典型极坐标参数方程练习题带答案

1、极坐标参数方程练习题1.在直角坐标系xOy中，直线Ci： x= 2,圆C2： (x 1)2+(y 2)2=1,以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求Ci, C2的极坐标方程；，-，一 、一I ,九, ,(2)若直线C3的极坐标万程为 仁(P R),设C2与C3的父点为M, N,求4C2MN的 面积.解：(1)因为x=pcos 9,y=psin9,所以Ci的极坐标方程为pcos 8= -2,C2 的极坐标方程为 -2 pcos 9- 4 psin 9+ 4 = 0.(2)将 仁 4 代入 -2 pcos 9- 4 psin 9+ 4 = 0,得 p-3/2p+4 = 0,解得 0

2、 = 2 a,p2=m.故 pi 化=也，即 |MN|=V2.i由于C2的半径为I,所以4C2MN的面积为2.4. (20I4辽宁，23, I0分，中)将圆x2 + y2=i上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C.(I)写出C的参数方程；(2)设直线l: 2x+y 2 = 0与C的交点为Pi, P2,以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，求过线段 PiP2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.x=xi,解：(i)设(xi, yi)为圆上的点，经变换为C上点(x, y),依题意，得iy=2yi,由 x2 + y2= I 得 x2+ 2f= i.2即曲线C的方程为x2

3、+=i.x= cos t,故C的参数方程为(t为参数).y= 2sin t2,x2+yr = i,x= i,x=。，(2)由 4 解得j 或(2x+ y-2=0y=0y=2.一，、1，1不妨设Pl(1, 0), P2(0, 2),则线段P1P2的中点坐标为5，1人所求直线斜率为k=, 于是所求直线方程为y- 1 = 2 x-2 .化为极坐标方程，并整理得2 pcos 04 向in 8= 3,即3.4sin 0 2cos 0(2)(2015吉林长春二模，23, 10分)在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(cos18 "3，= 1，M，

4、N分别为曲线C与x 轴，y轴的交点.写出曲线C的直角坐标方程，并求 M, N的极坐标；设M, N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】将2sos28=sin晒边同乘以p,彳4 2( pcos 8)2= psin 8,化为直角坐标方程为2x2 = y,C2: pcos 8= 1化为直角坐标方程为x=1,x= 1,联立可解得1卜=2,所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1, 2). / (2) 20s 3=1， pcos 0cos3+ psin 0sin=1.x= pcos 0,又iy=厮e,1 , 3.2x+ 2 y=1,即曲线C的直角坐标方程为x+gy 2 = 0. 令 y= 0,则 x

5、=2;令 x= 0,则 y=V. M(2, 0), NO,喇. M的极坐标为（2, 0）, N的极坐标为 自7tM, N连线的中点P的直角坐标为1,-2)33f冗P的极角为8= 6.直线OP的极坐标方程为 仁g（ pC R） .注：极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】解答题（1）的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题（2）先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标.'x= 4+ 5cost,（2013课标I , 23, 10分）已知曲线Ci的参数方程为3（t为参数），以坐、y= 5+5sint标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 0 .（1

6、）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（p>0, 008<2兀）.x=4+5cos t,【解析】（1）将，消去参数t,化为普通方程为（x-4）2+（y-5）2 = 25,y=5+5sin t即 C1： x2+y2 8x 10y+16= 0.x= pcos 0,将代入 x2+y28x10y+ 16 = 0,得y= psin 02p 8 pcos 0 10 psin 0+ 16 0.所以C1的极坐标方程为p2- 8 pcos 9- 10份in 9+ 16=0.（2）C2的普通方程为x2+y2 2y= 0.fx2 + y2-8x-10y+16=0,联立C1, C

