福建省三明市2021-2022学年高二上学期期末数学试卷

1、2021-2022学年福建省三明市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的1（5分）直线xy+10的倾斜角是（）A4B3C34D232（5分）已知双曲线C：x2my24=1的渐近线方程是y=23x，则m（）A3B6C9D1693（5分）已知圆C1：x2+y24y0，圆C2：x2+y22x2y+10，则两圆的位置关系为（）A内切B相交C外切D外离4（5分）在四面体OABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，OE=3EA，若F为BC的中点，P为EF的中点，则OP=（）A38a+14b+14cB13a+14b+14cC23

2、a+14b+14cD14a+38b+14c5（5分）函数yf（x）的图象如图所示，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）Af（2）f（3）f（2）f（3）Bf（3）f（2）f（3）f（2）Cf（2）f（3）f（3）f（2）Df（3）f（2）f（2）f（3）6（5分）已知等比数列an满足a22，a2+a4+a642，则a6+a8+a10（）A168B210C672D10507（5分）已知直线l：y=3（x+c）过椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点F，与椭圆在x轴上方的交点为P，Q为线段PF的中点，若|OQ|c，则椭圆的离心率为（）A312B31C22D128（5分）瑞士

3、数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A（2，0），B（0，2），其欧拉线方程为2xy20，则顶点C的坐标是（）A（185，165）B（165，185）C（3613，5013）D（5013，3613）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分（多选）9（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则（）A点C1的坐标为（2

4、，0，2）BC1A=(2，2，2)CBD1的中点坐标为（1，1，1）D点B1关于y轴的对称点为（2，2，2）（多选）10（5分）已知两条直线l1：（a2）x+3y+2a0，l2：x+ay+60，则下列结论正确的是（）A当a=12时，l1l2B若l1l2，则a1或a3C当a2时，l1与l2相交于点（103，43）D直线l1过定点（2，43）（多选）11（5分）已知数列an的前n项和为Sn，下列说法正确的是（）A若Sn=2n2+n+1，则an为等差数列B若Sn=2n1，则an为等比数列C若an为等差数列，则2an为等比数列D若an为等差数列，S8S9S7，则a7a8a9a10（多选）12（5分）已

5、知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴交于点P，直线xmy+n与抛物线交于M，N两点，则下列说法正确的是（）Am2+n0B|MN|xM+xN+2C若PM=2PN，则|MF|2|NF|D若n1，则MPF的最大值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知平面，的法向量分别为n1=（1，y，4），n2=（x，1，2），若a，则xy的值为 14（5分）函数f（x）xlnx的导函数f（x） 15（5分）若方程（m1）x2+（m3）y2（m1）（m3）表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是 ，该双曲线的焦距是 16（5分）设P为圆C：（x4）2+y24上一动点，Q为直线l：x+y

6、70上一动点，O为坐标原点，则|PO|+2|PQ|的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（3，1），C（4，0）（1）求ABC的外接圆M的方程；（2）设直线l：2x+y10与圆M交于P，Q两点，求|PQ|的值18（12分）已知等差数列an的公差为整数，Sn为其前n项和，a37，a1a2a3105（1）求an的通项公式；（2）设bn=1Sn，数列bn的前n项和为Tn，求T819（12分）已知动点M到点F（0，12）的距离与它到直线y=12的距离相等（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（12，1

7、）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，M为BC的中点，PN=23PA，PDDC2（1）证明：DNPM；（2）设平面PAB平面PCDl，求l与平面MND所成角的正弦值21（12分）某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产设从2021年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a1，a2，a3，（1）写出a1，a2，a3，并证明数列an3是等比数列；（2）至少到哪一年的年底，企业的剩余资

8、金会超过21千万元？（lg20.3010，lg30.4771）22（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）过点A（0，2），且与双曲线x24y22=1有相同的焦点（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上异于A的两点，且满足kMA+kNA1，试判断直线MN是否过定点，并说明理由2021-2022学年福建省三明市高二（上）期末数学试卷答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的1（5分）直线xy+10的倾斜角是（）A4B3C34D23【考点】直线的倾斜角 【分析】由已知直线方程求得斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解【

