函数定义域、值域求法的总结

1、实用标准文案函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y = f(x )中的自变量x的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：(1)分母不为零(2)偶次根式的被开方数非负。(3)对数中的真数部分大于00(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1(5) y=tanx 中 xwkTt+兀 /2 ； y=cotx 中 xwk 九 等等。(6 ) x0 中 x # 0、值域是函数y = f (x )中y的取值范围常用的求值域的方法:(1)直接法(4)配方法(7)分离常数法(2)图象法(数形结合)(5)换元法(包括三角换元)(8)判别式法(3)函数单调性法(6)反函数法(逆求法)(9)复合函数法三、典例解

2、析1、定义域问题(10)不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终例1求下列函数的定义域：11 f(x)=: f(x)=43x+2； f(x)=dx + 1+x-22-x“11 ，一 1 一一解：.x-2=0,即x=2时，分式无意义，x -2而x=2时，分式有意义，这个函数的定义域是x|x#2bx -2 3x+20,即x- 2时，根式 j3x+2无意义,32 而3x +220 ,即x之一时，根式v3x + 2才有意义，32.这个函数的定义域是 x | x -.3当x+1之0且2x#0,即x 2一1且x#2时，根式 Jxi和分式-2 x.这个函数的定义域是x|x2-1且x=

3、2同时有意义,另解：要使函数有意义，必须:例2求下列函数的定义域：x+1 之 0、2 x 0x之-1x#2 f(x)= x -3x - 4x + 1 - 2精彩文档D f (x) =11J1 x f(x)(x 1)0133x 7解：要使函数有意义，必须：4 -x2 -1即：- .3 三 x 0x +1 2 0二 x-3或-3 ： x _ _1或 x _ 4定义域为： x| x ：二-3或-3 ：二 x _-1或x _4x # 0要使函数有意义，必须:110 二x1 01 xx : 0* x 11x黄2.函数的定义域为：x|x-R且x=0,-1-2要使函数有意义，必须:x+1 =0 |x -x#

4、0 定义域为：1x| x ：二 -1或-1 x :二 0：x-2+3 至 0x R要使函数有意义，必须:即 x -3373x + 7#0 ix#W工L 3定义域为：x|x - -7例3 若函数y =：ax2 -ax +1的定义域是 R,求实数a的取值范围1斛：,te义域是 R,1- ax -ax+20恒成乂, a等价于4a24a1、 -1例4右函数y = f (x)的te义域为1,1,求函数y = f (x+ )-f (x-)的定义域* 444_ 5 解：要使函数有意义，必须:-1 x - 141 一-1 _ x - - - 14，1、函数 y u f (x )4，1、一，f (x )的定义域

5、为:4例5已知f(x)的定义域为1, 1,求f(2x 1)的定义域。分析：法则f要求自变量在 1, 1内取值，则法则作用在2x1上必也要求2x1在1,1 内取值，即1W2x101,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考 f(2x 1)中2x1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，.一102x101,解出x的取值 范围就是复合函数的定义域。(注意：f(x)中的x与f(2x 1)中的x不是同一个x,即它们意义不同。)解：f(x)的定义域为1, 1,-12x-11,解之 0&x&1, f(2x 1)的定义域为0 , 1。例6已知已知f(x)的定义域为 1,1,求f(x 2)的定义域

6、 答案：一1&x2&1= x2&1= - 1x1练习：设f(x)的定义域是4，2,求函数f(Jx-2)的定义域.解：要使函数有意义，必须：3E，x2EJ2 得：1EjxE2+J2 &接00 Vx 2 +20ExE6 + 4,函数 f(Jx2)的定域义为：k| 0 x 0时，值域为 y|yi（4ac_b）;当a0时，值域为 4a例1求下列函数的值域 y=3x+2(-1 x 1) f(x)=_Z(1WxE3)3xB1y = x + (记住图像) x解：. -1 x1,-3 3x 3,.-1 3x+2 0,. y = x + =(Nx 亍)+2 之2, x. x, 一1 12_当 x0时，则当x =

7、 b-时，其最小值 愠=(4acb2)；2ay 4a当a0)时或最大值(a0, 故 3+，(2 3x) 3o.函数的值域为3, 二 .2、求函数y =x2 2x +5 , x W 0,5】的值域解：对称轴 x =1 E 0,5 x 1 时，y min 4x = 5寸，ymax = 20二.值域为4,20 例3 求函数y=4x ，1-3x(x 1/3)的值域。解：法一：(单调性法)设f(x)=4x,g(x)=-V 1-3x ,(x 1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x V 1-3x 在定义域为x3)法二：换元法(下题讲)例4 求函数y = x + 2 *；1 x

8、的值域解：(换元法)设 JT=x =t ,则 y = -t2 +2t +1 (t 0)1对称轴t=1w0,f )，且开口向下二当 t =1 时，ymax =2二值域为(-吗2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种 解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=A/x-1 - x的值域。(答案：y|yw3/4例5(选)求函数 y = Vx-3 + V5 -x的值域解：(平方法)函数定义域为：xwb,5y2 =(x -3) (5 -x) 2 , -x28x -15由 xw 3,5，得一x2 +8x15乏 b,1】.

