和角公式与倍角公式

1、§4.5和角公式与倍角公式1cos()cos cos sin sin (C)cos()_(C)sin()_(S)sin()_(S)tan()(T)tan()(T)前面4个公式对任意的，都成立，而后面两个公式成立的条件是k，k，kZ，且k(T需满足)，k(T需满足)kZ时成立，否则是不成立的当tan 、tan 或tan(±)的值不存在时，不能使用公式T±处理有关问题，应改用诱导公式或其它方法来解2二倍角公式sin 2_；cos 2_；tan 2_.3在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如T±可变形为：tan &

2、#177;tan _，tan tan _.4函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f()_或f()_，其中可由a，b的值唯一确定难点正本疑点清源1正确理解并掌握和、差角公式间的关系理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有效如cos()cos cos sin sin 可用向量推导，cos()只需转化为cos()利用上述公式和诱导公式即可2辩证地看待和角与差角为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换如()()，2()(),2()()，2·，等1化简：sin 200

3、76;cos 140°cos 160°sin 40°_.2已知sin()，sin()，则的值为_3函数f(x)2sin x(sin xcos x)的单调增区间为_4(2011·辽宁)设sin()，则sin 2等于 ()A B C. D.5若sin，则cos的值为 ()A. B C. D题型一三角函数式的化简求值问题例1(1)化简： (0<<)；(2)求值：sin 10°.探究提高(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特

4、殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值 (1)化简：·；(2)求值：2sin 50°sin 10°(1tan 10°)·.题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例2(1)已知<<<，cos()，sin()，求sin 2；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值探究提高(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围

5、为，选正弦较好(2)解这类问题的一般步骤为：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角 (2011·广东)已知函数f(x)2sin，xR.(1)求f的值；(2)设，f，f(32)，求cos()的值题型三三角变换的简单应用例3已知f(x)sin2x2sin·sin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围探究提高(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2，cos 2化为正切tan ，为第(1)问铺平道路(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值

6、与对称性 (2010·天津)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值6.构造辅助角逆用和角公式解题试题：(12分)已知函数f(x)2cos x·cossin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当0，时，若f()1，求的值审题视角(1)在f(x)的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、降幂等转化方法(2)当f(x)asin xbcos x的形式时，可考虑辅助角公式规范解答解(1)因为f(x)2

7、cos xcossin2xsin xcos xcos2xsin xcos xsin2xsin xcos x2分cos 2xsin 2x2sin，所以最小正周期T.6分(2)由f()1，得2sin1，又0，所以2，8分所以2或2，故或.12分第一步：将f(x)化为asin xbcos x的形式第二步：构造：f(x)(sin x· cos x·)第三步：和角公式逆用f(x)sin(x) (其中 为辅助角)第四步：利用f(x)sin(x)研究三角函数的性质第五步：反思回顾查看关键点、易错点和解题规范批阅笔记(1)在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较

8、强值得强调的是：辅助角公式asin bcos sin()(其中tan )，或asin bcos cos() (其中tan )，在历年高考中使用频率 是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误在定义域大于周期的区间上求最值时，辅助角的值一般不用具体确定.方法与技巧1巧用公式变形：和差角公式变形：tan x±tan ytan(x±y)·(1tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2，sin2；配方变形：1±sin 2,1cos 2cos2，1cos 2sin2.2利用辅助角公式求最

9、值、单调区间、周期yasin bcos sin()(其中tan )有：|y|.3重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形4已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化5熟悉三角公式的整

10、体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形失误与防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin()所对应的角不是唯一的3在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值§4.5和角公式与倍角公式(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1已知sin ，则cos(2)等于 ()A B C. D.2(2011·福建)若，且s

11、in2cos 2，则tan 的值等于 ()A. B. C. D.3(2011·浙江)若0<<，<<0，cos，cos，则cos等于()A. B C. D二、填空题4(2011·江苏)已知tan2，则的值为_5函数f(x)2cos2xsin 2x的最小值是_6 sin ，cos ，其中，则_.三、解答题7已知A、B均为钝角且sin A，sin B，求AB的值8已知函数f(x)cos2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值B组专项能力提升题组一、选择题1已知锐角满足cos 2cos，则sin 2等于 ()A. BC. D2若将函

12、数yAcos·sin (A>0，>0)的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值可能为 ()A2 B3 C4 D53在ABC中，若tan Atan Btan A·tan B，且sin Acos A，则ABC()A等腰三角形 B等腰或直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形二、填空题4化简：sin2x2sin xcos x3cos2x_.5._.6已知cos，则_.三、解答题7已知cos ，cos()，且0<<<，(1)求tan 2的值；(2)求.8设函数f(x)cossin2x.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设A，B，C为ABC

13、的三个内角,若cos B，f，且C为锐角，求sin A.答案要点梳理1cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 22sin cos cos2sin22cos2112sin23tan(±)(1tan tan )114. sin()cos()基础自测1.2.3. (kZ)4A5.D题型分类·深度剖析例1解(1)原式.因为0<<，所以0<<，所以cos >0，所以原式cos .(2)原式sin 10°sin 10°·sin 10°·.2cos 10

14、°.变式训练1(1)(2)例2解(1)<<<，0<<，<<，sin()，cos()，sin 2sin()()sin()cos()cos()sin()××.(2)tan tan()>0，0<<，又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.变式训练2(1)(2)例3解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sin·cossin 2xsin(sin 2xcos 2x)cos 2x(sin 2xcos 2x).由

15、tan 2，得sin 2.cos 2.所以，f()(sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x.sin1,0f(x)，所以f(x)的取值范围是.变式训练3(1)最小正周期为，最大值为2，最小值为1(2)课时规范训练A组1B2.D3.C4.5.16.7解A、B均为钝角且sin A，sin B，cos A ，cos B ，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B××，又<A<，<B<，<AB<2，AB.8解由题意，得f(x)cos2sin·sincos 2xsin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)cos 2xsin 2xsin2xcos2xcos 2xsin 2xcos 2xsin，又x，所以2x.又f(x)sin在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当x时，f(x)取得最大值1.又f<f，所以当x时，f(x)取得最小值.故函数f(x)在区间上的最大值与最小值分别为1与.B组1A2.D3.C4.sin2546.7解(1)由cos ，0<<，得sin ，tan ×4.于是tan 2.(2)由0<<<，得0<<.又