9、解答】解：直线xy+10的斜率k1设其倾斜角为（0），则tan1，得=4故选：A【点评】本题考查由直线方程求直线的斜率，考查斜率与倾斜角的关系，是基础题2（5分）已知双曲线C：x2my24=1的渐近线方程是y=23x，则m（）A3B6C9D169【考点】双曲线的性质 【分析】利用已知条件列出方程，求解即可【解答】解：双曲线C：x2my24=1的渐近线方程是y=23x，所以2m=23，解得m9故选：C【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程的应用，属于基础题3（5分）已知圆C1：x2+y24y0，圆C2：x2+y22x2y+10，则两圆的位置关系为（）A内切B相交C外切D外离【考点】圆与圆的位置关

10、系及其判定 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系【解答】解：O1：x2+y24y0的圆心为O1（0，2），半径r2，O2：x2+y22x2y+10的标准方程为（x1）2+（y1）21，圆心为O2（1，1），半径R1，两圆的圆心距|O1O2|=11+(12)2=2，2122+13，故两圆相交，故选：B【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，是基础题4（5分）在四面体OABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，OE=3EA，若F为BC的中点，P为EF的中点，则OP=（）A38a+14b+14cB13a+14b+14cC23a+14b+14cD14a+

11、38b+14c【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解【解答】解：画出图形，如图所示，则OP=OE+EP=OE+12EF=OE+12(OFOE)=12OF+12OE=1212(OB+OC)+1234OA=14（b+c）+38a =38a+14b+14c故选：A【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算法则，是基础题5（5分）函数yf（x）的图象如图所示，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）Af（2）f（3）f（2）f（3）Bf（3）f（2）f（3）f（2）Cf（2）f（3）f（3）f（2）Df（3）f（2）f（2）f（3）【考点】利用

12、导数研究函数的单调性 【分析】结合导数的几何意义确定正确选项【解答】解：f（3）f（2）=f(3)f(2)32，表示（2，f（2），（3，f（3）两点连线的斜率，f（2）表示f（x）在x2处切线的斜率；f（3）表示f（x）在x3处切线的斜率；根据f（x）图象可知，f（2）f（3）f（2）f（3）故选：A【点评】本题考查了导数的几何意义、数形结合思想及过两点斜率的公式，难点在于将f（3）f（2）转化为过（2，f（2），（3，f（3）两点连线的斜率，属于基础题6（5分）已知等比数列an满足a22，a2+a4+a642，则a6+a8+a10（）A168B210C672D1050【考点】等比数列的性质

13、 【分析】设等比数列an的公比为q，根据题意可得2+2q2+2q442，即q4+q2200，从而解得q24或q25（舍去），进一步利用a6+a8+a10（a2+a4+a6）q4进行求解即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，由a22，a2+a4+a642，得2+2q2+2q442，即q4+q2200，解得q24或q25（舍去），所以a6+a8+a10（a2+a4+a6）q44242672故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题7（5分）已知直线l：y=3（x+c）过椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点F，与椭圆在x轴上方的交点为P，Q为

14、线段PF的中点，若|OQ|c，则椭圆的离心率为（）A312B31C22D12【考点】椭圆的性质 【分析】直线l的倾斜角为60，可得PFM60，又O是FM的中点，Q是PF的中点，所以|OQ|=12|PM|，PFM是等边三角形，可得2a2c+2c，计算可得离心率【解答】解：直线l：y=3（x+c）的斜率为3，所以直线l的倾斜角为60，直线l：过椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点F，设椭圆的右焦点为M，所以PFM60，又O是FM的中点，Q是PF的中点，所以|OQ|=12|PM|，又|OQ|c，所以|PM|2c，又|FM|2c，所以PFM是等边三角形，所以|PF|2c，又P在椭圆上，所以|P

15、M|+|PF|2a2c+2c，所以2a4c，所以离心率为e=ca=12，故选：D【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，属中档题8（5分）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点A（2，0），B（0，2），其欧拉线方程为2xy20，则顶点C的坐标是（）A（185，165）B（165，185）C（3613，5013）D（5013，3613）【考点】欧拉公式的应用 【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得

16、三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【解答】解：设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为（2+m3，2+n3），代入欧拉线方程得：22+m32+n320，整理得：2mn40 AB的中点为（1，1），kAB=2002=1，AB的中垂线方程为y1x1，即yx联立y=x2xy2=0，解得x=2y=2ABC的外心为（2，2）则（m2）2+（n2）24，整理得：m2+n24m4n+40 联立得：m=185，n=165或m2，n0当m2，n0时A，C重合，舍去顶点C的坐标是（185，165）故选：A【点评】本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式

