曲线经典例题

1、例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例5 已知椭圆方程，长轴端点为，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积（用、表示）例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程例7 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点

2、、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 例8 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程例10 已知方程表示椭圆，求的取值范围例11 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程例13 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长例15椭圆上的点到焦点的距离为

3、2，为的中点，则（为坐标原点）的值为A4B2 C8 D例16 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称例17 在面积为1的中，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程例18 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【例2】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为（2）渐近线双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开

4、.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例3】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是（3）共轭双曲线 虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例4】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.（4）等轴双曲线和谐对称 与圆同美实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的

5、对称性可以与圆为伴.【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 通法 特法 妙法（1）方程法为解析几何正名解析法的指导思想是函数方程思想，其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.【例6】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）（2）转换法为解题化归立意【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 （ ） A.e> B.1<e< C.1<e< D

6、.e>（3）几何法使数形结合带上灵性【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D（4）设而不求与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例9】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. 【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.（5）设参消参换元自如 地阔天宽一道难度较大的解析几何综合题，往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪，不能不恰当地处理那些非主要的变量，这就要用到参数法，先设参，再消参.【例11】如图，点为双

7、曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.（）求双曲线的标准方程；（）若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，设，当时，求直线的斜率的取值范围. 双曲线1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 l 2已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。3已知点N（1，2），过点N的直线交双

8、曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？例1：点M与点F (4，0)的距离比它到直线l：x6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程；(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；(3) 已知抛物线方程为y=mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程；(4) 求经过P (4，2)点的抛物线的标准方程；例4 求满足下列条件的抛物线的标准

9、方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上常用结论 过抛物线y22px的焦点F的弦AB长的最小值为2p 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y22px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2p2 设A， B是抛物线y22px上的两点，O为原点， 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)例5：过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OAOB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=4p2弦的问题例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)

10、A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为, P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形例4 已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0) 求抛物线方程; 求面积的最大值例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M

11、到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标综合类(几何)例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？例2 已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求RAB的最大面积例3 直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；（2）求出的定义域及单调区间例4 如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分

12、线例5 设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程例6如图所示，直线和相交于点M，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点（1）求（2）求ABQ面积的最大值例8已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程例9如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星与地球的最短距离例11如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、四点，求的值12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你