7、2的方程彳22x= 1,x= 0,解得 或y=1y=2.-. 万万所以C1与C2交点的极坐标分别为 W，4 , 2, 2 .【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 Ci: x2+y2 = 4,圆 C2: (x 2)2+y2 =4.(1)在以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆Ci, C2的极坐标方程，并求出圆Ci, C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆Ci与C2的公共弦的参数方程.'x= fCOS 0,解：(1

8、)由dy= Sin 0,知圆Ci的极坐标方程为 -2,圆C2的极坐标方程为 -4cos & 1x2+y2= 2P= 2，兀解彳得P= 2, 8=与，3=4cos 0f 故圆Ci与圆C2的父点坐标为2 ，2 e 3)e注：极坐标系下点的表示不唯一.x= pcos 0,_(2)方法一：由i得圆Ci与C2交点的直角坐标分别为(1, 瓜 (1, -V3).、=仿in 0x= 1,故圆Ci与C2的公共弦的参数方程为s(-3<t<V3).y=tx= 1,或参数方程写成-V3<y<V3<y= y,)x= pcos 0,方法二：将x=1代入j y= psin 仇得(cos

9、 8= 1,从而一"一. cos 0于是圆Ci与C2的公共弦的参数方程为y= tan 0x=2+坐 t, 参数方程为i i"=2+¥5. (2015河北邯郸二模，23, 10分)已知圆C的极坐标方程为 -2cos 9 ,直线l的(t为参数)，点A的极坐标为 将 4，设直线l与圆C交于点P,Q.(1)写出圆C的直角坐标方程；(2)求 |AP| |AQ|的值.解：(1)因为圆C的极坐标方程为 尸2cos 0,2所以 p = 2 pcos 0,将其转化成直角坐标方程为x2+ y2 = 2x,即(x-1)2+y2=1.(2)由点A的极坐标 号,43直角坐标为A。，2)1

10、路(x-1)2+y2=1,x= 2 + 手，将直线l的参数方程(t为参数)代入圆C的直角坐标方程1 1y= 2+2t得t2-他1t-2=0.设t1 , t2为方程t2511 一，一人-12 t2=0 的两个根，则 t1t2= - 2,1 所以 |AP| |AQ| = |t1t2| = 2.2. (2015课标H, 23, 10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线C1：fx = tcos a , (t、y=tsin a ,为参数，3 0),其中0& a九.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：- 2sin 0 , C3： p= 2M3cos 0 .求C2与C3交点的直角坐标

11、；(2)若C1与C2相交于点A, Ci与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2 + y22y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2 2根=0.x2+y2 2y= 0,联乂 ?2+y2 2小x=0,3 y= 2.x= 0, 解得 或y=0所以C2与C3交点的直角坐标为(0, 0)和怛 3j(2)曲线Ci的极坐标方程为 上pC R, pw 0),其中00依冗.因此A的极坐标为(2sin a, a), B的极坐标为(2#cos a, o).所以 |AB|=|2sin a 273cos a|=4 sin5当a= "6"时，AB|取得最大值，最大

12、值为4. c 1x=3 + 2t,3. (2015陕西，23, 10分，易)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3 由(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，OC的极坐标方程为p= 273sin 0 .(1)写出。C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由尸2V3sin 9,得p2=25 psin 9,从而有 x2+y2 = 243y,所以 x2+(y用)2=3.(2)设 P?+ 2t,呼t i 又 C(0, V3),则 |PC| = q3+k+ 明 _V3: = M2+12,故当t = 0时，|PC|取得最小值，此

13、时，P点的直角坐标为(3, 0).5. (2014课标H, 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程为p= 2cos 8, 9 .|0, -2-1(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l: y = V3x+ 2垂直，根据中你得到的 参数方程，确定D的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x- 1)2+y2=1(0<y<1).x= 1 + cos t,可得C的参数方程为(t为参数，0&t0九).y= sin t(2)设D(1 + cos t, sin t).由知C是以G(1, 0)为圆

