线性的代数应用实例

1、实用标准文案线性代数应用实例ti0123f(ti)30-162. 3p(t) = a0+&t + a2t +a3t ,求插值多项式右表给出函数f (t)上4个点的值，试求三次插值多项式并求f (1.5)的近似值。表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：a0=3a。+ a1 + a2 +a3 = 0Z0 +2a +4a2 + 8a3 =-1、a0 +3a1 +9a2 +27a3 =6对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入:>>A=1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27, b=3;0;-1;6, s=rref(A,b) 得到 x =1

2、0 0 0 30100-20010-200011解：令三次多项式函数p(t) = % + a1t + a2t2 + a3t3过得到 a0=3,a1=2,a2=2,a3=1 ,三次多项函数为p(t) = 3 2t 2t2+t3,故 f(1.5)近似等于 p(1.5)=32(1.5)2(1.5)2 +(1.5)3 = 1.125。在一般情况下，当给出函数f(t)在n+1个点t(i =1,2J|,n+1)上的值f(t)时，就可以用n次多项式p(t) =a0+a1t+a2t2+ |”+antn对f (t)进行插值。在数字信号处理中的应用-数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。

3、它的特点在于所有的相加节点都 限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线图1某数字滤波器结构图y性算子，它的标注符号为z,。根据这样的结 构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处 理中称为系统函数。图1表示了某个数字滤波器的结构图， 现在要求出它的系统函数，即输出 y与输入 u之比。先在它的三个中间节点上标注信号 的名称x1,x2,x3,以便对每个节点列写方程。精彩文档由于迟延算子z-不是数，要用符号代替，所以取q= z-,按照图示情况，可以写出xi =qx2，2uX2X3 =X1写成矩阵形式为11X2 =-00J经过移

4、项后，系统函数现在可以列写计算系统函数的syms qQ(1,2)=q; Q(2,3)=3/8*qQ(3,3)=0;P=2;1/4;0W=inv(eye(3)-Q)*P程序运行的结果为W可以写成：W = x/u = inv(I - Q)* PMATLAB 程序 ea705,%规定符号变量/4; Q(3,1)=1;%给非零元素赋值%给右下角元素Q (3,3 )赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零%给P赋值%用信号流图求传递函数的公式W = 16/( 8 3*qA2 2*q) 2*q/( 8 3*qA2 -2*q)2*(3*q 2)/(8 3*qA2 -2*q) -2/( -8 3*q，2 -2*q)

5、16/(8 3*qA2 -2*q) -2*q/( -8 3*q-2 -2*q)我们关心的是以y=x3作为输出的系统函数，故再键入pretty(W(3)整理后得到W(3)式=T”2qu-8 3q。2qq 8_ z8-1.5q2 q 4 -1.5z/ z，4用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。信号与系统课程中的应用-线性时不变系统的零输入响应描述n阶线性时不变(LTI )连续系统的微分方程为a1?+a2 dy+andy+an+y=b1W+'"+bm'du+bm +u,n>mdtndtdtdtmdt已知y及其各阶导数的初始值为y(0), y

6、(1)(0),，y(n-1)(0),求系统的零输入响应。解：当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解(即令微分方程等号右端为0),其形式为(设特征根均为单根)y(t) =C1eP1tC2ep2t -，Cnepnt其中Pi, P2,，pn是特征方程 aiKn+a2?J 1+ an九 + an+i =0的根，它们可用 roots(a)语句求得。各系数 Ci,，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有Ci+ C2+ +Cn = yoyo = y(0)PiCi+ P2C2+ + PnCn=Dyo(Dyo表示 y 的导数的初始值 y(i)(0)n 1八n 1八pi Ci +p2。士一十

