大学物理上海交通大学后题全部答案

1、习题1111-1.直角三角形ABC的A点上，有电荷q1=1.8M10，C, B点上有电荷 q2=M.8M10 .C,试求 C 点的电场强度(设 BC=0.04m , AC = 0.03m) o5在C点产生的场强：4超0rACq2在C点产生的场强：Ej4 二;。晨. C点的电场强度：E = E1 +' =2.71041+1.8104 j .C 点的合场强：E=JEF = 3.24M104%,1.8' = arctan =337 = 3342万向如图：2.7。11-2.用细的塑料棒弯成半径为50cm的圆环，两端间空隙为量为3.12"0，C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处

2、和方向。解：:棒长为 l=2nr-d=3.12m.强度的大小2 cmX电荷线密度:l =1.0 10，C m可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为 0,有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去 d = 0.02m 长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷 的塑料棒在。点产生的场强。解法1:利用微元积分：1 RddEox =24 二；0R2cosu2 一 .一一 14%R = 0.72V m ；,Ct九AEO 二cos -d - = 2sin =2-二-：-4二 0R4二；0R解法2:直接利用点电荷场强公式：由于d«r,该小段可看成点电荷

3、：q，"d=2.0X10,1C ,q9 2.0 10*_1Eo =-=9.0 10 - =0.72V m则圆心处场强：4腌°R(0.5)。方向由圆心指向缝隙处。B11-3.将一 “无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电 荷线密度为九，四分之一圆弧AB的半径为R ,试求圆心O点的场强。解：以。为坐标原点建立xOy坐标，如图所示 对于半无限长导线A式在。点的场强:EAx =: (cos cos 冗)4n /R2I九HEAy =(sin sin 二)有： y 4二作 2对于半无限长导线B-在。点的场强:L九 ，.一冗、EBx =(sin n一sin 一)4n qR2；&

4、#163;冗EBy =(cos - cos 二)有：y 4二；#2对于AB圆弧在。点的场强：有:EABxEAByJ r.n22cos d =(sin - -sin 二)0 4二；0R4二；0R2TT nn5. 一、sin d f = (cos cos )0 4二；0R4二；0R 2一 i EOx =EO y =或写成场强:二 EOx ' EO方向45 总场强：4n小，y 4n%R，得:11-4. 一个半径为R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为九，求环心处。点的场强Ed E =解：电荷元dq产生的场为：根据对称性有：fdEy=0,则：odq24冗 %R .E = dEx

5、= dEsin 匚二-Rsin 句24n %R2冗 /R ,oX dE* Y dqd-iE 二i方向沿x轴正向。即：2r。11-5.带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度 为九=Msin'式中九。为一常数，中为半径R与x轴 所成的夹角，如图所示.试求环心 。处的电场强度。dE解：如图，dl0sin dRxdEx = dE cos :tdEy=dEsinq考虑到对称性,有:Ex=0；E = fdEy = fdEsin 邛=1二，0 sin2 d 1 04 二；0R4 二；0R二（1-cos2:）d：1 002 一8跖,方向沿y轴负向。11-6. 一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷

6、面密度为 仃，求 球心O处的电场强度。解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为 dl=Rd-所带电 荷：dq =2npdl。dE =xdq二 2二 rxdl3 =3*X利用例11-3结论，有：4冗瓦（一+午二 2二 Rcos 二 Rsin 二 Rdi dE3v4ns0（ Rsin 日）2+（Rcos日）2，2 ,/口 E= 21sin2udu = 化简计算得：2；。24；。，If 11-7.图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷 -j| 体密度为P。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 别 变化的图线，即E-x图线（设原点在带电平板的中央平面T J |一 上，Ox轴垂直于平板）。

