2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理数

1、选项符合题目要求.1.A.2.A.3.z满足2z+二=3 - 2i，其中i为虚数单位，则z=(D . - 1 - 2ix2A=y|y=2, X R , B=x|x - 1 V 0，则 A U B=C . (- 1 , +呵 D . ( 0, +呵200名学生每周的自习时间(单位：小时)2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理数、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个 （5分）（2016?山东）若复数1+2i B. 1 - 2i C.- 1+2i（5分）（2016?山东）设集合（-1 , 1） B. （0, 1），制成了（5分）（2016?山东）

2、某高校调查了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5 ,30，样本数据分组为17.5 ,20）,30.根据直方图，这 200名学生中每周的自4.（5分）（2016?山东）若变量满足' 2x 3y<9，则x2+y2的最大值是（4 B. 9C. 10 D.5分）（2016?山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何 体的体积为（125.正（主视图侧（左）视图俯视團+ 二 C. 'I D .J3 33 666. （ 5分）（2016?山东）已知直线a, b分别在两个不同的平面a, B内.则 直线a和直线b相交”是 平面a和平面B相交”的（）A

3、 .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件_7. （5 分）（2016?山东）函数 f（ x） = （®：八sinx+cosx）（ V3 cosx- sinx）的最小正周期是 （）A 7T- 3 兀_A. B. n C.D. 2 n2 28. （5分）（2016?山东）已知非零向量,满足4| F3Mcos若t + 0, 则实数t的值为（）A. 4 B. - 4 C.' D. - J4439. （5分）（2016?山东）已知函数f（ x）的定义域为 R.当xv 0时，f （x） =x - 1 ；当-1$冬 时，f （ - x） = - f （x

4、）;当 x 丄时，f （x+丄）=f （x- 3）.贝U f （6）=（）2 2 2A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 210. （5分）（2016?山东）若函数y=f （x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f （x）具有T性质.下列函数中具有 T性质的是（）x3A . y=sinx B . y=lnx C . y=e D . y=x、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分.11 . （5分）（2016?山东）执行如图的程序框图，若输入的a, b的值分别为0和9,则输出的i的值为12 .（ 5 分）（2016?山东）若（的展开式中x5的系数是

5、-80,则实数a=2 213 . （5分）（2016?山东）已知双曲线 E:七-十=1 （a 0, b 0）,若矩形 ABCD的四个a b顶点在E上，AB ,CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 14. （5分）（2016?山东）在-1, 1上随机地取一个数 k，则事件 直线y=kx与圆（x - 5）2 2+y =9相交”发生的概率为.15. （5分）（2016?山东）已知函数 f （ x）=，其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f （x） =b有三个不同的根，则 m的取值范围是 .三、解答题，：本大题共6小题，共75分.16. （12分）（2016?

6、山东）在厶ABC中，角A , B , C的对边分别为 a, b, c,已知2（ tanA+tanB ） = dcosB cosA（I）证明：a+b=2c ；（n）求cosC的最小值.17. （12分）（2016?山东）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知 G, H分别为EC, FB的中点，求证： GH /平面ABC ;（H）已知 EF=FB= AC=2 二 AB=BC，求二面角 F-BC - A 的余弦值.A218. （ 12分）（2016?山东）已知数列an的前n项和Sn=3n +8n,bn是等差数列，且an=bn+bn+1（I

7、）求数列bn的通项公式；n）令cn=，求数列cn的前n项和Tn.（屮）n19. （12分）（2016?山东）甲、乙两人组成 星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜 一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则星队”得3分；如果只有一个人猜对，则星队”得1分；如果两人都没猜对，则星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是：；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设星队”参加3两轮活动，求：（I）星队”至少猜对3个成语的概率；（II ）星队”两轮得分之和为 X的分布列和数学期望 EX .20. (13 分)(2016?山东)已知 f (x)_ 1 _=a (x-

