计数原理综合习题有答案

1、选修2-3第一章计数原理单元质量检测时间：120钟总分：150分第I卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若 他至少买一张，则不同的买法一共有（）A. 7种 B. 8种 C. 6种D. 9种2 .设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代 表班级参加比赛，则不同的选法种数是（）A. 360B. 480 C. 720 D. 2403 .设 P=1 + 5（x+ 1）+10（x+ 1）2+10（x+1）3+5（x+1）4+（x+1）5,则 P 等于（）A. x5B. （x+2）5C. （x-1）5

2、D. （x+1）54 .一 2yf的展开式中x2y3的系数是（）A. -20 B. -5C. 5D. 205. 20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要 求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有（）A. c50种B. C50种C. C：Oc2种D. C5025种6.在（1 x）n=a0+ a1x+a2x2 + anxn 中，若 2a2+Oi-5=0,则 n 的 值是（）A. 7 B. 8 C. 9D. 107 . 7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两 边的排法共有（）A. 120种B. 240种C. 48 种D. 24 种8 .(42+3/3)

3、100的展开式中，无理项的个数是()A. 83B. 84 C. 85D. 869 .某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类 节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A. 72 B. 120 C. 144 D. 16810. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A. 144 B. 120 C. 72 D. 2411 .在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m, n),则f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3) = ()A. 45 B. 60 C. 120D. 21012 .设m为正整数，(x+

4、y)2m展开式的二项式系数的最大值为 a, (x + y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b.若13a=7b,则m=()A. 5B. 6C. 7D. 8第n卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13 .某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从 中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有f中(用数字作答).14 .(五+a)6的展开式中含x2项的系数为60,则实数a =15 .在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将 这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 f中(用 数字作答).16 .设a?0, n是大于1的自然数，

5、1+xn的展开式为a0+ a1x+ < aa2X2+ anxn.若点Ai(i,ai)(i = 0,1,2)的位置如图所示,则a =4,*A23°,L"。! ji 40 12工三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70分)17 . (10分)4位学生与2位教师坐在一起合影留念，根据下列条 件，求各有多少种不同的坐法：(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻.18 . (12分)从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使 它的和大于100,则不同的取法有多少种？19 .(12 分)已知 %VX

6、i+J), i 是虚数单位，x>0, n6N+.x(1)如果展开式的倒数第三项的系数是180,求n的值；(2)对(1)中的n,求展开式中的系数为正实数的项.20 .(12分)若力一甘的展开式中含x的项为第6项，设(1 3x)n= x. ,ao+ ax+ a2x2 + + anxn，求 a1 + a2+ + an 的值.21 .(12分)已知(a2+ 1)n的展开式中的各项系数之和等于 保x2+jx)5的展开式的常数项，而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于 54,求 a的值.22.(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)可组成多少个无重复数字的自然数？(2)可组成多少个无

7、重复数字的四位偶数？(3)组成无重复数字的四位数中比4 023大的数有多少?答案1. C 要完成“至少买一张IC电话卡”这件事，可分三类：第 一类是买1张IC卡;第二类是买2张IC卡;第三类是买3张IC卡.而 每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事.买1张IC卡 有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有1种方法.不 同的买法共有2+3+1=6(种).2. C 由分步乘法计数原理，得 N=30X 24= 720(种).3. B P=1+(x+ 1)5= (x+2)5,故选 B.114. A 由已知，得 + 1 = C5击Fr(_2y)r=C5115 r ( 2)rx5ryr(

8、0<r<5, r6Z),令 r = 3,得 T4=C5 2( 2)3x2y3 = - 20x2y3.故选A.5. D 分两步：第一步先从10个格子中选中5个格子，有C50种 方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有 2X2X2X2X2 =25(种).由分步乘法计数原理共有 C5025种不同的拿法.6. B Tr+1 = C；(1)rxr,则 a2=C2, an 5=(T)nm 5,因为 2a2 + an 5=0, a2>0,所以an 5=一所以2c2=C5且n为偶数，将各 选项代入验证知n = 8,故选B.7. C由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有 2种排法， 再

9、排其他4人，有A4种不同的排法，故不同的排法总数为a4 2=48(种).8. B 先求展开式中的有理项.Tr i = cloo(/2)100 r(/3)r=Cioo 2 233, .要使展开式中的项为有理项，r必为6的倍数.又 0<r< 100,且 r 6 N,.r的取值为0,6,12,，96,它构成了以0为首项，6为公差， 96为末项的等差数列，设它有 n项，则96= 6(n-1). n=17. 展开式中共有101项，其中有17项是有理项， 无理项有84项.9. B解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类 A3,然 后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有