7、面，当x *d时,：xE =有： % ；I - d当x遍时，解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面S1为高斯上了 E dS=2E 与 T 。 oac由比S1和乙q = 2xPAS由 lE，dS=2E 和 £ q=2dPAs匚 %E =有： 2%。图像见右。/11-8.在点电荷q的电场中，取一半径为 r的圆形平面（如,Lp图所示），平面到q的距离为d ,试计算通过该平面的E的通量.解：通过圆平面的电通量与通过与 A为圆心、AB为半径、圆的平面为周界的球冠面的电通量相同【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r,有r=，尸定球冠面一条微元同心圆带面积为：dS =2nrsin

8、H .rd日, r sin 二- 力 .-2S= 2二 rsm rd 二-2二 r cosi球冠面的面积： 0二2 二 r2(1.d)r】xO0cosJ;球面面积为：球冠S球面由：球面S求冠人 q,2.w闭合球面=一S求面=4nr ,通过闭合球面的电通量为：即，6球冠11-9.在半径为P,求圆柱体内、R的“无限长” 外的场强分布,直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 并作 Er关系曲线。解：由高斯定律长为l的高斯面。L d d 1E dS = '、 qiUS %，内，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r,(1)当 r <R时,(2)当 r >R时,-.L ：二 r2l:r2 r l

9、E = E =；0 R2l 2二 r l E =；0Pr(r <R) 2%即：2 ；。r图见右。(r R)；r ；o11-10.半彳全为Ri和R2 (R<R2)的两无限长同轴圆柱面，单位长度rR2分别带有电量九和，试求：(1) r<R; (2) R<r<R2； (3) 处各点的场强。解：利用高斯定律：1(1)<R时，高斯面内不包括电荷，所以：E1=0；2二IE?(2) R<r<R时，利用图斯定律及对称性，有：% ,则:E2 =2二；or ；(3) rR2时，利用高斯定律及对称性，有：2.£3=0,则：E3=0;卫=0r<RE =

10、E =? R < r < R221180 rI. p » 口即：E=0r>R2o讼 11-11.一球体内均匀分布着电荷体密度为 P的正电荷，若 驾 保持电荷分布不变，在该球体中挖去半径为r的一个小球体，球心为O',两球心间距离OO=d,如图所示。求：(1)在球形空腔内，球心O'处的电场强度E 0；(2)在球体内P点处的电场强度E,设O'、。、P三点在同一直 径上，且OP=d。解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为 P的大球和带有电 荷体密度为-P的小球的合成。(1)以。为圆心，过。点作一个半径为d的高斯面，根据高斯定 理有：7 .，注4

11、 43f EdS = 1 ndJ加 3Eo:d3&0 ,方向从O指向O'；(2)过P点以O为圆心，作一个半径为d的高斯面。根据高斯定 理有：4 d d 4 4 3PdE E d S = ndEP1 = °% PE/EL前'd=3% ,方向从O指向P ,过P点以O'为圆心，作一个半径为2d的高斯面。根据高斯定 理有：EP2一 d W43E d S 二二 r§；。3=2)4d ,万向从。指向11-12.设真空中静电场E的分布为E=cx,，式中c为常量，求空间电荷的分布解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面有：DsEdS=cx0E d S =

12、L q由高斯定理：%S内，设空间电荷的密度为P(x),有:x。.。：(x)dxx。：(x).Sdxcx。.；：s = x。L讥cdx,可见P(x)为常数=P = %c。11-13.如图所示，一锥顶角为日的圆台，上下底面半径分别为Ri和R2,R、在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为。，求顶点。的 电势.(以无穷远处为电势零点)解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x轴，在侧 面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：xtan.环面圆宽：>d xdS =2二 r d l =2二 xtan、一2 cos/2 ,利用带电量为q的圆环在垂直环轴线上dx d|cos 2有:4晓。Jr2+x2X。处电势

13、的表达式:I以,，然dU = 4二；°二2二工 dxxtan2 fcos,2-(xtan-)2 x22。0tan d x2xdx6 cos 2考虑到圆台上底的坐标为:x1 = R1 cot -x2 = R2 cot -2 ,2 ,R2 cot-1 tan A d x 2 R1cot2二(R2 - R)11-14.电荷量Q均匀分布在半径为 R的球体内，试求：离球心 (r <R) P点的电势。E dS =解：利用高斯定律：LS-x q-4八一% s内可求电场的分布(1) r<R时,32 Q r4n r £内=% R3 ；有:，一 一 4nr2E 外=Q E(2) r

