浙教版《一元一次不等式》知识要点典型例题习题讲解(朱国林)

1、浙教版一元一次不等式知识要点及典型例题、习题讲解一、知识点要求1、理解不等式的概念和基本性质、一元一次不等式的概念、不等式的解集（不等式的解）2、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集；熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和根据；掌握一元一次不等式的应用题的解法3、理解一元一次不等式组的概念，及不等式组的解的概念（组成不等式组的各个不等式的解的公共部分）；会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解，进一步得出不等式组解的规律：同大取大，同小取小，比大得小，比小得大取中间，比大得大，比小得小，不等式组无实数解；掌握 一元一次不等式组的应用题。二、重要的数学思想：1、通过将实际生活

2、问题转化成不等式等数学模型，领会转化的数学思想。2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会 数形结合的思想。3、类比思想：把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。在本章中，类比思想的突出运用有：1、不等式与等式的性质类比。2、不等式的解与方程的解的类比3、不等式解法与方程的解法类比。注意：解一元一次不等式与解一元一次方

3、程的步骤虽然完全相同，但是要注意如果乘数或除数是负数 时，解不等式时要改变不等号的方向。典型例题、解不等式的通法与技巧解一元一次不等式的五个基本步骤和根据如下:步骤根据12去括号单项式乘多项式法则34合并同类项，得 ax>b,或ax<b （aw0）合并同类项法则5同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五个步骤后，可结合一元一次不等式的特点，采取一些灵活、简捷的方法与技巧，能使解题事半功倍。(一)、凑整法例1.解不等式-0_25x -7,5 > 1 + 32分析：根据不等式性质，两边同乘以适当的数，将小数转化为整系数。解：两边同乘以-4,得x+30<-2-x.x<-1

4、6.(二)、化分母为整数t 、丘-4x-L5 5x - 0.8 . 1.5-x例2 .解不等式>0.502分析：根据分数基本性质，将两边分母化成整数。解：原不等式变形，得 8x-3-(25x-4)>15-10x.-7x>14. 即 x<-2.例3.、裂项法2x -1 4x +1 . 4x +1 .解不等式1。分析:本题若采用去分母法，步骤较多，由除法意义，裂项相合并，过程简洁。解：原不等式变形，得移项、(四)例4.合并，得x<-o4、整体处理法- 2 2 - 3x v 3k - 5 1解不等式-I 。23解：视“3x-2 ”为一个整体，变形，得2三，22577移项

5、合并，将 (3x -2),124八1X 2 - o3二、单纯解不等式组1、c1、 r6 -5(x) -7x5c 10x -54 -2x3x 2、x - 3(x - 2) - 41 2x 彳x -134、x - 2( x -3) - 43、x(x 1) -2 -x1、)6 -'5(x -) -7x5c 10x -54 -2x3x 5、若a <b <c,则关于x的不等式组x <b的解集是()x ：: cA、 a<x<bB、 a<x<c C、 b<x<c D、无解6、若a2>a,则a的取值范围是 ;解：(1)a 2>a,a a

6、>0,即 a(a 1)>0,俗，、似.I或解得a>1或a<0。厘-1 >0,j(- <0.三、带有附加条件的不等式(组)的解例1、求不等式J(3x+4)- 3<7的最大整数解。2分析：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解。1解： (3x+4)- 3<72移项：3xW 14-4+6合并同类项：3x<16一一 1系数化为1:x<5 31. x <5 一的最大整数解为 3例2、x取哪些非负整数时，代数式解：依题意得：3；4去分母:3x+4- 6<14 x=5x -135 + 2)3

7、的值不小于代数式 的值?488去分母:24-2(x- 1) >3(x+2)去括号：24- 2x+2>3x+6合并同类项：-5x>-20系数化为1:x<4符合条件的非负整数为 x=0, 1,2, 3, 4.x-13(1 + 2)答：当x取0, 1,2, 3, 4 时，代数式3-的值不小于代数式 的值。48(很多人会一不小心就把0弄丢了)注意：要明确 关于“、小于“、不大于"、不小于"、不超过“、至多“、至少”、芈负 数”、正数“、负数"、负整数”这些描述不等关系的语言所对应的不等号各是什么。 求带有附加条件的不等式时需要先求这个不等式的所有的

