213两条直线的位置关系学案

1、课标解1 .能根据斜率判定这两条直线平行或垂直（重点）2. 能根据直线平行或垂直，求直线方程（重点）两条直线平行、垂直的判定【问题导思】1. 直线yAx+1与1,它们的斜率分别是多少？它们有什么位置关系?2. 直线x与的斜率是什么？它们有什么位置关系？3. 直线x=3和y=3,有什么位置关系？【提示】1.斜率均为1，平行2斜率分别为-1,1 ,垂直3垂直?h/hah、?2的倾斜角如、间的关系=么|ot2 Qi 1 = 902图示/卯嗖 （2）斜率间的关系（若厶、仏的斜 率 都存在，设1: y=kxb f12: y k* +Z）2）若h、?2的斜率都存在，则厶/bob =斶，且by如图所示），若

2、人、？ 2的斜率都不存在， 贝9厶 /2 （如图所示）或 厶与h重合若h、?2的斜率都存在，则厶 丄lAkk2= 一 1 （如图所 示），若厶、？ 2有一条直线的斜率 不存在，则人丄另一条直线 的斜率为Q （如图所示）锯它互动探究咬师生笙动狹“ X糜?卜例疋判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由?(1)/ :3x+5y 6=0, Z 2： 6x+IQp+3=0 ；两直线平行、垂直的判定(2)11: 3 兀一6 尹 + 14=0,1? : 2xy 2 0；/j:兀=2,仏：x=4 ；/j: y = 3,仏：兀=1.【思路探究】利用两直线斜率和在坐标轴上截距的关系来判断?【自主解答】(1)将两直

3、线方程各化为斜截式：Z1 : y= -|x + |,Z2 : y= - |x w3633则爲二? 5 , Zi = 5 ,- 5 r A2 = 応?*/ k = k2 t/ ?A| h-1 7(2) /i :尹二二x + 3 :尹二-2x +2.则=2 i A2= - 2 ,* kykA = 1 t ? 11 丄?2?直线k、?2的斜率均不存在，且2H4.A| h-直线/i的斜率紡二0,直线h斜率不存在?-L1.2i规律方法I 判断两直线位置关系应注意斜率不存在的情况?.判断两直线平行、垂直的方法I判断能否把z化成斜若其中一条 斛卓为叭 対一峯财拿 不律左则 石丄h已知点2(2,2+2边)，B

4、( 2,2)和C(0,2 2迄)話组成三角形，求证:/XABC为直角三角十叩、 【证明】，2 - (2 + 2A2) A/2? kB = _ 2 _ ；= 2，2 - 2A2 - 2kBC=0-(-2) =72,1 r:.AB-LBC ,? ? A5C为直角三角形?卜例色 已知点 A(2,2)和直线/ :3x+4y 20=0,求：过点2和直线/平行的直线方程；(2)过点A和直线/垂直的直线方程.【思路探究】利用两条直线的位置关系，设岀直线的方程，然后由另一条件确定直线【自主解答】法一 ？ ？直线/的方程为3x + 4y-20 = 0,.?.為=-|.(1)设过点A与直线1平行的直线为h ,3*

5、.? ki - kli ,. ? .kli =-才?/i的方程为 y- 2= -|(x-2),即 3x + 4y - 14 = 0. 设过点A与直线I垂直的直线为12 ,3 4*.* krkl2 -1 z ?*? ( 才)?刃 2 =1 / 刃 2 =亍.?丿 2 的方程为 丁 -2 = |( X - 2),即 4x-3y-2 = 0.法二(1)设所求直线方程为3x + 4y + C = 0 ,v点(2,2)在直线上，.-.3X2 + 4X2 + C=0 ,:,C= - 14.所求直线方程为3x + 4y - 14 = 0.设所求直线方程为4x - 3y +久=0 ,点(2,2)在直线上，.-

