15级《微积分1》复习要点

1、15级微积分1复习要点依据微积分教学大纲和教考分离制度对微积分1期末考试说明如下：一、试卷题型与考试知识要求试卷客观题与主观题比例大约为 30%与70%,客观题主要考查基本概念与基本关系，主 观题主要考查基本运算和基本理论。对基本概念、基本关系的要求表述为理解，对基本运 算、基本理论的要求表述为会求或会证明。题型(题量)选择题(8)填空题(8)计算题(10)证明题(2)分值16分16分60分8分二、知识点及要求第一章函数、极限与连续(26%)1、理解函数的定义域；(1) 函数 V = - yjl-x2 的定义域是-1,O)U(O,1 x(2) 函数 y = lg(l x) +Jx + 2 的定

2、义域是-2,1)。 函数y = lgx +Jx + 2的定义域是(0,+co) oJQ 2函数y = arccos=的定义域是-1,5。lim(l + 2x)x、lim()d1 x e0计算极限lim( ?1x - 1 x jim(l-x) v =JCTO：limXTO(1-x)f J_-1li-n0-x )x-1二 1e解:1 + X)(6)解 : lim( ) = lim-i-2X -1 X-l 2 X -1 XTlx-l=limAA = -limXT1 I计算极限lim(l + sinx)2x.解: lim(l + sinln(1+sin ) =lime,xtOx)2xlimln(14-

3、sinx)xeA2xx-0In (l+s inx) lim -2xsinx lim,x-o 2x(8)计算极限 lim(l + 3tan x)co x5x-0t2解：lim(l + 3 tan 2 x) cot2x=liin(l + 3 tan2 x)x -+ tan*)=lim(l + 3tan10x)i3 tan 2x(9)计算极限1血(1-3工.x-0lim(l-3x) nx-o四(1-3x)3L=lim(l-3x)-A J L(10)计算极限lim( 2_x2解：！虬2_4J-) = lin/(* +_jLX-2x2 X4.x + 1 3=lim=22 4，1 1、蚣岳(ID计算极限一

4、1-1? x-L-lnxr)lim =limx-1-l nxa (x-l )lnxI m. | x-lx计算极限既而可X 1=lim I /* a xlnx + x-1=lim -I In x + 2 22l-cos2x , 2 sin x ?解: lim = lim = 1io xln(l + 2x) xto x ? 2x(13)计算极限 limx(e , -1)X CO-1x- -l JQ解：lim x(ex -1) = limX coX 00ex -1(14)计算极限四E1. ex-1x ？解. lim - = lim=lim x(x -1) XT 一 1r ln(l + 2x)(计算极

5、限四.io sin ln(l +3刘0 3x 32x2 解im =怖3、理解无穷小的运算(1)下列极限计算正确的是(D ).-1n 1sinxsi nx _ 八A、limxsin 1Jo liin 1 C、lim0 D、lim x sin10 XX10 X=12 ? 1 x sin lim=0xto sin xv 1(3) hm arcta nx = o nXD、无穷间断点4、理解间断点概念与类型;设工=2是/(工)=的(A ).x4A、可去间断点B、无穷间断点C、连续点D、跳跃间断点3-xx 1设x0, F(l) = -20F(x)在(0, 1)内至少有一个零点即 方程x3-4x2+1 =

6、0在(0, 1)内至少存在一个实根证明方程x5 -3x = l在(1,2)内至少存在一个实根证明：令 F(x) = F -3x-l.?.?F(l) =-30F(x)在(1,2)内至少有一个零点即 方程x5-3x = 1在(1,2)内至少存在一个实根 证明方程ex-2=x在0和2之间至少有一个实根证明：设 F(x) = e-2-x,?.?F(0) = 10F(x)在(0, 2)内至少有一个零点方程 ex 2 = x 在 0 和 2 之间至少有一 实根.(4) 证明方程 x2v = 1 至少有一个小于 1的正根 .人证明：设 F(x) = x2x -1A1F(0) = 0x2 A -1 = -1

7、o, E(l) = lx21-l = l0.?F(x在(0, 1)内至少有一个零点即 方程 x3-4.r2+l = 0 在(0, 1)内至少存在一个实根 第二章导数与微分 (26%)1 、理解导数的定义；- = ( B(1) 设广 (X。) 存在,f(x0 -Ax)-f(x0)则 hm - A- x -B、-/U)D、不存在(2)若广(X0 )存在,f(xn -2Ax)-f(xn)Ax 八则 hm 八 7 AxOC、 f(2x)* /ITOB.lim( %+& ) -(/与) Ax-0AxA lim 0 ) f32x) x0B.若函数f(x)可导，设y = /(x2),求y”解：y = 2xf

