敛与一致收敛概念及性质致收敛概念及性质niiiin

3、xnixxxxxxn121), 2 , 1(的和的绝对值，列向量对于1、范数、范数称为称为.,121niinxxxxxxxn即的范数，记作列向量称为称为.,1,nijiaAAAnn即的范数，记作矩阵 njiijnnnnnnnnijaaaaaaaaaaaAnn1,212222111211，和矩阵对于 由范数概念、矩阵运算和绝对值的不等式性质，由范数概念、矩阵运算和绝对值的不等式性质，容易得到范数的如下三个性质：容易得到范数的如下三个性质：则维列向量为矩阵，为设,nyxnnBA; 0, 01xA）（;,2xAAxBAAB）（.,3yxyxBABA）（可见：范数有类似于距离的性质。可见：范数有类似于

4、距离的性质。x,y,A,B为的函数时，范数的概念仍适应。为的函数时，范数的概念仍适应。 2、向量函数列的收敛与一致收敛、向量函数列的收敛与一致收敛 都收敛，数列，若ixni21 是收敛的。则称向量序列kx .,kxn记作向量序列）维列向量序列（简称为称为), 2 , 1(21kxxxxnkkknk维列向量), 2 , 1()()()()(21batktxtxtxtxnkkknk，维列向量函数.)(),(,txnbak记作简称为向量函数列维列向量函数列上的称为都存在，即kikxnilim21，即iiiiiaxNkNanik, 0,21 .21nkaaaax收敛于即向量序列 都收敛，数列，注ixn

5、i21，一致收敛上收敛在，函数列，若)(,)(21batxniki。一致收敛上收敛在则称向量函数列)(,)(batxk都存在，即)(lim,21txbatnikik,),(, 0,),(21NktNbattnii，即上收敛，在，函数列，）（,)(211batxniki注注，)()(ttxiik且记作上收敛于向量函数在即向量函数列,)()()()(,)(21ttttbatxnk.,)()(limbatttxkk，)()(ttxiik,),(, 0),(21batNkNtnii，即上一致收敛，在，函数列，）（,)(212batxniki,)()()()(,)(21ttttbatxnk上一致收敛于向

6、量函数在即向量函数列)(txk.,)(batt且记作质函数具有的良好分析性一致收敛函数列的极限广到这里：积性），同样可自然推（连续性，可微性，可中的相应证明留作作业参照数分下面仅给出这些性质，证明进行。,)(上一致收敛在若向量函数列batxk性质性质,)(,上连续在batxNkk即上也连续在）极限向量函数列则（,)(1bat).()(limlim)(limlim,0000ttxtxbatkttkkktt且上可积在）极限向量函数列（,)(2bat.)()(lim)(limdxtdxtxdxtxbakkbakbak向量函数列与向量函数级数向量函数列与向量函数级数则称上的向量函数列为设,)(batx

7、k的向量函数级数；为,)(1batxkk11)(,), 2 , 1( )()(kkkiiktxbaxktxtS为向量函数级数的部分和向量函数列。,)()(1batStxkkk在的部分和向量函数列若向量函数级数致收敛）。1,)(kkbatx上收敛（一在则称向量级数上收敛（一致收敛），向量函数级数一致收敛的向量函数级数一致收敛的M-判别法判别法,)(,kkMtxbatNk，若上一致收敛。在则向量函数级数,)(1batxkk的向量函数级数，为设,)(1batxkk，为收敛的正项数项级数1kkM nnAknjiakkij称为都为数时，当), 2 , 1, 2 , 1,()(.), 2 , 1,()(k

8、nnkijkAnnjiaAnn矩阵序列，记作称为矩阵3 、矩阵序列的收敛性、矩阵序列的收敛性nntAknjitaakkijkij称为时，当)(), 2 , 1, 2 , 1,)()()(函数矩阵序列。数矩阵序列；矩阵都收敛，则称数列若nnanjikij, 2 , 1,)(.收敛kA都收敛，即数列, 2 , 1,)(kijanji注注，ijkijijijijbaNkNbnji)(, 0, 2 , 1, .nnijkbBnnAnn矩阵收敛于矩阵序列且称收敛的结论；对收敛数分中，数项级数的绝的“绝对值”等方法和结论，将其中正项级数的比较判别法数矩阵序列，为设nnAk为无穷矩阵级数；则称1kkA11k

9、kkiikAAS的部分和矩阵序列。为无穷矩阵级数1kkkSA收敛，的部分和矩阵序列若无穷矩阵级数1kkA 收敛。则称无穷矩阵级数应的结论。换为“范数”即可得相敛的比较判别法。可称为无穷矩阵级数收的概念、阵函数级数我们同样可给出无穷矩1)(kktA行给出。有关结果，请同学们自收敛和一致收敛概念及1kkA 也收敛。则称无穷矩阵级数,1收敛正项数值级数kkM,kkMANk若初值问题)()()(0txtfxtAx).(,txba上的解在从略。证明二、线性微分方程组的解的存在唯一性定理的证明二、线性微分方程组的解的存在唯一性定理的证明分五个命题证明分五个命题证明上在是积分方程,)()()()()(0ba