8、 lnx) +-, aR.（II ）当 a=1时，证明（I）讨论f （x）的单调性;f （x ）>f（ x）对于任意的x C1，2成立.2 221. (14分)(2016?山东)平面直角坐标系 xOy中，椭圆C:' +' =1 (a>b> 0)的离心a2 b2率是一，抛物线E : x2=2y的焦点F是C的一个顶点.2(I)求椭圆C的方程；(n)设P是E上的动点，且位于第一象限， E在点P处的切线I与C交与不同的两点 A , B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点 M .(i) 求证：点 M在定直线上；S,(ii) 直线I与y轴交于点6,

9、记厶PFG的面积为 PDM的面积为S?，求的最大值及取得最大值时点 P的坐标.y +2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理数参考答案与试题解析一、选择题1. B【分析】设出复数乙通过复数方程求解即可.【解答】解：复数 z满足2z<=3 - 2i,设 z=a+bi,可得：2a+2bi+a - bi=3 - 2i.解得 a=1, b=- 2.z=1 - 2i.故选：B.2. C【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合.【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案.x【解答】解： A=y|y=2, xR= (0, +),2B=x|x - 1 v

10、0= (- 1, 1), A U B= (0, +s)U (- 1 , 1) = (- 1 , + a).故选：C.3. D【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于 22.5小时的频数.【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.16+0.08+0.04 ) >2.5=0.7,故自习时间不少于 22.5小时的频率为：0.7 >200=140,故选：D4. C【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值.【解答】解：由约束条件：./<作出可

11、行域如图，I x>0 A ( 0,- 3), C ( 0, 2),> |0C|,联立彳*+厂2，解得B (3, - 1).加-3y=92 2 x +y的最大值是10.故选：C.5. C【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 进而可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为 1,可得2R=二.故只=空，故半球的体积为：- * - '主n,2326棱锥的底面面积为：1,高为1,故棱锥的体积V ,故组合体的体积为:故选：C6. A【分析】根据空间直线与直

12、线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案.【解答】解：当 直线a和直线b相交”时，平面a和平面B相交”成立，当平面a和平面B相交”时，直线a和直线b相交”不一定成立， 故 直线a和直线b相交”是 平面a和平面B相交”的充分不必要条件， 故选：A7. B【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质.【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期.【解答】 解：数 f (x) = (p sinx+cosx)(耳cosx sinx) =2sin (x+) ?2cos (x+) =2sin(2X+ ， T= n,故选：B=*=*=* T【分析】若)

13、.i±( t + i),贝,J? (t + i) =0,进而可得实数t的值.«2八2-i?(t+|)=t ?-|+=t| |?|?二+| -|=( |，) | - J =0,34解得：t= - 4,故选：B.9. D【分析】求得函数的周期为1，再利用当-1$勻时，f (- x) = - f (x),得到f (1) = - f3(-1),当x v 0时，f (x) =x - 1，得到f (- 1) = - 2,即可得出结论.【解答】解：当 x> 一时，f (x+ ') =f ( x -'),2 2 2当 x>x+1) =f (x)，即周期为1.2-

14、f (6) =f (1),当1时，f ( x) = - f (x),-f (1) =- f (- 1),当 xv 0 时，f (x) =x3 - 1,-f (- 1) = - 2, f (1) =- f (- 1) =2 , f (6) =2.故选：D.10. A【分析】若函数y=f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f (x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为-1,进而可得答案.【解答】解：函数 y=f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f (x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为-1,当y=si

15、nx 时，y'=cosx，满足条件；当y=l nx时，y'= > 0恒成立，不满足条件；当y=ex时，y =ex > 0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y =3x2>0恒成立，不满足条件；故选：A二、填空题11. 3.【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【解答】解：输入的a, b的值分别为0和9, i=1 .第一次执行循环体后：a=1,b=8,不满足条件av b,故 i=2 ；第二次执行循环体后：a=3,b=6,不满足条件av b,故 i=3 ；第三次执行循环体后：a=6,b=3,满足

16、条件av b,故输出的i值为：3,故答案为：312. - 2 .:匸，化简可得求的x5的系【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=（ ax2） 5-r数.【解答】解：（ax2+ -）5的展开式的通项公式5Tr+1= ( ax2) 5 rr：-,令 10-二5，解得 r=2 .2'/( ax2+555的展开式中X5的系数是-80二a3= - 80,13.2y= ±，再由题意设出 A, B, C, a由2|AB|=3|BC|，可得a, b, c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值.【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得D的坐标,【解答】解：令x=c,代入双曲线的方程可得