8、x2), y = 2f(x 2) + 4x2fx2). 若函数f(x)可导，设y = f (2x),求y.解：y = 2f 2x), y = 4f (2x).(3)若函数f(x)可导，设y=f2(x),求y”解: y = 2/(x)/(x), / = 2/? + 2/(x)/x).3、会求隐函数的导数。(1) 已知由 xy = ex+y 确定了 y = f (x),求 y,解：方程两边对x求导数，得y + xy = ex+y(l + y) 设函数y = y(x)由方程y =l-xey所确定，求矿解：方程两边对X求导数，得y = -(ev + xeV),e，y = pl-xey 设函数y = y

9、(x)由方程ee +xy-ex =。所确定，求y.解：方程两边对x求导数 的+ y + xy- ex =0 设函数y = y(x)由方程exy -2x+ y3所确定，求y. 解：方程两边对x求导数e0时，证明ln(l + x) x-ax2 ;教材例57T当0x x .证明：设/(x) = tanx-x ,则f(x)在(0，号)上连续，因为 f3) = sec? x-l = tan2 x当0 X 0所以f(x)单调递增因此 f(x)f(0) = 0, 艮 P tan . Y . y(3) 当xl时，证明不等式：e ex.证明：设 /(.r) = ex -ex，贝 tlf(x)在1, + 8)上连

10、续因为/ =ex -e ,当xl时广0所以f(x)单调递增因此 f (x) /(1) = 0 (x 1)即 eA ex 当x0时，证明：I + ?xVm.证明：设 f(x) = I + : x 则 f(x)在0, + oo)连续，因为 r(x) =L 一一 = I . A/l+Hj12 2jl + x 2+ x当X0时，广(x)0所以f(x)单调递增因此 /(x)f( 0)=0 即 i+ : xvm.TT(5) 证明不等式：当。时，证明tan isi nx.?证明：设/(x) = tan x-sin x贝U f (x)在(0,勺上连续且(0) = 0 ,因为，2f (x) = sec x 一

11、cos xjr 当0 X 0所以f(x)单调递增因此/(.X) /(0) = 0 艮 P tan .r sin x(6) 证明方程x5+x + 1 = Q在(-1,0)之间有且仅有一个实根证明：令 f(x) = x5+x + l, y(_i) = _io所以/(x) = 0在(-1,0)上至少一个根，又/(%) =5/+1,当x e (-1,0)时广(x) 0,所以f(x)单调递增，因此 f(x) = 0在(-1,0)上有且仅有一个根.(7) 证明方程x5-3x = 1在(1,2)之间有且仅有一个实根.证明：令 f(x) = x5-3x-l, y(l) = 1-3-10所以/(x) = 0在(

12、1,2)上至少一个根，又/(%) =5/-3,当xe(l,2)时广(x)0,所以单增，因此在(1,2)上至多有一个根. f (%) = 0 在(1,2) 上有且仅有一个根 .(8) 证明方程 X3-2X-1 =0 在(1,2)之间存在唯一一个实根 .证明：令 fM = x3-2x-I, f=-20,所以单增，因此在(1,2)上至多有一个根. f (%) = 0在(1,2)上有且仅有一个根 .4、会求曲线的凹凸区间与拐点，(1) 确定函数y = x的凹凸区间和拐点.解：定义域为 (00, + oo)y = ex + xex = (1 + x)exy = (2 + x)e x令 y = 0 得 x

13、 = -2当 x-2 时，/ -2 时，/ 0 在-2,+8)上凹.2拐点 : (2, ) 0e5、理解曲线的铅垂渐近线和水平渐近线。JQ (1) 求=-的水平渐近线和铅直渐近线 .x-2x 1解： 1 吧一 =，所以 x=2 是垂直渐近线 xT2x-2又lim 一 =所以=1是水平渐近线xT00 x 2(2) 曲线y= . 1的水平渐近线为y=,铅直渐近线为x = O,x= 2.x(x + 2) 2x-l(3) 曲线=(丁 的水平渐近线为=0_铅直渐近线为L_X二1.6、会求常见经济函数的最值和弹性；教材习题七(1) 一个公司已估算出产品的成本函数为 C = C(Q)=0.1。一 0.4Q

14、+ 360 (万元)求 2=10时的总成本；求 Q = 10时的平均成本、边际成本；求产量为多大时，平均成本最低？求出最低平均成本。解： 2 = 10时的总成本为。(10) =0.1x102 0.4x10 + 360 = 366 (万元)(2)由于平均成本函数为亍(Q)=处=+若,边际成本函数为 C， (Q) = 0.22-0.4 ,即得： Q =10时的平均成本为亍 (10) =0.1x10 0.4+哥=36.6 (万元) 或为，平均成本为C(1|0)=以埋=关A=36.6 (万兀),(2 = 10时的边际成本为肱 (10) = C(10) = 0.2x10 0.4 =1.6 (万元),由平