14、心，1为半径的上半圆.因为 C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t=<3, t= 3故D的直角坐标为j + cos "3, sin3/即岑)r 八 .x= 2cos t .7. (2013课标H , 23, 10分，中)已知动点P, Q都在曲线C:(t为参数)2sin t上，对应参数分别为t= a与1=240<0<2兀)，M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有 P(2cos a, 2sin a), Q(2cos 2a, 2sin 28,因止匕

15、M(cos a+ cos 2a, sin a+ sin 2a).M的轨迹的参数方程为X= cos a+ cos 2 a,S（a为参数，0<产2兀）.y= sin a+ sin 2 a（2）M点到坐标原点的距离d = x2 + y2 = Z2+2cosH<0< a<2 兀）.当a=Tt时，d = 0,故M的轨迹过坐标原点.(2014课标I, 23, 10分)已知曲线C: W = 1.直线l： 4 9'x= 2 + t,)=2一公a为参数V（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线, 最小值.交l于点A

16、,求|PA|的最大值与【思路导引】（1）由基本关系式可消参求出普通方程；（2）把|PA|用参数8来表示，从而求其最值.x=2cos 0,【解析】（1）曲线C的参数方程为1（ 8为参数）.y=3sin 0直线l的普通方程为2x+ y 6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos 9, 3sin 8)到l的距离为5. 一d= 5 |4cos 0+ 3sin 0- 6|._ d则 |PA|=sin 3002 5-7|5sin(9+ a)-6|,其中 a为锐角，且 tan54 a= 3.当sin（ 9+ c） = 1时，|PA|取得最大值，最大值为225.52.5当sin（叶。=1时，|PA|取得最小值

17、，最小值为，55（2013辽宁，23, 10分）在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立 极坐标系.圆Ci,直线C2的极坐标方程分别为P= 4sin 0 , p cos18 -4 = 2V2.求Ci与C2交点的极坐标；(2)设P为Ci的圆心，Q为Ci与C2交点连线的中点，已知直线 PQ的参数方程为 x=t3 + a,jy_bt3+1 (任R为参数)，求a, b的值.【解析】(1)圆Ci的直角坐标方程为x2+(y2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y4 = 0.x2+ (y 2) 2=4,xi=0, x2=2,解f得S Sx + y 4=0yi = 4, )2=2.一、一，九”

18、L G所以Ci与C2交点的极坐标为4, - , 272, 4.注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(i)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0, 2), (i, 3).故直线PQ的直角坐标 方程为x y+ 2=0.bb ab由参数万程可得 y= 2(x a) + i=2x1+i,b /2=,2,所以 K ab .J2+1 =解得 a= i, b=2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参 数方程化为普通方程求解问题.x=2C0S a ,20ii课标全国，23, i0分)在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为、y=2 + 2sin a(a为参数)，M是Ci

19、上的动点，P点满足OP = 2OM, P点的轨迹为曲线C2.求C2的方程；(2)在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与Ci的异于极点的3交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB|.解：(1)设 P(x, y),则由条件知M(|, 2.Xc2=2cos a,由于M点在Ci上，所以1y=2 + 2sin a,2fX = 4C0S a,即“y=4 + 4sin a.X=4C0S a,从而C2的参数方程为S(a为参数).y=4 + 4sin a(2)Ci化为普通方程为x2+(y 2)2 = 4,故曲线Ci的极坐标方程为得曲线C2的极坐标方程为p= 8sin 9.冗射线8= 3与Ci的交点A的极径为pi = 4sin§ = 2、；3,冗射线8= 3与C2的交点B的极径为p2= 8sin3 = 4 , 3.所以 |AB|=| p pi|=2>/3.5. (20i4辽宁锦州一模，23, i0分)已知圆的极坐标方程为p=0.(i)将极坐标方程化为普通方程；-4sin 0,同理可4g sos(9-4) + 6(2)若点P(x, y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.解：(i)原方程变形为 p-4pco