10、dssfsxsAtxtxtt命题命题1的连续解。dssfssAttbattttkk0)()()()(,)(,100令作为初值问题), 2 , 1(k)()()(0txtfxtAx的解的皮卡逐步逼近.向量函数列。次近似解。称为第ktk)(证明证明 从略。从略。向量函数级数。为部分和向量函数列的,)()()(110battttjjj：，下面证明相应的命题543上有定义且连续。在,), 2 , 1)(,baktNkk函数级数之间的关系，根据向量函数列与向量命题命题2到：容易运用数学归纳法得命题命题3上一致收敛。在向量函数列,)(batk证明证明,)()()()(110baxttttkjjjk我们证明

11、以上一致收敛。在,ba),(,000上类似上一致收敛证向量函数在tabtbat 都在上连续，故范数都在又)(,)(,)(),(tftAbatftAdssfssAttbtttt0)()()()()(,0010dssfssAtt)()()(00dssfssAtt)()()(00dssfssAtt)()()(00有界，即上连续 ,ba.)(,)(, 0, 0KtfLtAbatKL使常数dssfssAttbtttt0)()()()()(,0010dssfssAtt)()()(00dsKLtt0MKLt取定后，令0).(00ttMdsMttdssfssAdssfssAtttttt)()()()()()(

12、)()(011200dssssAtt)()()(001dssssAtt)()()(010dssssAtt)()()(010dsssLtt)()(010dstsMLtt)(00,)(! 220ttML)()(1ttjj设则,)(!01jjttjMLdssfssAdssfssAttjttttjjj)()()()()()()()(1100dssssAttjj)()()(01dssssAjjtt)()()(10dssssAjjtt)()()(10dsssLjjtt)()(10,)()!1()(!1010jjjjttttjMLdstsjMLL上连续，在，,), 2 , 1)(baktNkk上一致收敛。，

13、在0bt上一致收敛，在向量函数列)(batk则若设),()(lim,ttbatkk,0bttNk：于是，由数学归纳法知)()(1ttkkkkttkML)(!01kktbkML)(!01是收敛的正项级数，又kkktbkLLM)(!01向量函数级数110)()()(jjjttt注注上连续。在极限向量函数,)(bat下面的命题告诉我们：命题命题4是积分方程极限向量函数)(tdssfsxsAtxtt)()()()(0上的连续解。在,ba证明证明,)()(,上连续在及batAtNkk无关，与上一致收敛于在ktAtbatk)(),(,)(，即上一致收敛于在)()(,)()(ssAbassAk).()()(

14、lim)()()(lim,ssAtsAssAbaskkkk, 2 , 1,)()()()(10kbatdssfssAtkttk又是初值问题于是，)(t下证该解是唯一的：dssfssAtbatkttkkk)()()(lim)(lim,10dssfssAkktt)()()(lim10dssfssAkktt)()(lim)(10dssfssAtbattt)()()()(,0即上在是积分方程即,)()()()()(0badssfsxsAtxttt上的解。在,ba)()()(0txtfxtAx的连续解。命题命题5在列也是一致收敛向量函数先证)()(ttk也是积分方程若)(t，)(,000tbttbat,

15、0bttNkdssfsxsAtxtt)()()()(0).()(,ttbatba上的一个解，则在证明证明:,上的极限函数ba，), 2 , 1()()()()(10kdssfssAtkttk，dssfssAttt)()()()(0dssfssAtttt0)()()()()(0dssfssAtt)()()(0dssfssAtt)()()(0MKHLdsKHLtt0记).(0ttMdssfssAdssfssAtttttt)()()()()()()()(0001dssssAtt)()()(00).(,)(tbatk上收敛于在故一致收敛向量函数列dssssAtt)()()(00dssssAtt)()(

16、)(00dstsMLtt)(00,)(! 220ttLM)()(ttk10)()!1(kkttkLM,)()!1(10kktbkLM收敛，从而有易判断正项级数100)()!1(kkktbkLM，0)()!1(lim10kkktbkLM由数学归纳法易知：).()(,ttbat由极限的唯一性知： 综合命题综合命题1，2，3，4，5即知线性微分方即知线性微分方程组的解的存在唯一性定理程组的解的存在唯一性定理1得证。得证。 由于由于n阶线性微分方程初值问题与线性阶线性微分方程初值问题与线性微分方程组初值问题之间有如下关系：微分方程组初值问题之间有如下关系：,)(000)()()()(100001000010121tfxtatatataxnnn，nx210)t (，）（，）（，）（），（）（）（）（）（）（nnnniinintx