14、 aR时，% ;有：_34n%R”QJ cO ¥Po24n 7r -离球心r处（R QrUr :3r 4二；0R3r <R）的电势：Ur =r E内dr +R E外,dr ,即:2. 二 Q , 3Q Qr dr 2 dr3R 4n E0r8nw0R 8兀8 0R o11-15.图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为P,球壳内表面 半径为R,外表面半径为R2.设无穷远处为电势零点， 求空腔内任一点的电势。解：当r<Ri时，因高斯面内不包围电荷，有：Ei=0,ccE2当Ri <r <R2时，有：一4,3_3、二二（r -Ri）：（r3.R3）“24 二；0 r

15、3；°r2当r >R2时，有:E3、4_ _ 3_ 3,（R2 Ri）3-24 二；0r：（R3 -R；）3；°r2以无穷远处为电势零点，有:R2 d . 一u = .R E2 dr r e3 dRi3 - Ri3）3；0rdr 二：（"）drR23；°r22；o11-16.电荷以相同的面密度。分布在半径为ri=10cm和r2 = 20cm的两 个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为U0 =300V。(1)求电荷面密度仃；(2)若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度。'为多少?_2_21 _2(M=8.85Mi0 C N m

16、 )解：(1)当r<ri时，因高斯面内不包围电荷，有:当ri<r<r2时，利用高斯定理可求得:E22二 ri2%r ,OEir, ,1 E3二当rk2时，可求得：22二（ri F）00dE3 dI 2. 产-0 r上二r；二二(r； - r22)r2；0产二（ri - r2） ；00U08.85 1042 300 c”2c = -0= =8.85 10 C. m2那么：ri r230 10（2）设外球面上放电后电荷密度 仃，则有：Uo'=（；-ri，；-'r2）/；o = 0二 ri2则应放掉电荷为:2'32q =4”129 -a ) =2o 471r

17、2 =4父3.14父8.85父102父300M0.2 = 6.67m10'C o11-17.如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q,沿某一半 径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为 九，长度为l ,细线左端离球心距离为“。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 （设无穷远处的电势为零）。解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的 方向为x轴，E- q2均匀市电球面在球面外的场强分布为：471 %r（r >R）O取细线上的微元：dq =九dl，有：dF = Edq,ro1 q . dF _' ql ?4叫x2 -

18、4冗%0（。+1）（F为r方向上的单位矢量）（2） 均匀带电球面在球面外的电势分布为: 为电势零点）。对细线上的微元dq= dr,所具有的电势能为:dW = -q dr4n % r,ln3r 4n 飞 r 0 。q roW 二一q4二；0 r011-18. 一电偶极子的电矩为P,放在场强为E的匀强电场中，P与E之 间夹角为3如图所示.若将此偶极子绕通过其中心且垂直于 P、E平“ 出面的轴转180 =,外力需作功多少？/. 解：由功的表示式：dA = Md,兀布凸凸凸考虑到：M=P© 有：A=Q pEsin6dlpEco叫 11-19.如图所示，一个半径为 R的均匀带电圆板，其电荷面密

19、度为 仃（>0）今有一质量为m,电荷为-q的粒子（q >0）沿圆板轴线（x彻 方向向圆板运动，已知在距圆心 O （也是x轴原点）为b的位置上时， _ 觞粒子的速度为丫0,求粒子击中圆板时的速度（设圆板带-Hh电的均匀性始终不变）。解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上 X0处产生的电势为:(.R2U0b =UO -Ub = (R b - , R2 b2) 2；。12 121 2 q2 2、mv =-mv0-(-qUOb)= mv0(R b - . R b )由能量守恒定律,2222；。v = v2q (R b R2 b2)有： . m；。思考题11ii-i.两个点电荷分别带电q和2q

