数列知识点大全及经典测试题1

1、数列知识点回顾第一部分：数列的基本概念1.理解数列定义的四个要点数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序：而不强调有“规律:因此，如果组 成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列.在数列中同一个数可以重复出现.项an与项数n是两个根本不同的概念.数列可以看作一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列.2.数列的通项公式一个数列 an的第n项an与项数n之间的函数关系，如果用一个公式 an=f（n）来表示，就把这 个公式叫做数列 a。的通项公式。若给出数列 a。的通项公式，则这个数列是已知的。若数列 an

2、 'S .n =1 的刖n项和记为Sn ,贝U Sn与an的关系是：Hn =，。Sn -SnU. n>2第二部分：等差数列1 .等差数列定义的几个特点：公差是从第一项起，每一项减去它前一项的差 （同一常数），即d = an an _i （nW）或d = an +1 an （nW N +）.要证明一个数列是等差数列，必须对任意nW N +, an an二d （n或）或d = an+an都成立.一 般采用的形式为：当nW时，有an an 口 = d （d为常数）.当n= N叫，有an 41 -an = d （d为常数）.当nW时，有an由一an = an an _1成立.若判断数列

3、an不是等差数列，只需有a3 a2为2 ai即可.2 .等差中项若a、A、b成等差数列，即A=a2,则A是a与b的等差中项；若A=亘2 ,则a、A、b成等22差数列，故A=a）是a、A、b成等差数列，的充要条件。由于 an = an+an，所以，等差数列的 22每一项都是它前一项与后一项的等差中项。3 .等差数列的基本性质公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d.公差为d的等差数列，各项同乘以常数 k所得数列仍是等差数列，其公差为 kd.若 an、 bn为等差数列，则 a n ibn与ka n + b（k、b为非零常数）也是等差数列.对任何m、nw N十，在等差数列

4、an中有：an= am+ （n m）d,特别地，当m = 1时，使得等差 数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性.、一般地，如果l, k, p,，m, n, r,皆为自然数，且l + k + p +=m + n + r +（两 边的自然数个数相等）,那么当an为等差数列时，有：ai + ak + ap+=am+ an + ap+.公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差 为kd（ k为取出项数之差）.如果 a。是等差数列，公差为d,那么，a。，a。，a2、ai也是等差数列，其公差为一d； 在等差数列 an中，am +i ai = am 4

5、k -ak = md .（其中 m、k、l e N +）在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项.当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当 d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d = 0时，等差数列中的数等于一个常数.l 一 m设ai, am, an为等差数列中的二项，且ai与am , am与an的项距差之比二九（九w1）,m - n则amal an4等差数列前n项和公式幻丁与2+吗%的比较前n项和公式公式适用范围相同点cn(ai +an)Sn=2用于已知等差数列的首项和末项都是等差数列的前n项和公式Sn = nai + n(

6、nd 2用于已知等差数列的首项和公差5.等差数列前n项和公式Sn的基本性质数列 a。为等差数列的充要条件是：数列 a。的前n项和Sn可以写成Sn= an2 + bn的形式（其 中a、b为常数）.在等差数列 an中，当项数为2n （n*）时，S偶一$奇=nd,'= -a-；当项数为（2n1）S 偶 an+iS奇n（n= N+）时，S偶一$奇=an, =.S 偶 n - 1若数列 an为等差数列，则Sn, S2n-Sn, S3nS2n,仍然成等差数列，公差为n2d .an 15, r若两个等差数列 an、 bn的前n项和分别是Sn、Tn（n为奇数），则包=".Tn bnj2在等差

7、数列 an中，Sn = a, Sm= b （n>m）,则 Sm十二n一m（a-b）. n 一 m等差数列an中，且是n的一次函数，且点（n,且）均在直线y =-x +d）上.nn22记等差数列an的前n项和为Sn .若ai>0,公差d<0,则当an司且an书或时，Sn最大;若ai<0 ,公差d>0,则当an 0且an+冷时，Sn最小.第三部分：等比数列1 .正确理解等比数列的含义aa»q是指从弟2项起每一项与刖一项的比，顺序不要错，即 q = （nW N+）或q = （n况）.anan _i由定义可知，等比数列的任意一项都不为 0,因而公比q也不为0.要

8、证明一个数列是等比数列，必须对任意 nwN十，电土 = q；或-an- = q （nW）都成立. anan _12 .等比中项与等差中项的主要区别如果G是a与b的等比中项，那么 G =-,即G2= ab, G =±ab .所以，只要两个同号 的数才 a G有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果 A是a与b的等差中项，那么等差中项 A唯一地表示为A=ab,其中，a与b没有同号的限制.在这里，等差中项与等比中项既有数量上的2, ,差异，又有限制条件的不同.3 .等比数列的基本性质公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为qm（ m为