15、均成本函数亍(Q) = 0.12-0.4 + 若得(Q) = 0.1 胡，令矛(。 )=0.1茅=0, W2 = 60,由于C(60)=螺=600,知当产量为60单位时，平均成本最低。最低平均成本为 C(60) = 0.1x60-0.4 + =11.6 (万元)，设生产某产品的成本函数为 C = C(Q) = 0.1Q2+60Q + 1000 (元)，收益函数为A = R(Q) = 300Q 0.3。 (元)。求当 2 = io 时的总利润，边际利润；为使利润最大化，公司必须生产并销售多少件产品？并求出最大利润。解由已知得总利润函数为L=L(e)=w)-c(e)=(300Q - 0.3Q2)

16、(0.1。 + 60Q +1000)2=-0.422+2402-1000于是，边际利润函数为 L(Q) = -0.8Q + 240,从而得当 2=10 时的总利润为 L(10) = -0.4x102+240x10-1000 = 1360 (元),边际利润为 (10) = 0.8x10+ 240 = 232 (元)，由总利润函数L(Q) = -0.4。 +240Q-1000得边际利润L(Q) =-0.8Q + 240,可得利润函数的唯一驻点 2 = 300,利润为乙 (300) = -0.4 x3002 +240x300-1000 = 35000 元。设某商品的需求函数为Q=75-尹。求需求弹性

17、函数 (P)；求 ( 4) ,并说明其经济意义；当 p = 4 时，价格上涨 1%,总收益变化百分之几？是增加还是减少？【解】由Q=75-尹得需求弹性函数pp7P2(P) = 0 = (75 尹) ， -= oQ75-P2 P2-757 P2 .7 x42(2) 一_4 =4-A?-0.54,P2-75|P-4 42 75其经济意义是，当价格为 4 时，再提高价格 1%,将使需求量下降 0. 54%o当 p = 4 时，价格上涨 1%,总收益变化的百分比属于总收益 R 对价格 P 的弹性 ,由于总收益R对价格P的弹性函数为ER市”捻=(理)，电 P (Q + PQ, )0 = (1 + Q ,

18、咕)=1 + (P),当 p = 4 时， |p=4 =1+ (4)5 0.54 = 0.46, EP可知，当F = 4时，价格上涨1%,总收益变化0.46%,是增加。P(5),设某商品的需求函数为 Q = 204求需求弹性函数(P)； (2)求P = 5时的需求弹性函数；当P = 5时，若价格上涨1%,其总收益变化百分之几？是增加还是减少 ？ P解 由。=20-得需求弹性函数 4P P PP (/) = 0 =(20)=oQ 4 P 80-P*20 -4 P当P = 5时的需求弹性函数是 (5)=-矿A由于总收益A对价格P的弹性函数为FR PP1P5p=5 一 80-5当P = 5时，价格上

19、涨1%,总收益变化的百分比属于总收益 A对价格P的弹-=R-=(PQy = (Q + 性Q)- = (I + Q-)=l + a,FR当 p = 5 时，商 |p=5 =1+ (5)5-0.07=0.93,可知，当P = 5时，价格上涨1%,总收益变化0.93%,是增加。 第四章不定积分(10%)1、理解原函数、不定积分的概念，已知f(x)的一个原函数为则J7(x)dx=子* 已知/(x)的一个原函数为 W，则f(Adx= ex_+_Q设 Af(x)dx = x+C,则/ (x)=2x _+ C.r arc tan x ,19(4) ax = _ (arcta n x)_ + CJ 1 +jt

20、 2 一(5) 下列等式中正确的是(Bc、f(x)dx = f(x)dx . D、f(x)dx = f(x)dx + C ax ax 若不定积分 j/(x)rfx = F(x) + C ,则 je, f (e, )dx= F(e*) + C . X3设 Ax2dx = /(x) + C,则 f(x)= 3 J7(2x)故=;f(2x) + C.2、会求不定积分(直接积分法、第一类换元积分法和第二类换元积分法和分部积分法),例如计算,dx, j-A= dx, jx cos dx 等；(1)计算不定积分上土故乙人I JL解：一 77故=!日任(2+1)=?1 心+1|+仁I JL乙乙才十L乙(2)计算不定积分Jj 土弘.7(1 3x) = _： ln I _3x| + C解.J一 dx=- Jl-3x 3 Jl-3x(3) 计算不定积分j .解：此土严十挡1辎+2工)= nl3+2xl+C计算不定积分Jyydx解：令Jx + 1=，=尸一 1j* j dx = J- d(t2 1) = 2 J(?2 V)dt计算不定积分2 尸2(x + 1)32f + C =.八2(x +1) + C解：令3 x = t, x = 3-t23 _户2dx = J 7(3 f ) = 2 J(33(3 -jv) + C计算不定积分j.rcosxdx .命军： Jx cos xdx =