20、,相距i,试问将第三个点电荷放在 何处它所受合力为零？qQ _ 2qQ答：由4n%x2 =4n%(l-x)2 ,解得：x = l(&-1),即离点电荷q的距离 为|(反1)。11-2.下列几个说法中哪一个是正确的？(A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的 方向；(B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相 同；(C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、 可负，F为试验电荷所受的电场力；(D)以上说法都不正确。答：(C)ey11-3.真空中一半径为 R的的均匀带电球面，总电量为 q( q。)，今在球面面上挖去非常小的一块面积 a

21、s(连I同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去 $后 ,球心处的电场强度大小和方向.二- 二q2答：题意可知：4n%R ,利用补偿法，将挖去部分看成点电荷，二 S - E -Li 有： 4n,火，方向指向小面积兀。11-4.三个点电荷qi、q2和-q3在一直线上，相距均为2R,以勺与q2的 中心。作一半径为2R的球面，A为球面与直线的一个交点，如图。求:厂(1)通过该球面的电通量 到E 'dS ；/(2)A点的场强E A。q- qqi q2Eqi. q2q3E dSE A222解：(1) 9s % ； (2)4 / 83R)4 冗由 4 冗出 oB 11-5.有一边长为a的正方形

22、平面，在其中垂线上距中 :心°点2/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的 电场强度通量为多少？解：设想一下再加5个相同的正方形平面将q围在正方体的中心，通过此正方体闭合外表面的通量为：力闭合=q/80 ,那么，,：,_q_通过该平面的电场强度通量为：6 %。11-6.对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？ (A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷； (B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷； (C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零； (D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。 答：(A)K

23、11-E E d S = 一 乙 q11-7.由真空中静电场的高斯定理 心 无 可知(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为 零；(B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都 不为零；(C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都 为零；(D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。答：(C)11-8.图本为一具有球对称性分布的静电场的 E r关系 曲线.请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。(A)半径为R的均匀带电球面；(B)半径为R的均匀带电球体；(C)半径为R、电荷体密度P = Ar(A为常数)的非均匀带电球体；(D)半径为R、电荷体密度P

24、 = A/r( A为常数)的非均匀带电球体。答：(D)11-9.如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q(A) 4二;0rq答：(B)(C) 4 二;0 r - Rq距离为r的P'点的电势为q 1 _1(B) 4 二 0 r R上(D) 4 二 0 R r11-10.密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡 而测量电荷的，具电场由两块带电平行板产生.实验中，半径为带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为U12.当电势差增加到 油滴所带的电荷为多少？U12434U12时，半径为2r的油滴保持静止，则该4

25、U 1243q = P- M2r) gd3联立有：q =2q=4e。11-11.设无穷远处电势为零，则半径为R的均匀带电球体产生的电场 的电势分布规律为(图中的U。和b皆为常量)：答：(C) 11-12.无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？答：不能。见书中例11-12。大学物理第12章课后习题12-1. 一半径为0.10米的孤立导体球，已知其电势为100V (以无穷远为零电势)，计算球表面的面电荷密度。4二；0R解：由于导体球是一个等势体，导体电荷分布在球表面，电势为:；0U8.85 10,2 1009 2贝U： c =8.85/10 C/m 。R0.112-2.两个相距很远的导体球，

26、半径分别为r1 =6.0cm , r2 = 12.0cm ,都带有3x10-8C的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量。解：半径分别为1的电量为q1，2电量为q2 ,由题意，有： -q_= q2,q +q2 =6父10”-，4 二；0rl 4 二；0r2联立，有：q=2x10止 C, q2 =4><10- C o12-3.有一外半径为 R1 ,内半径R2的金属球壳，在壳内有一半径为 球均带电量q ,求球心的电势.解：由高斯定理，可求出场强分布：R3的金属球，球壳和内E1 = 0E2E324；0r=0R3 二 r ：二 R2R2 :二 r :二 R1E42qrR1