9、等距离的项数之差）.对任何m、nw N +,在等比数列 a。中有：a二am pn5,特别地，当m = 1时，使得等比数 列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性.一般地，如果t , k, p,，m, n, r,皆为自然数，且t + k, p,，m +=m + n + r + （两边的自然数个数相等），那么当a n为等比数列时，有：at . ak . ap .=am . an . ap.若 an是公比为q的等比数列，则| an|、a：、kan、工也是等比数列,其公比分别为 anI q |、q2、q、1. q如果 an是等比数列，公比为q,那么，ai , a3, a5,，a：n_i ,是

10、以q2为公比的等比数 列.如果 an是等比数列，那么对任意在 nW N十，都有an an 42 = a2 q2 >0.两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积.当q> 1且ai >0或0< q< 1且a1 <0时，等比数列为递增数列；当a1 >0且0<q<1或a1 <0且q>1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q<0时，等比数列为摆动数列.4 .等比数列前n项和公式Sn的基本性质na1 ,当 q =1 时，如果数列an是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公

11、式是Sn =a1（i_qn）-,* q = 1 呵.1 q也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是 在q = 1处.因此，使用等比数列的前 n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1, 如果q可能等于1,则需分q = 1和q力进行讨论.当已知a1，q, n时，用公式Sn = a1q）;当已知a1，q, an时，用公式Sn=aanq .1 - q1 - q若Sn是以q为公比的等比数列，则有 Sn4m= Sm+qSn .若数列 an为等比数列，则Sn, S2n-Sn, S.S2n,仍然成等比数列.若项数为3n的等比数列（qw1）前n项和与前n

12、项积分别为S1与T一次n项和与次n项积分别 为S2与丁2,最后n项和与n项积分别为S3与T3,则S1，S2, S3成等比数列，T2 , T3亦成等 比数列.二、难点突破1 .并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已知一个数 列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的.2 .等差（比）数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起；二是“每一项与它前一项的差（比）等于 同一个常数”.这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证 至少含有3项.所以，一个数列是等差（比）数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3项.3 .数列的表示方法

13、应注意的两个问题：（1） an与an是不同的，前者表示数列a1,a2,，an,， 而后者仅表示这个数列的第n项；数列a1,a2,，an,，与集合 a1，a2,，an,，不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性.4 .注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为 S,则通常设，aql aq,，a, aq, aq2,;对连续偶数个项同号.的等比数列，若已知其积为 S,则通常设，aqaq，aq, aq3,.5 . 一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0,因此，

14、在研究等比数列时，要注意an现 因为当an = 0时，虽有a2 = an- an中成立，但a n不是等比数列，即"b2 = a c”是a、b、 c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列 an, 2b = a + c ' b、 c成等差数列的充要条件， 这一点同学们要分清.6 .由等比数列定义知，等比数列各项均不为 0,因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意 特殊情况07等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分 q = 1和q为进行分类讨论，在 具体运用公式时，常常因考虑不周而出错.数列基础知识定时练习题(满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间1

15、20分钟)一、选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 .下列四个数中，哪一个是数列n(n+1)中的一项()(A) 380(B) 39(C) 35(D) 232 .在等差数列an中，公差d =1, a4+a7 =8 ,贝U a?+a4+a6+0+a20的值为()(A) 40(B) 45(C) 50(D) 553. 一套共7册的书1f划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979,则出齐这套书的年份是()(A) 1997(B) 1999(C) 2001(D) 20034. 一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍

16、，又它的首项为 1,且中间两项的和为 24,则此等比数列的项数为()(A) 12(B) 10(C) 8(D) 65,已知1是a2与b2的等比中项，又是 二与1的等差中项，则-012的值是()a ba2 b2(A) 1 或1(B) 1 或1(C) 1 或1(D) 1 或322336 .首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差 d的取值范围是()888(A) d >-(B)d<3(C)qWd<3(D) - <d < 33337 .如果-1 , a,b,c ,-9成等比数列，那么()(A) b=3, ac=9(B) b=-3, ac=9(C)b=3, ac=-9

17、 (D)b=-3, ac=-98 .在等差数列 an中，已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5 + a6等于()A.40B.42C.43D.459 .已知某等差数列共有 10项，其奇数项之和为 15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C. 3D. 210 .若互不相等的实数 a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+ 3b+ c =10 ,则a =A. 4 B .2 C .2 D .411 .在等比数列 an中，a=1, a0=3,则 a2 a3 a4 a5 % a7 为加=()A. 81B. 275 27C. , 3D. 24312 .在等比数列a中，ai =2，前n

