《利用导数解决不等式问题》教学设计

1、利用导数解决不等式问题教学设计利用导数解决不等式问题教学设计【学习目标】知识技能1、会利用导数作为工具证明不等式；2、能够构造函数，结合放缩和函数的单调性、最值达到证明目的过程方法：(1)在 分析、实验、讨论、总结”的探究过程中，发展学生 自主学习能力；(2)强化数形结合思想情感态度：(1)培养学生的探究精神；(2)体验动手操作带的成功感【教学重点难点】1灵活准确的构造函数2利用可导函数解决不等式证明；【学情分析】导数之难，难在对函数单调性的认识并且导数工具的运用，充分体现了 数形结合思想”问题研究的核心就是函数的单调性”结合本节试题的结构和内容分析，结合着高三年级学生他们的认知结构及其心理特

2、 征，归纳总结做题规律，使学生明确做题的方向。我们都知道数学是 一门培养人的逻辑思维能力的重要学科。因此，在教学过程中，不仅 要使学生 知其然”，还要使学生 知其所以然”。我们在以师生既为主 体，又为客体的原则下，展现获取理论知识、解决实际问题方法的思 维过程 考虑到我校高三年级学生的现状，我主要采取引导加点拨的教学方法，让学生真正的参与教学中去，而且在堂活动中得到新的认识和体 验，产生践行的愿望。当然教师自身也是非常重要的教学资。 教师本人应该通过堂教学感染 和激励学生，充分调动起学生参与活动的积极性， 激发学生对解决难 题问题的渴望，并且要培养学生以理论联系实际的能力，从而达到最佳的教学效

3、果。同时也体现了改的精神。【教学过程】一、前思考：（引入题）1、利用导数能解决哪些问题？2、复习上节证明含对数和指数的不等式的两种常用方法：设计意图：利用提出问题吸引学生，由抽签法进行幸运抽奖活动，激 发学习兴趣，达到调动学生积极性的目的若学生能说出导数除了能解 决单调性和最值问题，还能解决不等式问题，则追问利用导数证明不 等式常用的方法是啥；若学生不清楚，则用简单的例子引导他们，对 于复杂一点的不等式问题又如何下手呢？从而引入授内容二、观察分析，初步探究例1.若函数二在R上可导且满足不等式x>恒成立，且常数a, b 满足 a>b,求证：.a>b【解】

4、由已知x+>0 .二构造函数，则x+>0 ,从而在R上为增函数。即 a>b变式：1、定义在上的奇函数满足：时，令，则的解集为如果满足呢？ 2、已知定义域为R的函数满足：，则的解集为3、定义在上的函数满足：恒成立，则（）A B D【警示启迪】由条移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造 函数，求导即可完成证明。若题目中的条改为，则移项后，要想到是 一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。反思总结：从条特征入手构造函数证明不等式，思路为：见和构积， 见差构商设计意图：二轮复习重在总结中提炼解题方法， 让学生反复观察一类 题目的式子结构特征，感受如何恰当

5、的构造函数，一方面让学生自己 慢慢体会导数及法则的正用、逆用、变形用，从而培养学生的逆向思 维能力，使学生能从抽象函数问题中解放出。 另一方面体现数学直观 这一重要的思想方法对数学学习的意义和作用三、启迪思维，深入探究例2、（只探究第三问）设函数 （1）时，求在处的切线方程；（2）时，讨论函数的单调性； （3）时，求证：变式练习1、设函数，若（其中且，问：函数在处的切线能否平行于轴，若能，求出切线方程；若不能请说明理由。变式练习2、设函数，若存在两个实数满足，求证：反思总结：观察式子的结构特征，换元法由两个元变成一个元，从而 构造新函数，达到证明不等式的目的。设计意图：通过归类总结，让学生明白

6、看似负责的问题，化简后其实 是同一个题目，设计了不同的问法而已，走出做题阴影，打开做题思 路，不要先被题目吓住。例3、函数，其中.（I）试讨论函数 的单调性；（n）已知当（其 中是自然对数的底数）时，在 上至少存在一点，使成立，求 的 取值范围；（田）求证：当时，对任意，有.备注：当变式练习：设函数（I）当时，求函数的极值；（H）当时，讨论函数的单调性；（田）对任意，且，有恒成立，求的取 值范围.反思总结：对于以上类型的题目，绝大部分的学生都会望而生畏学生 的盲点也主要就在对所给函数用不上如果能挖掘一下所给函数与所 证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关， 由 此就可过渡到根

7、据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，或借助单调性求出函数的最值，以期达到证明不等式的目的设计意图：学生对含一个元的函数构造已经比较清晰，但是对于含有两个元的函数的构造感觉比较陌生， 无从下手，通过例2以及变式的 设计是学生明确含有两个元的函数如何构造新函数， 从而转化成函数 的单调性和最值问题。起到使学生明确做题方向的作用。例3、设函数，（1）讨论函数的单调性；（2）时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：先思考：若已知数列，数列的前项和为，若不知道数列的通项公式，如何求证变式1:设函数，证明：变式2:变式3:四、归纳结论，揭示本质思考：依据上述分析，可得出什么结论？设计意图：通过例3的设计，使学生认清此类问题的本质是找通项，适当整理后构造式子做差或做商，明确证明思路，充分利用前两问证得的不等式，等价转化到理想形式自己构造函数单独证明， 让学生轻松找到解决此类问题的主要依据，(1)重要不等式ln(x+1)(2)有效的放缩五、堂小结，内化知识提出问题探究问题解决问题未解决的问题设计意图：引领学生按这一模式进行小结，提高学生概括归纳总结的能力，升华对知识的理解六、作业布置1、必做题：二轮复习资料