17、，考查了方程组的解法，是基础的计算题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分（多选）9（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则（）A点C1的坐标为（2，0，2）BC1A=(2，2，2)CBD1的中点坐标为（1，1，1）D点B1关于y轴的对称点为（2，2，2）【考点】空间向量及其线性运算 【分析】由图求得正方体各顶点的坐标，然后逐一分析四个选项得答案【解答】解：由题意可知，A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0，2

18、，2），D1（0，0，2），则C1A=(2，2，2)，BD1的中点坐标为（2+02，2+02，0+22=（1，1，1），点B1关于y轴的对称点为（2，2，2），故选：BCD【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查数形结合思想，是基础题（多选）10（5分）已知两条直线l1：（a2）x+3y+2a0，l2：x+ay+60，则下列结论正确的是（）A当a=12时，l1l2B若l1l2，则a1或a3C当a2时，l1与l2相交于点（103，43）D直线l1过定点（2，43）【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】根据直线平行和垂直判断AB，根据方程组的解判断C，根据直线过定点求出点的坐标即可判断

19、D【解答】解：若l1l2，则1（a2）+3a0，解得a=12，故A正确；若l1l2，则a（a2）130，解得a1或a3，当a3时，l1与l2重合，故a1，故B错误；当a2时，由3y+4=0x+2y+6=0，解得x=103，y=43，故l1与l2相交于点（103，43），故C正确；直线l1：（a2）x+3y+2a0过定点，则a（x+2）2x+3y0，即x+2=02x+3y=0，解得x2，y=43，故D正确故选：ACD【点评】本题考查两直线平行和垂直，两直线的交点，直线过定点，属于基础题（多选）11（5分）已知数列an的前n项和为Sn，下列说法正确的是（）A若Sn=2n2+n+1，则an为等差数列

20、B若Sn=2n1，则an为等比数列C若an为等差数列，则2an为等比数列D若an为等差数列，S8S9S7，则a7a8a9a10【考点】等比数列的性质 【分析】利用an=S1，n=1SnSn1，n2并结合等差数列与等比数列的定义即可判断选项AB；设等差数列an的公差为d，确定2an+12an为常数即可判断选项C；结合通项公式利用作差法即可判断选项D【解答】解：对于A：当n1时，a1S14，当n2时，Sn12（n1）2+n1+12n23n+2，则anSnSn12n2+n+1（2n23n+2）4n1（n2），又a14不满足上式，所以an=4，n=14n1，n2，an不是等差数列，选项A错误；对于B：

21、当n1时，a1S1211，当n2时，Sn12n11，则anSnSn12n1（2n11）2n1，所以an+1an=2n2n1=2，a1201，所以an是等比数列，选项B正确；对于C：设等差数列an的公差为d，则2an+12an=2an+1an=2d为常数，所以2an为等比数列，选项C正确；对于D：设等差数列an的公差为d，由S8S9S7，得a90a8+a90a10d0，即a1+8d02a1+15d0a10d0，所以152da18d，所以a7a8a9a10（a1+6d）（a1+7d）（a1+8d）（a1+9d）4a11d30d24d（a1+152d）0所以a7a8a9a10，选项D正确故选：BCD

22、【点评】本题考查利用数列的前n项和求通项的方法，即等差数列等比数列的判断，等差数列的通项公式等，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题（多选）12（5分）已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴交于点P，直线xmy+n与抛物线交于M，N两点，则下列说法正确的是（）Am2+n0B|MN|xM+xN+2C若PM=2PN，则|MF|2|NF|D若n1，则MPF的最大值为3【考点】直线与抛物线的综合 【分析】根据抛物线的定义及简单几何性质对选项进行逐一计算验证【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程为x1，则P（1，0），联立x=my+ny2=4x，整理可得y24my4n0，则（4m）24（4n

23、）0，可得m2+n0，所以A正确；只有直线MN过焦点F时，|MN|xM+xN+2，所以B不正确；C中，当PM=2PN，则P，M，N三点共线，即n1，|MF|xM+1，|NF|xN+1，则直线MN的方程为：xmy1，代入抛物线的方程可得y24my+40，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y24m，y1y24，x1+x2m（y1+y2）24m22，可得（x1+1，y1）2（x2+1，y2），则可得y12y2，所以|MF|x1+1my11+1my1，|NF|x2+1my21+1my2，所以|MF|2|NF|，故C正确；当PM与抛物线相切时，MPF最大，设过P（1，0）的抛物线的切线为y