7、一 1nc pn C n1r n=Dy o1写成矩阵形式为pi3p2m pn+ .anpin 1 p2n A pn即 V C = Yo , 其解为 C =V 丫01Pn式中 C =CiC,llLCnT； Yo =y0,Dyo,HI,DnyoT11PlP2aan-1P2V为范德蒙矩阵，在 MATLAB的特殊矩阵库中有vander函数可直接生成。MATLAB 程序 ea703.ma=input(' 输入分母系数向量 a=a1 , a2 ,.=');n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量 Y0=y0 , Dy0 , D2y0 ,.=');p=

8、roots(a);V=rot90(vander(p);c= VY0'dt=input('dt='); tf=input('tf=')t=0:dt:tf; y=zeros(1, length(t);for k=1:n y= y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t , y) , grid 程序运行结果用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=3 , 5, 7, 1;dt=0.2; tf=8;而Y0取1 , 0, 0;0,1 , 0;0, 0, 1三种情况，用 hold on语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。减肥配方的

9、实现设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每 天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。营界每100g食物所含营界（g）减肥所要求的 每日营养量脱脂牛奶大豆向粉乳清蛋白质36511333碳水化合物52347445脂肪071.13设脱脂牛奶的用量为 Xi个单位（100g）,大豆面粉的用量为 X2个单位（100g）,乳清的 用量为x3个单位（100g）,表中的三个营养成分列向量为：51彳3 134,ai= 741J1 一则它们的组合所具有的营养为xaix

10、?a2X3a3 =为-51113 134、747 一1 J1 一X2使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程:365113X133523474x2= 453 Ax =b“ 7派.3用MATLAB解这个问题非常方便，列出程序 ag763如下:A=36,51,13;52,34,74;0,7,1.1b=33;45;3x=Ab程序执行的结果为：0.2772x= 0.3919 0.2332 _即脱脂牛奶的用量为27.7g,大豆面粉的用量为 39.2g,乳清的用量为23.3g,就能保证所需的综合营养量。人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁

11、徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？ 30年、50年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即其中xc为市区人口所占比例， Xs为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始状态:一年以后，市区人口为Xci= (1-0.02) Xc0+0.06xs0,郊区人口 Xsi= 0.02XC0+ (1-0.06)Xs0,用=Ax0 =0.2960! 0.7040矩阵乘法来描述，可写成：xci = 0.94 0.020.31M.lt

12、o.06 0.98IIO.7此关系可以从初始时间到k年，扩展为xk = Axkj = Axk2 =| = Akx0，用下列MATLAB程序进行计算：A=0.94,0.02;0.06Q98x0=0.3;0.7 x1=A*x0, x10=AA10*x0 x30=AA30*x0 x50=AA50*x0 程序运行的结果为：0.2541, x30 一 1 0.7459-0.2508, x§0 I,1 0.749210.29600.2717xl = |, x10 = |1 0.7040 一 I 0.7283一无限增加时间k,市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过

13、程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到 乘以矩阵A的效果。选u1为稳态向量0.25,0.75T的任意一个倍数，令u尸1,3T和u2=-1,1T。 可以看到，用 A乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角(方向) ：Au1 =0.94I 0.060.020.98 330.94Au2 二 |0.060.020.98U1=0.92U2初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合;x0 =0.30!。.70.1 = 0.253=0.25u1 - 0.05u2因此xk =Ak% =0.25d1 -0.05(0.82)%2式中的第二项会随着k的增大

14、趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要 k>27,这第二项就可以忽略不计而得到xk kpk二 A x0=0.25u10.250.75适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现， 使得问题简单化。这也是方阵求特征值的基本思想。这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。所得到的向量序列X1,X2,.,Xk称为马尔可夫链。马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态 Xk完全可由其前一个时刻的状态Xk-1所决定，与k-1时刻之前的系统状态无关。交通流的分析某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点 A,B,C,D的十字路口如图6.5.2所示。在交通繁忙时段的汽车从外