10、 A3 2A3= 72.第二类也分两步，先排歌舞类A3,然后将剩余3个节目放 入中间两空排法有C2A2A2,故不同的排法有A3A2A2c2 = 48,故共有 120种不同排法，故选B.10. D 插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可.故排法种数为 A3=24.故选D.11. C因为(1+x)6展开式的通项公式为Tr+1 = C6xr, (1 + y)4展开 式的通项公式为Th+1 = C4yh,所以(1 + x)6(1+y)4展开式的通项可以为 C6c4xryh.所以 f(m, n)=cmcn.所以 f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3)

11、= c3+ c2c1 + c6c2 + C4 = 20 +60+36+ 4=120.故选 C.12. B 由题意可知，a = Cmm, b = CSn+1,又因为13a=7"所以13居m!7-（2m+ 1 ；!,m! （m+ 1）!一 13 2m + 1即钎，.解得m=6.故选B.13. 30（1）A类选修课选1门，B类（2）A类选修课选2门，B类选解析：方法1：可分以下两种情况: 选修课选2门,有C3c4种不同的选法； 修课选1门，有c3c4种不同的选法.所以不同的选法共有c1c2+c2c4= 18+ 12= 30（种）.方法 2： c7 c3 c3=30（种）.14. i2解析：

12、通项 T= C6（也）6 rar = arC6x3 2,. r令3 厂2,得r=2.故a2c6=60,解得a=气.15. 60解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一 张奖券，共有C3A4 =36（种）；二是有三人各获得一张奖券，共有 A3= 24（种）.因此不同的获奖情况有36 + 24 = 60（种）.16.3解析：由题意得a1 = ：cn =，=3,所以n = 3a; a a1八2 n n12 c 2a?= 2Cn= g 2 =4,所以 n n = 8a . a 2a将 n = 3a 代入 n2 n = 8a2 得 9a2 3a= 8a2,即a2- 3a=0,解得a=3或

13、a= 0（舍去）.所以a=3.17 .解：（1）分步完成：教师先坐中间，有 A2种方法，学生再坐其 余位置，有a4种方法.根据分步乘法计数原理，不同的坐法共有 A2 A4 = 48（种）.（2）将 2名教师看作一个元素，问题变为5个元素排列的问题先将教师排好，有A3 A2种方法，再排学生，有A4种方法，故不 同的坐法共有A3A2A4= 144（种）.（3）插空法：先排学生，有 A4种方法，教师从4名学生之间的3 个空位选2个进行排列，有A2种方法，故不同的坐法共有 A4 A2= 144（种 ）18 .解：若从 1,2,3,，97,98,99,100中取出 1,有 1 + 100>100,

14、有 1 种取法；若取出2，有2 100>100,2 99>100，有2种取法；取出3,有3种取法；若取出 50,有 50+ 51>100,50+ 52>100,，50+100>100,有 50 种取法；所以取出数字1至50,共有不同的取法N1 = 1+2+3+ - +50=1 275（种 ）若取出 51,有 51 + 52>100,51+53>100,，51 + 100>100,有 49 种取法；若取出52,则有48种取法；若取出99,只有1种取法.所以取出数字51至100（2中取过的不再取），有不同取法 冲=49 + 48+ 2+ 1 = 1

15、225（种）.故总的取法共有 N=N1+N2=2 500（种）.19 .解：（1）由已知，得 Cn 2（2i）2=- 180,即 4C2=180,化简得 n2n 90=0,又 n6N+,解得 n= 10.i2dxi + )0展开式的通项为 xTr+1 = Cl0(26i)10 rx 2r = Cl0(2i)10 rx10 2 5r,;展开式中的系数为正实数，且r 6 0,1,2 ,，10,.r的取值为10,6,2,故所求的项为Tii = x 20, 丁7 = 3 360x 10, 丁3= 11 520.20.解：丁6=/仪2)"X=C5x2n 15,令 2n15=1,贝U n=8,令 x=1,贝U a0 +a1 + + an= (-2)8 = 256,令 x = 0,则 a0= 1,所以 aI + a2 + an=255.21.解： 俗2+t）的展开式的通项是令 20 5r=0,解得 r = 4,故常数项T5 = C4x£=16,又（a2+ 1）n的展开式的各项系数之和等于 2n,由题意得2n=16,解得n=4,由二项式系数的性质可知，（a2+ 1）4的展开式中系数最大的项是中 间项，即第三项，由 C4a4=54,解得 a= &#