平行四边形的判定

1、20.1 平行四边形的判定 1四边形ABCD，从（1）ABCD；（2）AB=CD；（3）BCAD；（4）BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）A3种 B4种 C5种 D6种 2四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（ ） A任意四边形 B平行四边形 C对角线相等的四边形 D对角线垂直的四边形 3下列说法正确的是（ ） A若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形 B对角线互相平分的四边形一定是平行四边形 C一组对边相等的四

2、边形是平行四边形 D有两个角相等的四边形是平行四边形4在ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的两动点，点E从点A向D运动，点F从C向B运动，点E的速度m与点F的速度n满足_关系时，四边形BFDE为平行四边形5如图1所示，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_，就可以推出BE=DF 6如图2所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_cm时，四边形ABCD是平行四边形 7如图所示，四边形ABCD中，对角线BD=4，一边长AB=5，其余各边长用含有未知数x的代数式表示，且ADBD于点D，BDBC于点B问：四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？

3、8如图所示，在ABCD中，点E，F都在对角线AC上，且AE=CF，连结DE，BE，DF，BF，则四边形DEBF是平行四边形吗？9.如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，且AD>BC，BC=6cm，P，Q分别是线段AD，BC上两动点，P，Q分别从A，C出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，P，Q两点同时开始运动，且开始运动的时刻是0P，Q运动到顶点处即停止运动，问：第几秒时，四边形ABQP是平行四边形？10如图所示，某城市中心有一个小公园，在它的四个角A，B，C，D处均有一棵古树，城建部门准备扩建公园，要求使公园的面积扩大一倍，而且必须保持四棵古树不动

4、，并要求建成以后的公园呈平行四边形形状问：该城市能否实现这一设想？若能，请你设计方案并画出图；若不能，请说明理由11如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红，黄，紫，白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4若MNABDC，EFDACB，则有（ ） AS1=S4 BS1+S4=S2+S3 CS1S4=S2S3 D都不对 12实际生活中，我们常碰到这样的例子：对一个物体M同时施加两个成某个角度的力F1和F2，这个物体的实际受力效果并不是F1与F2的简单叠加，它们的合力F的大小和方向由以F1和F2为边的平行四边形的对角线决定，如图1所示对于既有大小又有方向的

5、量求和时，一般都采用上面的方法，我们把这种方法叫做平行四边形法则，实际上求两个分为F1，F2的合力F的大小，就是求F1MF2F的对角线MF的长下面请利用平行四边形法则来解决一个实际问题：如图2，一条小河缓缓地流着，河水的流速是2km/h，一艘船从A点出发以4km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，实际上，它以怎样的速度向对岸行驶？ 图1 图220.2 矩形的判定 一、选择题 1矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A对角相等 B对边相等 C对角线相等 D对角线互相垂直 2下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ） 对角线互相平分的四边形；对角线相等的四边形；对角线相等的平行四边形；对角线

6、互相平分且相等的四边形 A1 B2 C3 D43下列命题中，正确的是（ ） A有一个角是直角的四边形是矩形 B三个角是直角的多边形是矩形C两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D有三个角是直角的四边形是矩形4如图1所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线的长为_ 图1 图25若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_形，若AOB=60°，那么AB：AC=_6如图2所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OEDC于点E，OFAD于点F，OF-OE=2cm，则AB=_，BC=_

7、7如图所示，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形 8如图所示，ABC中，CE，CF分别平分ACB和它的邻补角ACDAECE于E，AFCF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？ 9如图所示，ABC为等腰三角形，AB=AC，CDAB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PEAB，PFCA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？10.如图所示，ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是CAF的平分线且CAF是ABC的一个外角，且DEBA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？ 11.已知AC为矩形

8、ABCD的对角线，则下图中1与2一定不相等的是（ ）20.3 菱形的判定一、选择题 1下列四边形中不一定为菱形的是（ ） A对角线相等的平行四边形 B每条对角线平分一组对角的四边形C对角线互相垂直的平行四边形 D用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2四个点A，B，C，D在同一平面内，从ABCD；AB=CD；ACBD；AD=BC；ADBC这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ） A1种 B2种 C3种 D4种 3菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（ ）A8cm和4cm B4cm和8cm C8cm和8cm D4cm和4cm4如图1所示