15、部进出此十字路口的流量(每小时的车流数)标于图上。现要 求计算每两个节点之间路段上的交通流量Xl,x 2,x 3,x 4。解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程：节点 A: x i+450= X2+610节点 B: x 2+520= X3+480节点 C: x 3+390= x4+600节点 D: x 4+640= x2+310U0=rref(A,b),可以得出其精简行阶梯形式将这组方程进行整理，写成矩阵形式：xi -x2= 160x2 -x3= - 40x3 - x4 = 210-x1x4 = -3301-1：160 11-1；40A,b =1-1： 21011

16、 ： -330 1用消元法求其行阶梯形式，或者直接调用其系数增广矩阵为：一 10为U0= 0一 000 -1 ： 33010-1：17001-1：210000：0注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量x1,x 2,x 3,x 4的系数，第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程， 其结果为：x1=x4+330,x2=x4+170,x3=x4+2100=0由于最后一行变为全零，这个精简行阶梯形式只有三行有效，也就是说四个方程中有一个是相依的，实际上只有三个有效方程。方程数比未知数的数目少，即没有给出足够的 信息来唯一地确定 *1展2不3，和x

17、4o其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离 开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输x4被称为自由变量，实际上它的取值也x1,x 2,x 3,和x4。都不能取负值。x1,x 2,x 3，和x4中，再检测一个变量。出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。所以 不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，所以要准确了解这里的交通流情况，还应该在价格平衡模型在Leontiff成为诺贝尔奖金获得者的历史中，线性代数曾起过重要的作用，我们来看看他的基本思路。假定一个国家或区域的经济可以分解为n个部门，这些部门都有生产产品或服务的独立功能。设单列n元向量x是

18、这些n个部门的产出，组成在 Rn空间的产出向量。先假定该社会是自给自足的经济，这是一个最简单的情况。因此各经济部门生产出的 产品，完全被自己部门和其它部门所消费。Leontiff提出的第一个问题是，各生产部门的实际产出的价格p应该是多少，才能使各部门的收入和消耗相等，以维持持续的生产。Leontiff的输入输出模型中的一个基本假定是：对于每个部门，存在着一个在Rn空间单位消耗列向量它表示第i个部门每产出一个单位(比如100万美金)产品，由本部门和其他各个部门消耗的百分比。在自给自足的经济中，这些列向量中所有元素的总和应该 为1。把这n个片，并列起来，它可以构成一个nx n的系数矩阵，可称为内部

19、需求矩阵 V。举一个最简单的例子，假如一个自给自足的经济体由三个部门组成，它们是煤炭业、电力业和钢铁业。它们的单位消耗列向量和销售收入列向量p如下表：由卜列部 门购买每单位输出的消耗分配销售价格p (收入)煤炭业电力业钢铁业煤炭业0.0.40.6Pc电力业0.60.10.2pe钢铁业0.40.50.2Ps如果电力业产出了 100个单位的产品，有40个单位会被煤炭业消耗，10个单位被自己消耗，而被钢铁业消耗的是 50个单位，各行业付出的费用为：这就是内部消耗的计算方法，把几个部门都算上，可以写出各部门消耗成本=PcvcPeveFl+ Psvs = vc，ve，vs |Pe =销售收入 .Ps _

20、l-pciPe'.Ps.10.0.40.6其中V = lvc,ve,vs 】=0.6 0.1 0.20.4 0.5 0.2_于是总的价格平衡方程可以写成为：p - Vp = 0(I - V ) p =0此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有非零解的条件是系数行列式等于 零，或者用行阶梯简化来求解。用MATLAB 语句写出其解的表示式：V=0.,0.4,0.6；0.6,0O,0.2;0.4,0.5,0.2,U0 = rref(eye(3)-V,zeros(3,1)程序运行的结果为1.00000 -0.9394U 0 =01.0000 -0.8485000这个结果是合理的， 简化行阶梯形式只有两行，说明I-V的秩是2,所以它的行列式必定为零。由于现在有三个变量，只有两个方程，必定有一个变量可以作为自由变量。记住U0矩阵中各列的意义，它们分别是原方程中pc, Pe, Ps,的系数，所以简化行阶梯矩阵U0表示的是下列方程：Pc - 0.9394 PsPe -