8、解，即这个不等式的解集，然后再 从中筛选出符合要求的解。四、不等式(组)中待定字母的取值范围例1、当k取何值时，方程 X- x-2k=3(x-k)+1的解为负数。2分析：应先解关于x的字母系数方程，即找到 x的表达式，再解带有附加条件的不等式。解：解关于x的方程：x-2k=3(x-k)+12去分母:x-4k=6(x-k)+2去括号：x-4k=6x-6k+2合并同类项：-5x=2-2k乃以八,2-2k- 2系数化为 1:x=-552k-2要使x为负数，即 x=<0,5分母 >0, 2k -2<0, 1. k<1 ,1移项：x-6x=-6k+2+4k当k<1时，方程

9、一 x-2k=3(x-k)+1 的解是负数。2例2、若|3x-6|+(2x-y-m)2=0,求m为何值时y为正数。分析：目前我们学习过的两个非负数问题，一个是绝对值为非负数，另一个是完全平方数是非负数。由非负数的概念可知，两个非负数的和等于0,则这两个非负数只能为零。由这个性质此题可转化为方程组来解。由此求出 y的表达式再解关于 m的不等式。解：|3x -6|+(2x-y-m)2=0,f| - 6 |= 0 J3x -6 = 0要使y为正数，即4-m>0,m<4.当m<4时，y为正数。3x +2y p +1例3、若关于x的方程组, y p的解满足x> y ,则p的取值范

10、围是 、4x + 3y = p 7 x +7 <3x-7例4、如果不等式组3的解集是x>7,则n的取值范围是()x > nA、n> 7B 、nW7 C 、n=7 D 、nv7例5、如果关于x的不等式(2a b)x + a5b>0的解集为x<10 ,求关于x的不等式ax>b的解集710分析：由不等式(2a b)x+a5b>0的解集为x<,观察到不等号的方向已作了改变，75b _a 10 故可知（2a b）<0 ,且5ba,解此方程可求出 a, b的关系。2a -b 710 一，解：由不等式（2a b）x + a-5b>0的解集为x

11、< 一 ,可知：75b -a 10 /曰32a b<0,且=,付 b= a o2a -b 75结合 2a- b<0, b=3a,可知 b<0, a<0。 则 ax>b 的解集为 x< ° 55 x _a >0 例6、已知关于x的不等式组 / a-0 的整数解共有5个，则a的取值范围是 3-2x> -1 x>a 解析：由原不等式组可得 ，因为它有解，所以解集是 a<x<2,此解集中的5个整数解依次为卜<21、0、_1、_2、-3,故它的解集在数轴上表示出来如图1所示，于是可知a的取值范围为4<aE3。-

12、4-3-2-1012图1一，, 八一, fx -a > 0,，一（同类模仿）已知关于x的不等式组x'只有四个整数解，则实数 a的取值范围是 5-2x 1（-3 < a < -2）（同类模仿）已知不等式4x-a< 0,只有四个正整数解1, 2, 3, 4,那么正数a的取值范围是什么？0g g jg *>根据题意画出直观图示如下：因为不等式只有四个正整数解1, 2, 3, 4,设若亘在4的左侧，则不等式的正整数解只能是1, 2, 3,4不包含4;若史在5的右侧或与5重合，则不等式的正整数解应当是 1, 2, 3, 4, 5,与题设不符。所以反44a可在4和5之

13、间移动，能与 4重合，但不能与 5重合。因此有4W 一<5,故16<a<20o五、不等式与不等式组的应用题用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：审题，找出不等关系；设未知数；列出不等式；求出不等式的解集；找出符合题意的值；作答。例1、某校为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决定举办“读书节”活动，在这次读书活动中，小明受到老师的鼓舞，每天所看的书比原计划多5页，因而他在2天内读书超过28页，后来他真正体会到读书的乐趣，积极性大增，每天比原计划多 读了 10页，但照此速度4天他所读的页数还没有达到84页。问小明原计划每天读多少页书？ 分析：1.审题、设未知