6、.4X2 - 3X2+2 = 0 ,.?.久=-2 ,即所求直线方程为4x - 3y - 2 = 0.I规律方法I1. 根据两直线的位置关系求岀所求直线的斜率，点斜式求解；或利用待定系数法求解2. 直线方程的常用设法%1过定点P(xo , yo),可设点斜式y -yo = k(x- x 0)；%1知斜率k ,设斜截式y = kx + b ；%1 与直线 Ax + By + C- 0 平行，设为 Ax + By + m = 0；%1与直线Ax + Bv C-0垂直，设为 Bx - Ay + n - 0.本例中条件/: 3x+4y-20=0”衣为/: x=l”，求相应的直线方程【解】设x - m

7、= 0 ,则力=2 ,所求直线方程为 x-2-O ；易知/ : x = 1的斜率不存在，.？所求直线的斜率 k=0 , 所以，所求直线方程为=2 ,即 y-2 = 0.利用两直线的平行、垂直求参数若直线厶：处+4一 2=0, /2: x+w+l=0,求：a取何值时，(1)人 /2，(2)/1丄?2.【思路探究】由于?2的斜率未必存在，故应从 h的斜率存在与不存在两种情况入手，a = 0和QHO讨论.【自主解答】 将直线厶化成斜截式方程为厂 -企+ *当a = 0时，的方程为 x= - 1 ,厶的方程为y = 此时厶丄12 ；当aHO时，12的斜截式方程为若J艮卩Q二2日寸,/1| ?2 ;若-

8、手(-*)=-1,即+= - 1,矛盾，故厶与“在 oHO时不垂直?综上，当a = 2时，/1| 12 ；当a = 0时，厶丄乙.I规律方法I1. 利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨2. 当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系:直纟戋 /i : Axx + SLy + Ci = 0 ,直线 12： A2X + C2 = 0.%1川|却岀2 -坤=0且BG -酬1工0(或皿-A2CS)；%1 /丄/20 厦 1 厦 2 + B 出 2 = 0.已知直线厶过点乂 (1,1), 5(3, a),直线仏过点M2,2), N(3+a,4).

9、(1)若h/l 2,求a的值； 若厶丄S求a的值.【角牛】kl = kAB = 3 _ = 2 /(1)若 1 |2 ,则 3 + QH2 , a zz _ 7_4 22_ Q - 1且刀 2-加-(Q + 3)? 2 一1 一 27即 QH? 1 且 Q二 5 , :,a- .当a + 3二2艮卩Q二？1时丿2无斜率， 此时肋二？ 1，所以h与不垂直，2 当a + 3H2即QH? 1时，刃2二莎，, 2由厶丄 侍 / klykl2 2 X Q + =-.0.%找易误辨析II能区忽视斜率不存在的情形致误卜典例已知A(-m-3,2),升(区X4,4), C(_tn, m), D(3,3 +2),

10、若直线 ABLCD,求 m 的值.【错解】由斜率公式 4-2 2_ _k 4B-4 - ( - w - 3) = - (m + 1)3m + 2 m 2(m1)kcD= 3-(5)=卞门-?:AB士CD ,? : kABkcD = 1 f即 g2當)-(m + 1) m + 3 解得m =丨，:.m的值为1.【错因分析】两直线垂直。规的前提条件是斤1、他均存在且不为零，本题岀错的原因正是忽视了前提条件，这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论?【防范措施】遇到垂直、平行的判断时一定要考虑到直线斜率不存在的情况?【正解】?、彳两点纵坐标不等，:.AB与x轴不平行.?: AB丄CD ,

11、:. CQ与x轴不垂直，-力廿H3 , mH - 3.%1当AB与x轴垂直时，-m-3 = -2m- 4,解得m = - 1.而m= - 1时C、D纵坐标均为-1 rA 兀轴f此时仙丄CD ,满足题意? %1当与x轴不垂直时，由斜率公式4A 2kAB = - 2m - 4 - ( - w - 3)=-(加 + 1) 3m + 2 - m 2(m + 1)2 3 一 ( 一 m)=冲 + 3 ?:ABCD ,:.kABkcD -1 r 即-.加二-11 - (m+ 1) m + 31解得m = 1 ,S1. 判断两条直线平行的一般性结论是：IV/Ok匸k2或/2的斜率均不存在.2. 判断两条直线