17、 y= - ' = ±-k2k2k2k2(c, ), B ( c, ) , C (c, ), D ( c ,- aaaa,可得由题意可设A),由 2|AB|=3|BC| 2b22?=3?2c,a,_2 2 2由 b =c - a ,2即为 2b =3ac,e= ：，可得 2e2- 3e- 2=0,解得e=2 （负的舍去）.故答案为：2.【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 根据几何概型的概率公式可求出所求.2 2【解答】解：圆（X- 5） +y =9的圆心为（5, 0）,半径为3.圆心到直线y=kx的距离为：Vk2+ik,最后22要使直线y

18、=kx与圆（x - 5） +y =9相交，则二<3,解得-工k <在区间-1, 1上随机取一个数-I故答案为：；415.（3, +口.k，使直线2 2y=kx与圆（x - 5） +y =9相交相交的概率为【分析】作出函数 f （x）=的图象，依题意，可得 4m - m2v m （m2mi+4in? x>ni> 0）,解之即可.I y 13 xWm的图象如下:x 2ins+4ni$2 2 2 2f (x) =x - 2mx+4m= (x - m)+4m m > 4m - m ,x的方程f (x) =b有三个不同的根，【解答】解：当 m>0时，函数f（X）/x

19、> m 时， y要使得关于必须 4m - m v m （m > 0）, 即 m >3m （m>0）, 解得m > 3, m的取值范围是（3, +s）, 故答案为：（3, + R）.16.【分析】（I）由切化弦公式I. _!_：-,带入cosAC0SD并整理可得 2 （sinAcosB+cosAsinB ） =sinA+cosB，这样根 cosB cosA据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c;2 2 2 2 2 2（n）根据a+b=2c,两边平方便可得出 a+b +2ab=4c，从而得出a +b =4c -

20、2ab,并由不2 2等式a2+b2支ab得出c2ab,也就得到了.如，这样由余弦定理便可得出_：；' - I ,ab2ab从而得出cosC的范围，进而便可得出 cosC的最小值.【解答】解：(I)证明：由得:cosB cosAsinAcosAcosBsinA sinB+cosAcosB cosAcosB两边同乘以 cosAcosB 得，2 (sinAcosB+cosAsinB ) =sinA+sinB ;/ 2sin (A+B ) =sinA+sinB ; 即 sinA+sinB=2sinC (1); 门丄一SinB=l-，带入（1）得:2K一 ：I二?2R 2R 2R根据正弦定理，

21、a+b=2c;(n) a+b=2c;/ . x 2 2 2 2-( a+b) =a +b +2ab=4c ;2 2 2 2-a +b =4c - 2ab,且4c绍ab，当且仅当a=b时取等号; 又 a, b>0;由余弦定理,二;a" + b' 一 c 匚_3 u? 一 2巴b 3 u2 ' ._ . : cosC的最小值为 17.【分析】（I）取FC中点Q,连结GQ、QH，推导出平面 GQH /平面ABC，由此能证明 GH / 平面 ABC .（H）由AB=BC，知BO丄AC ,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，00为z轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求

22、出二面角F - BC - A的余弦值.【解答】证明：（I）取FC中点Q,连结GQ、QH, G、H为EC、FB的中点， GQ 1QH /| ', 又 EF 1 BO , 平面 GQH /平面 ABC ,/ GH?面 GQH , GH /平面 ABC .解：(n)T AB=BC , BO丄AC ,又 OO丄面ABC ,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO为z轴，建立空间直角坐标系，则 A ( 2近，0, 0), C (- 2 晶,0, 0), B (0, 2晶,0), O' (0, 0, 3) , F ( 03, 3),FC= （- 2 徒，-品，-3）, CB= （2 忑,2

23、 畐,0）,由题意可知面 ABC的法向量为=(0, 0, 3),设= (xo, yo, zo)为面FCB的法向量,则上驴,Ln*CB=O'-2730 -V3yo-3z0=O2V3xo+2V3yo=0' cosv I I ',取 xo=l，则-=面角F - BC - A的平面角是锐角,面角F - BC - A的余弦值为-.718.【分析】（I）求出数列an的通项公式，再求数列（H）求出数列Cn的通项，利用错位相减法求数列2【解答】解：（I） Sn=3 n +8n , n 2 时，an=Sn - Sn -1=6n+5,n=1 时，a1=S1=11, an=6n+5;T an