14、数： 2 .找不等关系：3 .列不等式组：4 .解不等式组：5 .根据实际情况，写出答案.6 . 一定要答例2、市新华书店听说了该校的读书节活动，决定给一年级的小朋友免费赠送若干套十 万个为什么。如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一 个班级虽然分有十万个为什么，但不足4套.问：一年级有多少个班级？十万个为什么 共有多少套？分析：不等关系为： 关于用不等式（组）解决的应用题常见类型（一）分配问题：通常把量少的那个设为未知数，那么量大的那个可以用该未知数表示1、一群女生住若干间宿舍，每间住 4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不 满。如果有x间宿舍，那

15、么可以列出关于x的不等式组：（一元一次不等式组）可能有多少间宿舍、多少名学生？.一6x > 4x +19.解：依题意得，或1&4x+19-6（x-1）<6哪一种更谷易理解？6（x -1） <4x+192、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放 4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足 3只。问有笼多少个？有鸡多少只？（二）、速度、时间问题1、爆破施工时，导火索燃烧的速度是 0.8cm/s,人跑开白速度是5m/s,为了使点火的战士在施工时能跑到不小于100m的安全地区，导火索至少需要多长？（一元一次不等式）解：很多人会“设导火索至

16、少需要 x米长”，注意这种设法是错误的。应“设导火索需要x米长”。然后列出不等式，求出解，根据解，再决定取值是至少还是至多，还是大于等，以下 类推。2、王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/分， 跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？（一元一次不等式）3、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证 及时送到？（一元一次不等式）（三）、工程问题1、用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估 计20分钟到22分可以抽完。B型抽水机比A

17、型抽水机每分钟约多抽多少吨水？2、某工人计划在15 天里加工408 个零件，最初三天中每天加工24 个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？3、一本英语书98 页，张力读了7 天 （一周）还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读2页，张力每天读多少页?（4） 、价格问题1、商场购进某种商品m 件，每件在进价的基础上，加价30 元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18 元，又售出全部商品的25%。（1）试求该商品的进价和第一次的售价；（2）为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？解：该商品的进价x（x

18、+30）（1-10%）=x+18,x=90 第一次的售价是90+30=120 元剩余商品的售价为y 元120*65%m+120*（1-10%）*25%m+y*（1-65%-25%）m> 90m*（1+25%）y R 75乘U余商品的售价应不低于75元2、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150 人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000 元。现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2 倍 ,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？（5） 、其他问题1 .有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20 且小于40，求这个两位数2、某公司需刻

19、录一批光盘（总数不超过100 张） ，若请专业公司刻录，每张需10 元（包括空白光盘费）；若公司自刻，除设备租用费200 元以外，每张还需成本5 元（空白光盘费）。问刻录这批光盘，是请专业公司刻录费用省，还是自刻费用省？解：1.假设：请专业公司刻录费用省10xv200+5x xv 402 .假设：公司自己刻录费用省200+5xv10xx>40.当刻录张数小于 40张时，请专业公司刻费用省当刻录张数大于40 张时，公司自刻费用省当刻录张数等于40 张时，两者费用一样多3、考试共有25 道选择题，做对一题得4 分，做错一题减2 分，不做得0 分，若小明想确保考试成绩在60分以上，那么，他至少

20、做对多少道题？解：设答对 x题，4x-2（25-x） >60 x>18.3x 应该取整数，所以应该是19 题4、某市出租车收费标准如下：3 公里以内（含3 公里）收费10 元，超过3 公里的部分每公里收费 2 元。超过起步里程10 公里以上的部分加收50%，即每公里3 元。 （不足一公里以一公里计算）（ 1）小明第一次乘坐出租车行驶4.1 公里 应付车费多少元？（相当于 5 公里的费用） 14元（ 2）若小明乘坐出租车行驶14.9公里，问应付费多少元？（相当于15公里的费用）39元(3)小明家距离学校13.1千米，周末小明身边带了 31元钱，则小明从学校坐出租车到家的钱够吗？如果够