27、E1 dW+ / E2 dF+1 E3 d + -3-0R2RR3卫仃R1二 2q5dr 丁丁” =(-2) 4 二；0 R3 R2 R1R”R1、R2 .求球壳内外12-4. 一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为和球壳上场强和电势的分布，并画出E r和V r曲线.解：由高斯定理，可求出场强分布：E1 = -q,0 < r < R14n %r«E2=0R1<r < R2E3 =，q 2r >R>4二 0r，电势的分布为：R1 q当 0<rMR1 时，U1 = J -qdr +,r 4二；0r2_ q 111一 (一 一 )

28、;4 二 0 r R1 R2当 R <r ER?时，U2 =一qdr R2 4 二；0 r二 qq当r之R2时，U32 2-d r =。r 4二；0r4二；0r12-5,半径R1 = 0.05m,带电量q=3x10上C的金属球，被一同心导体球壳包围，球壳内半径R2 =0.07m ,外半径R3 =0.09m ,带电量Q = 2黑10'C 。试求距球心r处的P点的场强与电势。（1） r =0.10m （2）r = 0.06m (3) r = 0.03m。解：由高斯定理,可求出场强分布:r ： R1E2Ri ： r :二 R2E3R2 二 r :二 R3E4Q q7T 24. ；0 r

29、r R3Q，电势的分布为:当r WR时，U1R2 Riqdr4 二；0rR3 4二；0r()4 二；0 R1R2Q q4二；0R3当 R1<r ER2时,U2r2 qr 4二；0ryd r+R3dr jd).&4二；0 r R24二；0R3当 R2 <r WR3时,U3=L tt R34 . ；0r40 R3当 r >R3时，U4二 Q q二,24 二；°rr 4二；0rr =0.10m,适用于r AR3情况，有:E4Q -q) =9M103N , U44二；0r244 二；0 r= 900 V ；(2)r= 0.06m,适用于R<r<R2情况，

30、有:E2q = 7.5M104N , U2 = -q(1-)+ Q+q =1.64父103V ；4 二；0r24 二；0 r R24 二；0R3(3) r = 0.03m,适用于r c Ri情况，有:E1 =0 , U14 二；0'RiR2Q q)十q =2.54父103 V。40R312-6.两块带有异号电荷的金属板A和B ,相距5.0mm ,两板面积都是别为 ±2.66m10“C ,1.0mm处的电势。A板接地，略去边缘效应，求：（1） B板的电势;, 一 2 -一八150cm ,电量分（2） AB间离A板解:(1)由 E = 一有:则:Uab =Ed0qd；°

31、S而Ua0,U-8-32.66 105 10B42.28.85 101.5 10=-1000 V ,离A板1.0mm处的电势：UP3(-10 ) = -200V12-7.平板电容器极板间的距离为d,保持极板上的电荷不变，忽略边缘效应。若插入厚度为t(t<d)的金属板，求无金属板时和插入金属板后极板间电势差的比; 压不变，求无金属板时和插入金属板后极板上的电荷的比。解：(1)设极板带电量为 Q0 ,面电荷密度为 仃0。如果保持两极板的电无金属板时电势差为：U1 =E0 d = d ,有金属板时电势差为：U2 =E0，(d -t) = (d -t),；0电势差比为:dU1；0dU7N(d_t

32、)=(2)设无金属板时极板带电量为Q0 ,面电荷密度为 仃0,有金属板时极板带电量为Q ,面电荷密度为仃。由于 U1 =U2，有 E0 d = E(d -t)，即血 d =2(d -t) 力力.Q0 _ 二。_ d -1 oQ 二 d解法二：无金属板时的电容为:C。=&§ ,有金属板时的电容为：C。=dd -t那么:(1)当极板电荷保持不变时，利用(2)当极板电压保持不变时，利用Q -C =知:UQC =、知:UU1dU2d -tQod -tQd12-8.实验表明，在靠近地面处有相当强的电场E垂直于地面向下，大小约为130V/m ,在离地面1.5km的高空的场强也是垂直向下，