18、项和为Sn,若数列an+0也是等比数列，则Sn等于()(A) 2n .在数列an中, -2(B) 3n(C) 2n(D) 3n -1【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。13 .设为是公差为正数的等差数列， 若a1+a2+a3 = 15,a1a2a3=80,贝Ua + a12+a13=()A. 120 B . 105 C . 90 D . 7514 .设Sn是等差数列an的前n项和，若S7 =35 ,则a4 =()A. 8 B . 7 C . 6 D . 5S3 1S615 .设Sn是等差数列 a。的前n项和，若言=1,则三6 =()S6 3S12'3r 1_

19、 1f 1(A)而(B) 3(C)8(D)-二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上)且Sn =9 ,则n三2 .等比数列斗的前三项为x,2x+2,3x+3,贝Ua4=3 .若数列配 如足：a1=1,an +=2an.n=1, 2, 31.则a1+a?+an=4 .设Sn为等差数列 圾的前n项和，S4=14, S10- S7 =30,则S9=.5 .在数列an中，若阚=1 , an+ =an+2(n之1),则该数列的通项 an =三、解答题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)一，：,20 r ,1 .已知Qn)为等比数列，a3 =2,a2+a4=，求4的通项

20、式。32 .设等比数列aj的前n项和为Sn, S4 =1£ =17，求通项公式an=?3 .已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an .4 .数列4的前n项和记为Sn,a1 =1,%由=2&+1(n之1 )(I)求an)的通项公式；(n)等差数列4的各项为正，其前n项和为Tn ,且T3 =15,又ai+b,a2+b2,a3 + b3成等比数列，求Tn本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。四、附加题(20分)某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定

21、时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？101. A 2.B3.D4.C5.D6.D7.B解：由等比数列的性质可得ac= (1) X (9) =9, bxb=9且b与奇数项的符号相同，故 b= 3,选B 8.B解：在等差数列 an中，已知 阚=2,a2+a3 =13,，d=3, a5=l4, a4+a5 + a6 =3a5=42,选 B.9.C么|5ai+20d =15解：11= d =3,故选 C. 10. D5ai +25d =30解：由互不相等的实数a,b,c成等差数列可

22、设 a=b d, c=b+d,由a+3b+c = 10可彳导b= 2,所以a = 2-d, c = 2+d,又c,a,b成等比数列可得 d = 6,所以a = 4,选D 11.A解：因为数列 an是等比数列，且 a1 = 1, a0=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9 =(a2a9) (a3a8)( a4a7) (a5a6)= ( a1a10)4= 34= 81,故选 A12c2n 124 .1 = 412 . 11 2= 4,1 2 = 21.1【解析】因数列 Qn为等比，则an =2qn,，因数列an +1也是等比数列，则 (an 1 1)2 =(an 1)(an 2a二 an(1

23、q2 2q) =0= q =1即an =2 ,所以Sn =2n ,故选择答案C。13. B【解析】an)是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15, a1a2a3 =80 ,则a2 = 5, a,a3 = (5 - d)(5+d) = 16,d=3, a12 = a2 + 10d = 35, a+a12+a13 =105,选 b. 14. d【解析】Sn是等差数列an的前n项和，若S7=7a4 =35,a4 = 5 ,选D.15.A解析：由等差数列的求和公式可得S3 = 3al +3d =工可得a =2d且d #0S6 6a1 15d327d3拓入二一，故选A90d10所以且 =_6a_

24、15dS1212a1 66d二、填空题2799"23 .解：数列 A 满足：a1 =1,an力=2an, n =1 , 2 , 3，该数列为公比为2的等比数歹U ,2n -1 na1a2 - - an = =2n -1.2 -14 .解：设等差数列 &的首项为ai,公差为d,由题意得4ai +4(4-1)d =14, 210a +10(10-1)d _7ai +7(7-1)d =30,联立解得 ai=2,d=1, 所以钎93空21=54 2225 .解：由4+=4 +2(n之1)可得数列an为公差为2的等差数列，又a1 =1 ,所以an = 2n 1 三、解答题3321 .解

25、：设等比数列an的公比为q,贝U qw002=1 = 一 , a4=a3q=2q q q ''所以 2 + 2q=20 ,解得 q1=3 , q2= 3, q 33.111 18Q n当 q1=3, a1=18.所以 an=18N3) =3- = 2 3 .当 q=3 时，a1二 1 ,所以 an=| >3n 1=2 ><3n 3. 99心a1 (q4 -1),2 .解：设an的公比为q,由S4=1,S8=17q1 ,所以得 ''=1q -1辿 "=17由、式得整理得丫1 =17解得q4 =16q -1q T 所以q=2或q=21 2n将q = 2代入式得a1 =,所以a =1515-1(_1)n 2nt将q=- 2代入式得a1 =,所以an =(55223.解析：解：.1