21、，还剩多少钱？若不够他至少要先走多少公里路？( 不够，还要走1.1千米)(4)若小明某次乘出租车花去39元，那么他所乘的路程有多远？解：(3)若路程恰好为10公里，所需费用为10+ (10-3) X 7=24元1设31兀钱最多行x千米，依题意得，24+3 (x-10) W31, x<12-,由于不足一公里以一公里计算，因此331元最多行12千米。故钱不够，至少还要走1.1千米。(4) 39-3<24+3 (x-10) < 39,解得，14<x<15(六)、方案选择与设计1 .某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下

22、表：维京 cnT''''''-_甲种原料乙种原料维生素C/ (单位/千克)600100原料价格/ (元/千克)84现配制这种饮料10千克，要求至少含有 4200单位的维生素 C,并要求购买甲、乙两种原料的费用不超 过72元，(1)设需用x千克甲种原料，写出 x应满足的不等式组。(2)按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？(3)试写出最省钱的配制方案.600x 100 10-x _ 4200解:(2)(3)甲需(1)需用x千克甲种原料，则需乙种原料(10-x)千克，依题意得，«8x 4 10-x _ 72解得 6.4<x<

23、.8因为甲种原料每千克 8元，乙种原料每千克 4元，所以甲种原料尽量少时，最省钱.由(2)可得,6.4千克，则乙需3.6千克.2、某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金(生产该批产品支出的总费用)和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8%;方案二：在这学期结结束时售出该批产品可获利35940元，但要付投入资金白0.2 %作保管费，问：(1)当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？(2)按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。解：(1)当该批产品投入资金是

24、 x元，依题意得：3000+8% (x+30000) =35940-0.2% 解得 x=90000 答：(2)设当该批产品投入资金为 x元1 .若方案一比方案二获利多时，则3000+8% (x+30000) > 35940-0.2% 解得 x>900002 .若方案一与方案二获利一样多时，则3000+8% (x+30000) =35940-0.2% 解得 x=900003 .若方案二比方案一获利多时，则3000+8% (x+30000) < 35940-0.2% 解得 x< 90000当该批产品投入资金不足90000元时，选择方案二比方案一获利多；当该批产品投入资金超过

25、90000元时，选择方案一比方案二获利多；当该批产品投入资金刚好90000元时，选择方案一、方案二均可。3、某园林的门票每张 10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。年票分为A、B、C三种：A年票每张120元，持票进入不用再买门票； B类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张 2元，C类年票每张40元， 持票进入园林时，购买每张 3元的门票。、如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。、求一年中进入该园林至少多少次时，购

26、买A类年票才比较合算。解：（1）根据题意，需分类讨论.因为80 V 120 ,所以不可能选择 A类年票；若只选择购买B类年票，则能够进入该园林 80-60 =10（次）2若只选择购买C类年票，则能够进入该园林 804013 （次）3若不购买年票，则能够进入该园林80=8 （次）10所以，计划在一年中用 80元花在该园林的门票上，可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买C类年票.（2）设一年中进入该园林至少超过x次时，购买A类年票比较合算，根据题意，得40 + 3x>120! _ 110x>120解得原不等式组的解集为 x>30 .答：一年中进入该园林至少超过30次时，购买

27、A类年票比较合算.4、在各方努力下，“读书节”活动轰轰烈烈地开展着，为了让学生们进一步养成读书的好习惯，该校决心打造“书香校园”，计划用不超过 1900本科技类书籍和不超过 1620本人文类书籍组建中、小型两类图书 角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技 类书籍30本，人文类书籍 60本.（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是500元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？分析：一个中型图书x个中型图书角需一个小型图书角需（30-x）个小型图书角需共需书籍科技类（本）人文类（本）解：（1）设组建中型图书角 x个，则组建小型图书角为（30-x）个.80x 30 30 -x < 1900由题意，得«50x 60 30 -x 三 1620解这个不等式组，得18<x<20由于x只能取整数，. x的取值是18, 19, 20.当 x=18 时，30-x=12 ;当 x=19 时，30-x=11 ;当 x=20 时，30-x=10 .故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书