9、y22,4 1原函数值域为U2 ,21例6(选不要求)求函数 y = x+)1 -x2的值域解：(三角换元法) -1 x 1，设 x = cos8 0 0 b,n】y =cos8 +|sin1 =cosa +sinB =V2sin: +) 匚1,亚14.原函数的值域为匚1,421小结：(1)若题目中含有 a 1,则可设3TJa =sin9 ,一二(或设 a =cos9 ,0 0 n)22(2)若题目中含有a2 +b2 = 1则可设a = cos9 ,b = sin 9,其中0 E 8 2n:(3)若题目中含有 Ji x2 ,则可设X=COSH，其中0 E8 Wn(4)若题目中含有 5 +x2

10、,则可设x = tan日，其中一一 日0, y 0, r 0),则可设 x = r cos2 0 , y = JFsin2 日其中丁 0 ,2例7 求y=|x3x+1 的值域4, x -1解法一：（图象法）可化为 y -2x , -1 x3观察得值域y4MyM4-1解法二：（零点法）画数轴利用|a - b|表示实数a,b在数轴上的距离 可得。解法三：(选)(不等式法)同样可得值域: x -3 - x +1 |(x -3) (x +1) =4x 3 x +1 = (x +1) 4 一 x +1 2 x 十1 一 4 一 x +1 = 4练习：y = x +|x+1的值域呢？例8 求函数y=9x3

11、x+2 （xw0,1）的值域解：（换元法）设3x =t ，则1 t 3原函数可化为y =t2 -t+2, 二对称轴t= 1,32，t =1 时，ymin =2 ； t = 3 时，ymax =8 二值域为2,8】1 2例9求函数y = 的值域（1,+如）（三种方法均可）322.斛：（换兀法）令 t = x +2x = （x1） +1 ,则 y由指数函数的单调性知，原函数的值域为i1,代1一 3例10求函数 y =2x （x 0）的值域解：（图象法）如图，值域为（0,1】x -1例11 求函数y =的值域x 2解法一：（逆求法）解出x, x =上空观察得 原函数值域为1 -y解法二：（分离常数法

12、）小结：已知分式函数, x 2 -3由 y = = 1x 2ax b zy = （c =0）,cx d于1 ,可得值域yy#如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为ay 二一 ch adb +- （ad b bc）,用复合函数法来求值域。cx d例12 求函数y =3x的值域3x 1解法一：（逆求法）: 3x =一A00 y 1,原函数的值域为（0,1 ）1 - y2 1, 一 、练习：y=；（ye（-1 , 1）.2x 1X2 -1例13 函数y =的值域x 1解法一：（逆求法）: X2 =上吆之0,-1 y 1

13、1 - y二原函数的值域为1-1,1）解法二：（换元法）设X2+1=t ，则I2t _1 . 0 2 2, -1 Q 0-4（y-1）（y+1） 0= -1y1-1 三 y ： 1综合 1）、2）值域y | 1 Ey 1解法四：（三角换元法）: xw R ，设x=tane日三一土，土 i,则 -1,1)y - -1 tan2 :-cos22二 一二，二1 tan -原函数的值域为 y | 1 M y 1 5例14 求函数y =-2的值域2x -4x 3解法一：(判别式法)化为2yx2 4yx +(3y 5) =01) y =0时，不成立2) y#0时，之0得(4y) -8y(3y -5) -0

14、= 0 y 50 ： y 45综合 1)、2)值域y 0 y W5解法二：（复合函数法） 令2x2 4x +3 =t ,则y = 5tt =2(x -1)2 1 ,10 y 5所以，值域y 00y 3m y 0时，x十一至2二y至3 x、11-2） x0时，x+= -|（-x） + -2 , y -1）的值域x 1解法一:（判别式法）原式可化为 x2 + （2 y）x +2 y = 0: 之0 二（2 y）2 -4（2 -y） 0 = y 之2 或y W 2丁 x 1 二 y 2 （V x -1） x+1x+1当且仅当x =0时取等号，故值域为 2 ,）2x 2x 2 ,例17 （选）求函数y

15、 = (-2 M x M 2)的值域x 1解：（换元法）令x+1=t，则原函数可化为1 ，y = t (-1 St S 3)tax2 bx c小结：已知分式函数y=x （a2+d2 *0）,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条dx2 ex f件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）y=qy 一次式（或y=K）的形式，米用部分分式法进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条彳%转化为利用函数y=x+a (x#0)的单调性去解。x练习：,211、 y =x + +9(x 丰 0);x211、2解：. x#0, y =x2+9 =(x-)2

16、+11 , .-.y11.xx1另外，此题利用基本不等式解更简捷：丫=*2+=+9之2+9=11(或利用对勾函数图像法)x252、y 22x - 4x 30y 三5.3、求函数的值域 y = x + J2 x ； y = 2 _j4x_x2解：令 u =72 -x 之 0,则 x=2u2,原式可化为 y = 2 -u2 , u = -(u -1)2 -, 24u 0,，y M9, .函数的值域是(-，9. 44解：令t=4x x2之0得0 x 4在此区间内(4x -x2) max=4, (4x -x2) min =0函数 y=2V4xx2 的值域是 y| 0 EyE24、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.-2x 1(x 二-1)解法1：将函数化为分段函数形式：y = 3(-1gx2)y|y -3.解法2： .函数y=|x+1|+|x-2| 表示数轴上的动点 x到两定点-1, 2的距离之和，易见 y的最小值是3, 函数的 值域是3 , +. 如图-一oddd 口日 方心上k x -1 O 12-1 ex 12-1 O 12x5、求函数y =2x +41 -x的值域解：设 t =J1 _x 贝U t 0 x=1 -t2代入得 y = f (t) =2 (1 -t2) 4t = -2t24t 2 = -2(t -1)2 4t 之0y