33、大小约为25V/m .(1)试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面 )；(2)计算从地面到1.5km高空的空气中的平均电荷密度.解：(1)因为地面可看成无穷大导体平面，地面上方的面电荷密度可用直向上为正向，考虑到靠近地面处场强为E0 = -130V ,所以:仃=4E =8.85父102 父(一130) =-1.1510 C/m2 ；I如图，由高斯定理由E dS = -Z qi ,有：上S80 S内E' S E0(- S) =-S0得：=6.2父10* C/m3。:1.5 103,贝U： -25 -(-130) =8.85 10E0= ?考察，选竖12-9.同轴传输线是由两个很

34、长且彼此绝缘的同轴金属圆柱（内）和圆筒（外）构成，设内圆柱半径为Ri,电势为Vi,外圆筒的内半径为R2,电势为V2.求其离轴为处（Ri<r<R2）的电势。解：: Ri<r <R2处电场强度为：E=一，2 二；0 r内外圆柱间电势差为：V1V2= R2dr = in %R1 2二；0r2二；0R则：二"2)一2二；0 ln(R2 R)同理，r 处的电势为： UrV2 = JR2drin R2 (*)r 2二；0r2二；0rUr =V2 +，一inR2 =(V1 V2) in(R2''r) +V2。2二；0rin( R2 R1)【注：上式也可以变形

35、为：Ur = =Vl -（Vl -V2）"" ，与书后答案相同，或将（*）in（R2 Ri）r式用：M Ur = （ dr =一lnL计算，结果如上】.Ri 2二；0r2二；0 Rii2-i0.半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将两者相连接，并给系统带上电荷Q,求：（i）每个求上分配到的电荷是多少？ （2）按电容定义式，计算此系统的电容。解：（i）qa4二；0Q首先考虑_ qb一 4二；0rba和b的两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连，两球电势相等:-，再由系统电荷为 Q,有：qa +qb =Q 两式联立得：qaQaQbqb=;（2）

36、根据电容的定义：CQj，一）,将（i）结论代入, qb4二 0a4二 0b有：C=4n%(a+b)。i2-ii.图示一球形电容器,在外球壳的半径b及内外导体间的电势差 U维持恒定的条件下,内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小。解：由高斯定理可得球形电容器空间内的场强为:而电势差：Ub Q . Q2 d r 二a4二；0r24二；0匚 QE 二2 ，4 二；0 rb -a,abQ Uab4二；0b -a，那么，场强表达式可写为：E =U2 ° r因为要考察内球表面附近的场强，可令r =a,有：Ea将a看成自变量，若有 西=0时，出现极值，那么:d

37、abU(b - a) a,八叫避吐为)二0(ab - a )4Ub .仔：a =一,此时：Eamin = 2b12-12. 一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S ,极板间距离为d .接 上电源后，A板电势Ua=V, B板电势U b =0 .现将一带有电荷q、，斗舁工 面积也是S而厚度可忽略的导体片 C平行插在两极板的中间位置， 如图所A-CH示，试求导体片 C的电势。1- - -dd解：由题意，V =eab ebc,而:22二 AA ,二AB =，EBC =；0；0口 q二 Ad q d 八， qd、；0且仃=一，. . V =+,贝 U： cta=(V-)一。S；02 ；0S2 ；0S

38、d导体片 C 的电势： Uc =Ucb =Ecb，二=二2；021-Uc (V2q2 ；0Sd)12-13.两金属球的半径之比为 1 ： 4,带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半径时, 有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？解：（1）设小球I = R,大球上=4R,两球各自带有电量为 q,有：22接触之前的电势能： W0 = q一 十 q一 ；4二；0R 4二；04R（2）接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为q1,大金属球带电为q2,有： =和q1 *q2 = 2q -,联立解得：q1 = , q2 = 04二；0R1 4二；0R255那么，电势