9、，已知ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为_（只写出符合要求的一个即可） 图1 图2 5如图2所示，D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB上的点，且DEAB，DFCA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是_（只写出符合要求的一个即可） 6菱形ABCD的周长为48cm，BAD：ABC=1：2，则BD=_，菱形的面积是_7在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_，AC=_ 三、解答题8如图所示，在四边形ABCD中，ABCD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由 9如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD

10、AC，PCBD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由10. 如图所示，已知ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，再过E，F作EGAC，FHAB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系11.已知：如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF （1）试说明：AE=AF；（2）若B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，试说明：AEF为等边三角形20.4 正方形的判定1下列命题正确的是（ ）A两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形B两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形

11、C两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形D一组邻边相等的平行四边形是正方形2矩形四条内角平分线能围成一个（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形3已知点D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_4如图1所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_ 图1 图2 图35如图2所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，BE=BD且AB=2cm，则E的度数是_，BE的长度为_6如图3所示，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，A

12、F=2，P为AC上一动点，则当PF+PE取最小值时，PF+PE=_7如图所示，在RtABC中，CF为ACB的平分线，FDAC于D，FEBC于点E，试说明四边形CDFE是正方形8已知如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE=BF，请问： （1）AF与DE相等吗？为什么？（2）AF与DE是否垂直？说明你的理由9.如图所示，P，Q，R，S分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，求大正方形ABCD的边长10.如图所示，在ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN与BCA的平分线CE相交于点E，与BCA的外角平分线CF相交于点

13、F （1）EO与FO的长度相等吗？说明理由； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？说明理由；（3）若要使四边形AECF成为正方形，则ACB的度数应为多大？11.如图所示，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形ABCO绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？说明理由12.如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F （1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形（不另外添加辅助线，无需证明）13如图所示，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以

14、对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，an，请求出a2，a3，a4的值（2）根据以上规律写出an的表达式20.5 等腰梯形的判定 1下列结论中，正确的是（ ） A等腰梯形的两个底角相等 B两个底角相等的梯形是等腰梯形 C一组对边平行的四边形是梯形 D两条腰相等的梯形是等腰梯形2如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中全等三角形有（ ）A2对 B3对 C4对 D5对3课外活动课上，老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风

15、筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（ ） A30cm B30cm C60cm D60cm 4等腰梯形上底，下底和腰分别为4，10，5，则梯形的高为_，对角线为_ 5一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为_cm，周长为_cm 6在四边形ABCD中，ADBC，但ADBC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是_（填一个正确的条件即可） 7如图所示，AD是BAC的平分线，DEAB，DE=AC，ADEC求证：四边形ADCE是等腰梯形8如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，B=C，且AD<BC，四边形ABCD是等腰梯形

16、吗？为什么？9.如图所示，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=12cm，上底AD=15cm，BAD=120°，求下底BC的长 10.如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OD的中点，且EFAD，试判断四边形EBCF的形状，并说明你的理由 11如图所示，小军将两根长度相等的木条AC，BD交叉摆放，并使木条AC，BD分别与水平线所成的夹角1，2相等，然后在交点O处钉一个钉子固定，OA<OC，再用一根彩带沿AD，DC，CB，BA围起来，小军得到的四边形ABCD是等腰梯形吗？请说明你的理由12.如图所示，在直角梯形纸片ABCD中，ABDC，A=90&

17、#176;，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E，折痕为DF，连结EF并展开纸片（1）求证：四边形ADEF是正方形；（2）取线段AF的中点G，连结EG，结果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形13.如图20-5-8所示，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB，BC于点F，E，若AD=2，BC=8，求BE的长14.如图所示，在等腰梯形ABCD中，ADBC，M，N分别为AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点 （1）试说明ABMDCM； （2）四边形MENF是什么图形？请说明理由（3）

18、若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC的长有何数量关系？请说明理由第20章 平行四边形的判定测试一、认认真真选，沉着应战！ 1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( ) （A）对角线互相垂直 （B）对角线互相平分 （C）对角线相等 （D）对角线平分一组对角2. 如图(1)，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）HFEDCBA（A） （B） （C） （D）FBEDCA (1) (2) (3)3在梯形中，那么可以等于（ ）（）4：5：6：3 （）6：5：4：3 （）6：4：5：3 （）3：4：5：64如图(2)，平行四