24、k（x+1），y=k(x+1)y2=4x，消去y整理得k2x2+（2k24）x+k20，所以0得（2k24）24k40，解得k1，所以MPF的最大值为4，故D错误；故选：AC【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属于难题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知平面，的法向量分别为n1=（1，y，4），n2=（x，1，2），若a，则xy的值为 8【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系 【分析】根据题意，由a，可得n1n2=xy80，然后求出xy的值【解答】解：根据题意，平面，的法向量分别为n1=（1，y，4），n2=（x，1，2），若a，则有n1n2=xy80，即xy8故

25、答案为：8【点评】本题考查空间向量的应用，向量垂直的性质，属于基础题14（5分）函数f（x）xlnx的导函数f（x）lnx+1【考点】导数的运算 【分析】根据导数的运算法则计算即可【解答】解：f（x）（x）lnx+x（lnx）lnx+1，故答案为：lnx+1【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题15（5分）若方程（m1）x2+（m3）y2（m1）（m3）表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是 （1，3），该双曲线的焦距是 22【考点】双曲线的性质 【分析】由题意可得（m1）（3m）0，进一步得到关于m的不等式组求解【解答】解：由（m1）x2+（m3）y2（m1）（m3）所表示的曲线是双

26、曲线，可知（m1）（m3）0，解得m（1，3），双曲线的焦距：2|m3+1m|=22故答案为：（1，3）；22【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题16（5分）设P为圆C：（x4）2+y24上一动点，Q为直线l：x+y70上一动点，O为坐标原点，则|PO|+2|PQ|的最小值为 42【考点】直线与圆的位置关系 【分析】取点A（3，0），可得CAPCPO，从而|PO|2|PA|，|PO|+2|PQ|2|AQ|，从而可求解【解答】解：取点A（3，0），则ACPC=PCOC=12，CAPCPO，|PO|2|PA|，|PO|+2|PQ|2|PA|+2|PQ|2|AQ|42当且仅当AQ直线l时

27、取等号故答案为：42【点评】本题考查直线与圆的位置关系，求距离最小值问题，属中档题四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（3，1），C（4，0）（1）求ABC的外接圆M的方程；（2）设直线l：2x+y10与圆M交于P，Q两点，求|PQ|的值【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入三个点的坐标，求解D、E、F的值，则圆的方程可求；（2）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由垂径定理求弦长【解答】解：（1）设ABC的外接圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，则1

28、0+D+3E+F=010+3DE+F=016+4D+F=0，解得D=4E=2F=0ABC的外接圆M的方程为x2+y24x2y0；（2）由（1）得圆M：x2+y24x2y0，即（x2）2+（y1）25圆心M（2，1），半径r=5，圆心到直线2x+y10的距离d=|4+11|5=455，|PQ|=25(455)2=655【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题18（12分）已知等差数列an的公差为整数，Sn为其前n项和，a37，a1a2a3105（1）求an的通项公式；（2）设bn=1Sn，数列bn的前n项和为Tn，求T8【考点】数列的求和 【分析】（

29、1）由题意可知2a2a1=7a1a2=15，结合公差为整数，求出a1，a2的值，进而求出公差，得到an的通项公式（2）（1）可知Sn=n(a1+an)2=n（n+2），所以bn=1Sn=1n(n+2)=12(1n1n+2)，再利用裂项相消法即可求出T8【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，则dZ，a37，a1a2a3105，2a2a1=7a1a2=15，解得a1=3a2=5或a1=10a2=32，又dZ，a13，a25，da2a12，ana1+（n1）d2n+1（2）由（1）可知Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n（n+2），bn=1Sn=1n(n+2)=12(1n1n+2

30、)，T8b1+b2+b8=12（113）+（1214）+（1315）+（1719）+（18110）=12（1+1219110）=2945【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了裂项相消法求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题19（12分）已知动点M到点F（0，12）的距离与它到直线y=12的距离相等（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（12，1）作C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求直线AB的方程【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；轨迹方程；直线与抛物线的综合 【分析】（1）设M（x，y），列出关系式，求解轨迹方程即可（2）设切线的方程为：y+1=k