39、能为:2q225264 2q 一q _ . 254 二；0R 4二；04R4二；0R 4二；04R16、八，=W0。25 0思考题1212-1. 一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有十q和-q的电荷，有人将两板的电场线画成如图所示， 试指出这种画法的错误， 你认为电场 线应如何分布。答：导体板是等势体，电场强度与等势面正交，两板的电场线接近板面时应该垂直板面。12-2.在“无限大”均匀带电平面 A附近放一与它平行，且有一定厚度的“无限大”平面导体板B ,如图所示.已知A上的电荷面密度为 和2上的感生电荷面密度为多少？aa答：仃1 = 一 ，仃2 =二。22十。，则在导体板B的两个表

40、面sis12-3.充了电的平行板电容器两极板（看作很大的平板）间的静电作用力 F与两极板间的电压U之间的关系是怎样的？答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力。12-4. 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R,在腔内离球心的距离为d处（d < R）,固定一点电荷 +q ,如图所示，用导线把球壳 接地后，再把地线撤去.选无穷远处为电势零点，则球心 O处的电 势为多少？答：U0 二3 .二4冗0dl 4冗东R12-5.在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内，放一带有电荷为+Q的带电导体B,如图所示，则比较空腔导体A的电势U a和导体B的电势U b时，可得什么结论？答：U a和U

41、b都是等势体，U a = Q一 ；4 ： = 0R3UB=q-u'4超 0R340 （R R2 J习题13P Pn -（1） P = P。；（2）0 R解：可利用公式"二一口 SPsPcos6ds算出极化电荷。首先考虑一个球的环形面元，有：dS = 2nRsin伙RdQ）,（1） P = p0 时，由。=P cos日知 ' = P cosQ ,2 、2二 R2 sin =-02冗sin21d21-0) ；xxRcos2 .P = P02' = P0cos? - PoCOS-PoCOSUR时，RR,JTq2' = - 0 P0cos2，2二 R2 sin

42、 -d - - 2二 R2P0 o cos2 1 d cos-2二 R2P0cos4 二 R2P03。13-1.如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面 上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P（沿x轴）。13-2.平行板电容器，板面积为100cm2,带电量±8.9M10，C ,在两板 间充满电介质后，具场强为1.4M106V/m ,试求：（1）介质的相对介电 常数% ; （2）介质表面上的极化电荷密度E 二解：（1）由 y r ,有:= 7.18Q 8.9 10，0ES - 8.85 1042 1.4 106 100 10"(2)= P = ；0

43、( ；r -1)E =7.66 10-5C m213-3.面积为S的平行板电容器，两板间距为d,求：（1）插入厚度 d为3,相对介电常数为%的电介质，其电容量变为原来的多少倍？ （2） d插入厚度为3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？CTE0 = 一Er =而电介质内的场强为：U所以，两板间电势差为：%与，二 2 . 二=d '；03；o ；d3那么,c=Q二 S 3；0；rSU U （2 ；r 1）drnCo；°S* Co 2备+1；（2）插入厚度为3的导电板,可看成是两个电容的串联,有:Cl = C2；oS3 ；0s_ C1C2_ 3 0s3 cC = "1

44、 = - C0C1C2 2d 2=c =3C0=2。解：（1）电介质外的场强为：,0E d解：（1）由：US（2）又由E=U,有:二 0 二 0；0r ；°E ；0 二°-二'二0-二13-4.在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化电荷的面电荷密度分别为 ,与仃'（绝对值），试求:（1）电介质内的场强E ; （2）相对介电常数却1 一二一% （q q'）%,有:E = "-0 一、"“（.。给出的是绝对值）13-5.在导体和电介质的分界面上分别存在着自由电荷和极化电荷。 若 导体内表面的自由电荷面密

45、度为仃，则电介质表面的极化电荷面密度为 多少？（已知电介质的相对介电常数为r）解：由"=I sp dS,考虑到q'=；0（ ；r -1）E d S = - 有：LS7（辞 -1）,E dS 二心S%联立，有:q'；0（；r -1）q q'得:13-6.如图所示,半径为R0的导体球带有电荷Q,球外有一层均匀介；r1CJ-r质同心球壳，其内、外半径分别为 R和R2,相对电容率为与，求：介D =0。质内、外的电场强度大小和电位移矢量大小D dS q解：利用介质中的高斯定理®S s内2(1)导体内外的电位移为：rARo,4口 ； r<R。,E = (2