19、边形ABCD中，DEAB于E，DFBC于F，若的周长为48，DE5，DF10，则的面积等于( )（）87.5 （）80 （C）75 （D）72.55 A、B、C、D在同一平面内，从ABCD; AB=CD; BCAD; BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ） （）3种 （）4种 （C）5种 （D）6种6如图(3)，、分别是各边的中点，是高，如果，那么 的长为（ ）（） （） （） （）不能确定7. 如图（4）：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BEBC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQPR的值是（ ）（A） （B）

20、（C） （D）8如图（5），在梯形中，平分，如果这个梯形的周长为30，则的长 （ ）（）4 （）5 （）6 （）7EDCBARQP（4）DCBA（5）9右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则1等于( ) （A）90° （）60° （）45° （）30°10某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、b， 都有a+b2成立某同学在做一个面积为3 600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规

21、律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm 则x的值是（ ） (A) 120 (B) 60 (C) 120 (D) 60二、仔仔细细填，记录自信！11一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且，则这个四边形是_ 12在四边形中，对角线、交于点，从（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）平分这六个条件中，选取三个推出四边形是菱形如（1）（2）（5）是菱形，再写出符合要求的两个： 是菱形； 是菱形 13. 如图，已知直线把分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线所在位置需满足的条件是_.（只需填上一个你认为合适的条件）ABCD (第13题) (第16题14. 梯形的上底长为，过上底的一顶点

22、引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形周长为，那么梯形的周长为_。 15. 已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_. 16如图，在梯形中，对角线，且cm，cm，则此梯形的高为cmNMDCBA17. 如图，在梯形ABCD中，ADBC,B与C互余，AD=5,BC=13,M、N分别为AD、BC的中点，则MN的长为_.ADCB (第17题) (第18题) (第19题)18. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 . 19. 如图，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60°

23、;，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 20如图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .三、平心静气做，展示智慧！NMFEDCBA21已知：如图，中，、分别是、上的点，、 分别是、的中点。求证：四边形是平行四边形。22如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC， AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE。求证：BE=CEABECD23如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DEAG于E，且DEDC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。24如图，正方形的

24、边在正方形的边上，连结、（1）观察猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；AEFGCBD（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由25如图1、 2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F。如图1，当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想。如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边

25、上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。图1图2 第20章 平行四边形的判定单元检测卷一、选择题1下列条件能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A一组对边平行，另一组对边相等 B一组对边平行，一组对角互补 C一组对边平行，一组对角相等 D两条对角线互相垂直2用两个边长均为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ） A等腰梯形 B矩形 C正方形 D菱形3如图，线段AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD成为等腰梯形，需满足的条件是（ ） AAO=CO，BO=DO BAO=CO，BO=DO，AOB=90°CAO=DO<BO=CO DAO=DO，AOD=9

26、0° 图1 图2 图34四边形ABCD中，若（1）A+B=180°，C+D=180°；（2）A+D=180°，B+C=180°；（3）A+B=180°，B+C=180°；（4）A+C=180°，B+D=180°其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ） A0个 B1个 C2个 D3个5下列说法中，不正确的是（ ） A既是矩形，又是菱形的四边形是正方形 B正方形是对角线相等的菱形 C正方形是对角线互相垂直的矩形 D正方形是对角线互相平分的平行四边形6下列命题中正确的是（ ） A对角线相等的四边形是矩形

27、B对角线互相平分的四边形是平行四边形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形7在下列性质中：对角线互相平分；对边相等；对角线互相垂直且相等；对角 相等矩形和菱形都具有的性质是（ ） A B C D8如图2所示，ABCD中，下列结论不一定正确的是（ ） AAB=CD BAC=BD C当ACBD时，它是菱形 D当ABC=90°时，它是矩形9如图3所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O下列条件中，可判定四边形ABCD为矩形的是（ ） AAC=BD BAOB是等边三角形 CAO=CO=BO=DO DABC+BCD+CDA+DAB=360°10如图4所示，下列矩形中按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是（ ）图4 11如图5所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O能说明四边形ABCD是菱形的有（ ） BDAC；OA=OC，OB=OD，AB=