31、(x12)，与抛物线方程x22y联立，求出A（1，12），B（2，2），得到切线方程解法二：（1）同解法一（2）利用函数的导数求解切线的斜率，切线切点坐标，得到切线方程【解答】解法一：（1）设M（x，y），则x2+(y12)2=|y+12|，（2分）解得x22y所以该抛物线的方程为x22y；（4分）（2）依题意，切线的斜率存在，设切线的方程为：y+1=k(x12)，与抛物线方程x22y联立，得x22kx+2+k0，（6分）令4k24（k+2）0，得k1或k2（8分）从而x2+2x+10或x24x+40，解得x1或x2，所以切点A（1，12），B（2，2），（10分）直线AB的斜率为2122(1

32、)=12，所以直线AB的方程为y2=12(x2)，整理得x2y+20（12分）解法二：（1）同解法一（4分）（2）由x22y可得y=x22，所以yx，（5分）设切点为（x0，x022），则切线的斜率kx0（6分）又切线过点P（12，1），所以x022+1x012=x0，整理得x02x02=0（8分）解得x01或x02，所以切点的坐标为A（1，12），B（2，2），（10分）所以直线AB的斜率为k=2122(1)=12，所以直线AB的方程为y2=12(x2)，整理得x2y+20（12分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，是中档题20（12分）如图

33、，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，M为BC的中点，PN=23PA，PDDC2（1）证明：DNPM；（2）设平面PAB平面PCDl，求l与平面MND所成角的正弦值【考点】直线与平面垂直；直线与平面所成的角 【分析】解法一：（1）以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，通过DNPM=0，证明DNPM（2）证明CDAB，CDl，说明CD与平面MND所成的角即为l与平面MND所成的角求出平面MND的一个法向量，求出DC=(0，2，0)，利用空间向量的数量积求解即可解法二：（1）取AD的中点Q，连接PQ，MQ，在正方形ADPA1

34、中，延长DN交AA1于G，则ANGPND证明DGPQ，即DNPQ，推出QMDC，得到QM平面PAD，证明DN平面PQM，推出DNPM（2）同解法一【解答】解法一：（1）PD平面ABCD，CDAD，以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，（1分），则 D（0，0，0），N（43，0，23），P（0，0，2），M（1，2，0），（3分）所以DN=(43，0，23)，PM=(1，2，2)，所以DNPM=4343=0，（4分）所以DNPM（5分）（2）由正方形ABCD得，CDAB，AB平面PAB，CD平面PAB，CD平面PAB；又CD平面PCD

35、，平面PAB平面PCDl，CDl；（8分）于是CD与平面MND所成的角即为l与平面MND所成的角由（1）知，DN=(43，0，23)，DM=(1，2，0)设平面MND的一个法向量n=（x，y，z），则nDN=0nDM=0，即43x+23z=0x+2y=0，取x2，则y1，z4，于是n=（2，1，4）是平面MND的一个法向量，（10分）因为DC=(0，2，0)，设l与平面MND所成角为，则sin=|cosDC，n|=224+1+16=2121（12分）解法二：（1）依题意，将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCDA1B1C1P，如图所示，（1分）取AD的中点Q，连接PQ，MQ，在正方形ADPA

36、1中，延长DN交AA1于G，则ANGPNDANPN=AGPD=12，即G为AA1的中点，（2分）DGPQ，即DNPQ，（3分）DC平面PAD，QMDC，QM平面PAD，又DN平面PAD，QMDN，又QMPQQ，DN平面PQM，PM平面PQMDNPM（5分）（2）同解法一（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题21（12分）某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产设从2021年的年底

37、起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a1，a2，a3，（1）写出a1，a2，a3，并证明数列an3是等比数列；（2）至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？（lg20.3010，lg30.4771）【考点】根据实际问题选择函数类型 【分析】（1）由题意可知，a151.51.56，a261.51.57.5，a37.51.51.59.75，再结合等比数列的性质，即可求解（2）由（1）知，an3=31.5n1，则an=3+31.5n1，令3+31.5n121，再结合对数函数的公式，即可求解【解答】证明：（1）由题意可知，a151.51.56，a261.51.57.5，a37.51.51.59.75，因为an+11.5an1.5，所以an+131.5（an3），又因为a133，所以an3是首项为3，公比为1.5的等比数列，即得证（2