46、)由于；。；，所以介质内外的电场强度为：D QE2二 =2r<R。时，E1 =。； Ri>r>R。时， 4n%r ；D QD QE3 =2E4 二一=2R2ArARi 时， 当务 4兀当%； rAR2 时， %4兀%o13-7. 一圆柱形电容器，外柱的直径为 4cm,内柱的直径可以适当 选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度大小为E。=20OkV/m ,试求该电容器可能承受的最高电压解：由介质中的高斯定理，有:RRRUr = E d F =d r =Inrr2:；o；rr2 二；。丁 r:击穿场强为E。，%=。令"，有:R.2一 . . =rE。

47、Ur =rE°In.2江，叫 ，则r ,RRE°ln E0=。 In =1r。=_Rr0，.二r。二 e ,R REnUmax /三m。=147KVr。e13-8. 一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2的电介质，它们的相对介电常数为 卬和斗2,极板面积为S,求电容量。CFE E2解：: 口 =D2,而:有:U = Eidi E2d2 =- QC =Udi；oSri包；r2二 di二 d2-甑8ri/72 ,_；0 ；ri ；r 2s；r2di_ _E e2i3-9.利用电场能量密度we=2C计算均匀带电球体的静电能，设球 体半径为R,带电量为Q。解：首先求出场强分

48、布:W =E2dV2EiE =E2；0 Rz Q r(2 0 4二；0R3Qr4 . ；0RQ-24 二；0 rr ： Rr R、22 .)4 二 r d r：(2 R 4二；0r3Q220二；0Ri3-i0.半彳5为2.0cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的 内外半径分别为4.0cm和5.0cm,当内球带电量为3.0x10"时，求：(i) 系统储存了多少电能？(2)用导线把壳与球连在一起后电能变化了多 少？解：(1)先求场强分布：Ei = 0r <RiE2=-q- R1 < r < R240E =E3=0R2<r <R3323E3=-q- r

49、 >R33/234n % r_ 1 e 2考虑到电场能量密度we_2 E ,有：球与球壳之间的电能:一2W = -E2dV2( q 2)24二 r2dr =-q(-)22 Ri 4°r28。Ri R2 =1.01 10，球壳外部空间的电能：一2W2 =E2dV = "(qL)24二 r2dr =22出'4兀产8兀%R3 =8.1Ml0弋，系统储存的电能：W=W1+W2=1.82X10J ；(2)如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0,所以W1'=05 .而外表面所带电荷不变，那么： W'=W2=8.10-J o1 Q2一2 C算得

50、的电容器所13-11.球形电容器内外半径分别为 R4DR2,充有电量Qo （1）求电 容器内电场的总能量；（2）证明此结果与按We 储电能值相等。E 二Q2角牛：（1）由图斯7E理可知，球内仝间的场强为：4江加利用电场能量密度we；E2；0 2；o R2W =/3=T.(2Q4二；0r,有电容器内电场的能量:Q28二；-(R0 R1R2、Q2(R2-R)8g0RR2 .R2 Q .r Q / 11、 Q(R2-Ri)2dr 二(-):04二 0r4二 0 R1R24二 0R1R2C =则球形电容器的电容为：URRR2-R1,wJQ：=Q2（R2-R1）那么，2 c80R1R2 o （与前面结果一样） 13-12. 一平行板电容器的板面积为S,两板间距离为d,板间充满相 对介电常数为的均匀介质，分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度%不变而把介质取出；（2）维持两板 上电压U不变而把介质取出。1 二 02 sd解：（1）维持两板上面电荷密度,不变，有介质时：12cW 0；rE2Sd =2(D=%8,E, o0=D) 2 .W =_ 0E2Sd =-Sd取出介质后：22 0W =w _W =外力所做的功等于静电场能量的增加：21 0 2Sd(1)二 2（2）维