24、=bn+bn+1 , an _1=bn-1+bn,二 an- an- 1=bn+1 - bn- 1. 2d=6 , d=3,t a1=b1+b2, 11=2b1+3, b1=4,bn的通项公式；Cn的前n项和Tn.(b+1)U+1(6n+6 )Cn=(皿二 bn=4+3 (n- 1) =3n+1;n+1=6 (n+1) ?2n,(3n+3) n二口=62?2+3?22+ (n +1) ?2“,n+1-6 ( n+1) ?2=2Tn=62?22+3?23+ n?2“+ ( n+1) ?2n+1,23 nn+1,- 可得-Tn=62?2+2 +2 +2 - (n+1) ?2=12+6n+1n+2(

25、-6n) ?2= - 3n?2,n+2二Tn=3n?219.【分析】（I）星队”至少猜对3个成语包含 甲猜对1个，乙猜对2个” 甲猜对2个，乙猜 对1个” 甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；（II ）由已知可得： 星队”两轮得分之和为 X可能为：0, 1，2, 3，4, 6,进而得到X的分 布列和数学期望.【解答】解：（I）星队”至少猜对3个成语包含 甲猜对1个，乙猜对2个” 甲猜对2个, 乙猜对1个” 甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P= ¥中I魯1 2=-:,(II )星队”两轮得分之和为 X可能为：° 290, 1, 2,2 “3, 4,

26、则 P (X=0)=.-'-:-:,43144P (X=1) =2 K+.4432 23P (X=2) 丄 .-(1-号)-243434(X=3)(X=4)3=2 3.=2 m+ .4 （1飞）+（1 - 号） （1-4）-（i-|）,+3-” (1-)342 (1 3)343=12=：I -,g)2+=25=V-,2 60=-(X=6)二 36=：4-故X的分布列如下图所示:x10123 4 6P11441014425144121446014436144.数学期望 EX=O X +1 X +2 X +3 X +4 X ' +6 X =“ ：='144144144144

27、144144 1,44 620.【分析】(I)求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；(H)构造函数 F (x) =f (x) - f' (x),求导后利用不等式 x- 1 >lnx放缩，得到F (x)2-3?+X2 .令 X x)=3 y"+藍2-.，利用导数可得0 (x )在 1 , 2上为减函数，得到F (x )> ；恒成立由此可得2f (x)> f'( x) + ；对于任意的x 1 , 2成立.2f (x) =a (x - lnx)【解答】(I)解：由得 f' (x) =a (1- )2 x

28、2 _ (2x _ 1) p2m+4K= J一 - 一二门丄=!-y3 =3(x> 0).XX若aO,则2ax - 2v 0恒成立，当 x (0',1)时，f' (x)> 0,f(x )为增函数，当 x (1,+ g)时,f' (x)v 0,f(X)为减函数；当 a> 0，若 0v av 2，当 x ( 0,1)和(' ', +g)时，f' ( x)> 0, f (x)为增函数,当 x( 1 二) 时，f' (x)v 0, f ( x)为减函数；a若a=2, f' (x)为恒成立，f (幻在(0, + R)

29、上为增函数；若 a>2，当 x (0,和(1, + g)时，f '(x) > 0, f (x)为增函数,a当x (，1)时，f' (x)v 0, f ( x)为减函数；(n)解： a=1,91919319令 F ( x) =f (x) - f' (x) =x - In x * - 1=x - In x+I .v Z.Z Y J'I £. Jx XX A XA X X/ e > 1+x,.x > In (1+x),.ex 1 > x,贝V x - 1 > lnx ,3. 13x2+x-23x令权X)宾白辭2，则(X)卅-¥+肿厂3/：跻6 <0( x 1 ,2). x3XsJ(x)在1 , 2上为减函数，则 11 :|.：min2 F (x )> :恒成立.2即f (x )> f'( x) +