12、垂直的一般结论是：厶丄小心一1或一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.3. 根据两条直线的平行或垂直关系求直线方程时，可根据两直线的位置关系求出直线的斜率再求解；也可利用待定系数法求解乡它双基达标惶堂练生生互动达“双标”交潦I八、人 F 学习I. 下列直线中与直线兀一尹一仁0平行的是( )A. 兀 + 尹一 1=0B. x v+ 1 =0C. axayQ=0D. x尹 +1=0 或 or ayQ=0【解析】 显然 B 中直线与 x-y- 1=0 斜率相等但不重合 ?【答案】 B2. 已知直线Z1的斜率佈=1,直线?2的斜率k2=-l,则与?2的位置关系是()A. 平行B.垂直C.相交但不

13、垂直 D.不确定【解析】 *.* kk2 =- 1 ,丄 2.【答案】 B3. 若直线 1:2%4Tny 1 =0与直线尹 =3兀一 1 平彳丁,则 TH .2【解析】 ? *3,2m = - y2【答案】 -f4. 已知直线 (+2)兀+(1。)尹一 3=0与直线 (Ql)x+(2a+3)p+2=0 垂直，求实数 a. 【解】 由题意得 (Q +2)(Q - 1) + (1 - a)(2a + 3) = 0 ,a1.彳宰方知能检测谋下测自我评估找 m ”呀费丫一、选择题1. 过点 (1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 ()A.兀一2y 1 =0B. x 2y+1=0C. 2

14、xy 2=0 D. x2y1 0【解析】 过点(1,0)且斜率为*的直线方程为尹二扣? 1)即x? 2y -仁0.【答案】 A2. 两直线 2xa2y3=0 与 ax2yl =0互相垂直，贝 0()A. a=0 B. a=lC. Q=0或 D.不存在【解析】 由 2? a + (? /) .( _ 2)二 0 得 a2 + a = 0 ,坊=0 a = - 1.【答案】 C3. 已知过点A(-2, m)和鸟(加，4)的直线与直线 2x+y 1=0平行，则加的值为()A. 0B. -8 C. 2 D. 10【解析】 因为直线 2x+y - - 0 的斜率是 -2 ,4 - m所以，若两直线平行，

15、则有 - 2 = -,- 2)解得 m = - 8. 【答案】 B4. 已知直线厶的倾斜角为45。，直线过点 理1,2), B(5, -4),则厶与“的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.平行或重合【解析】T/I的倾斜角为45。, .?& = tan 45。= 1 ,又 T/2 过点 (1,2) ,B(-5 , -4), 与】2平仃或重合 , 故选 D.【答案】 D5. (20 1 3 ?合肥高一检测 )以 2(1,1), B(2, -1), C(l,4) 为顶点的三角形是 ()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 以乂点为直角顶点的直角三角形D. 以B点为直角顶点的直角三角形2

16、3【解析】kAB = - S = 2 ,I i 即 ABA_AC.【答案】C二、填空题的方直,6. (2013?海淀高一检测)若直线/经过点(1,2)且与直线2x+v-l=0平彳丁，贝U直线I程为 ?【解析】由已知得直线I的斜率为-2，则方程为y - 2 - - 2(x - 1),即2x + y - 4- 0.【答案】2x+y 4 = 07. 若直线/i: 2x-5y+20=0, Z 2:愿一 2)， 10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数的值为 .【解析】爪h与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补.因为坐标轴垂故门丄?2 ,即 2m + 10 = 0 , :m - 5.【答案

17、】一 58. 已知2(3,1), 5(-1, -1), C(2,l),则厶/BC的BC边上的高所在的直线方程为1-(-1) 2【解析】尿=2_；二扌，3:.BC边上的高所在直线的斜率k=込，:.所求直线方程为 V-仁-|(x 二 3) , BP 3x + 2y-11 = 0.【答案】3x2y 11 0三、解答题9. 求经过点力(2,1)且与直线2x+ay10=0垂直的直线I的方程.【解】设直线I的方程为or? 2y + m = 0.?直线/经过力(2,1),2a ? 2 + m = 0 ,m = 2 ? 2a即直线I的方程为ax - 2y + 2 - 2a = 0.10. 已知点力(一 1,3), 3(4,2),以曲为直径的圆与兀轴交于点M,求点M的坐标.【解】设M(x,0)? M是以为直径的圆与 x轴的交点，4M