微分方程应用问题案例

1、标准文案第四章微分方程一、微分方程的概念案例1 曲线方程已知曲线过点（1 , 2 ）,且曲线上任一点 财（冗J）处切线的斜率是该点横坐 标的倒数，求此曲线方程.办解：设曲线方程为了二则 ，于是曲线在点处切线的斜率为 赤.根据题意有史-1dx X （4.1.1 ）又曲线过点（1,2）,故有= 2 （4.1.2）j = - x = ln x+C对式（4.1.1 ）两边积分，得I将式（4.1.2）代入上式，得 2二Inl+C,即C=2 .故所求曲线方程为y = lnx+2.案例2 自由落体运动一质量为期 的质点，在重力作用下自由下落， 求其运动方程.解:建立坐标系如图（1）所示，坐标原点取在质点开始

2、下落点，轴铅直向下.设在时刻t质点的位置为.一由于质点只受重力阴g作用，且力的方向与y轴正向相同，故由牛顿第二定律，得质点满足的方程 为dy幽白二加=mgdr ,大全dy 仆、工八B0+G方程两边同时积分，得二上式两边再同时积分，得Cj其中耳,弓是两个独立变化的任意常数.囹案例3列车制动列车在直线轨道上以20米/秒的速度行驶，制动列车获得负加速度米/秒2-0.4，问开始制动后要经过多少他长时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了多少路程？解：记列车制动的时刻为 t=0 ,设制动后t秒列车行驶了 s米.由题意知，制动后列车行驶的加速度d2s(4.1.3 )2 = -0.4dt2初始条件为当t=

3、0时，s=0,ds 二20 dt将方程（4.1.3 ）两端同时对t积分，得v(t) = = -0.4t Ci dt(4.1.4)式（4.1.4）两端对t再积分一次，得s=-0.2t2C1t C2(4.1.5)其中C1, C2都是任意常数，把条件当t=0时，出ds 二20代入（4.1.4 ）式，得 C1 = 20把t=0时，s=0代入式（4.1.5 ）,得C2 = 0,于是，列车制动后的运动方程为速度方程为s = 0.2t2 20t(4.1.6 )dsv = = -0.4t 20 dt(4.1.7 )ds八因为列车刹住时速度为零，在式（4.1.7 ）中，令v = =0dt ，得0=-0.4t+2

4、0 ,解出得列车从开始制动到完全刹住的时间为20,工二50 再把t=50代入式（4.1.6 ）,得列车在制动后所行驶的路程为2s =-0.2 50 20 50 =500(m)二、可分离变量的微分方程案例1 国民生产总值1999年我国的国民生产总值（GDP为80,423亿元，如果我国能保持每年8%勺相对增长率，问至IJ 2010年我国的GD混多少？解：（1）建立微分方程记t=0代表1999年，并设第t年我国的GD斯P（t）.由题意知,从1999年起，P(t)的相对增长率为 8%得微分方程dP(t)-dL =8% P(t)dp(t)8%P(t)dt 一 (),且 P(0) =80,423.(2)求

5、通解分离变量得曲.出p(t)方程两边同时积分,ln P(t) =0.08tln C(3)求特解 将P(0) =80,423.代入通解，得C =80,423，所以从1999年起第t年我国的GDP为P(t) = 80,423e0.08t将t二2010-1999之1代入上式，得2010年我国的GDP勺预测值为 _0,08 11P(11) = 80,423e= 193891,787 (彳乙元)囹案例2落体问题设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比.运动员离塔 时(t=0)的速度为零，求运动员下落过程中速度与时间的函数关系.解：(1)建立微分方程运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力

6、的影响. 重力的大小为mg,方向与速度v的方向一 致；阻力的大小为kv(k为比例系数)，方向与v相反.从而运动员所受的外力为 F =mg -kv,其中m为 运动员的质量,又由牛顿第二定律有F =ma,dva 二其中a为加速度， dt .于是在下落过程中速度v(t)满足微分方程mdv 二 mg.kvdt,初始条件为v(2)求通解方程是一个可分离变量的微分方程.分离变量后，得dt1，、 t 八-ln(mg -kv):一 C1 kmg - kv= C?e mtkC1(其中 C2=e ),mgkCek-1m(其中C2 k).dvmg - kv两端积分得(3)求特解把初始条件vt =0二04 I0代入通

7、解，得c=-mg k于是所求速度与时间的关系为mg v (1k.kt-e m )kt m 一 .由上式可见，当t很大时，e 很小,mg此时v接近于 k .由此可见，跳伞运动员开始跳伞时是加速运动， 以后逐渐接近于匀速运动，其速度为v=mg k .案例3 环境污染问题某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，从时间t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘.流入的速度为2t/min,在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t/min的速度流出水塘.问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到4%?解：(1)建立微分方程 设在时刻t塘中有害物质的含量为 Q0), 此时塘中有害物质的浓度为Qt50000,

8、不妨设单位时间内有害物质的变化量为M单位时间内流出塘的有害物质的量为S2,dQ = M = S1 - S2 dtdQ 5。 Qt c 1 Qt二 2 - 2 二一 一dt1005000010一 25000,初始条件为Q(0) = 0(2)求通解方程是式是可分离变量方程，分离变量得dQ1二dt2500-Q(t)25000,积分，得Q t - 2500 = Ce 25000Q t = 2500 Ce 25000(3)求特解由初始条件t=0, Q =0得C =一2500,故Q(t )=2500 1 -e 25000当塘中有害物质浓度达到4%时，应有Q = 50000父4% = 2000，这时t应满足

9、2000 =2500 1 -et25000lim Q t = 2500t比670.6 (min),即经过670.6 min后，塘中有害物质浓度达到4% ,由于t-c,2500 _5%塘中有害物质的最终浓度为50000囹 案例4 刑事侦察中死亡时间的鉴定 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温 度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定.当一次谋杀发生后，尸35 C,并且假定周围体的温度从原来的37 c按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为空气的温度保持20c不变，试求出尸体温度H随时间t的变化规律.又如果尸体发现时的温度是30 C,时间是下午

10、4点整，那么谋杀是何时发生的?解：(1)建立微分方程dH设尸体的温度为H(t)八从谋杀后计)，根据题意，尸体的冷却速度 dt与尸体温度H和空气温度20之差成正比.即dH菽=-k(H -20)其中k 0是常数，初始条件为H 0 =37(2)求通解分离变量得4 二-kdt H -20积分得_-ktH -20 =Ce(3)求特解把初值条件H(0)=37代入通解，求得C =17.于是该初值问题的解为H =20 17e*t为求出k值，根据两小时后尸体温度为35 c这一条件，有35 = 20 - 17e2求得k定0.063,于是温度函数为H = 20 17eq063t10-0.0631e将H =30代入上

11、式有17,即得t%8.4 (h).于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4h,即8小时24分钟，所以谋杀是在上午 7点36分发生的.囹案例5第二宇宙速度地球对物体的引力 F与物体的质量 m以及物体离地心的距离s间的关系为2f 一 mgs2 ,这里g是重力加速度，R为地球半径.验证：如果物体以v0 -2gR的初速度发射，则永远不会返回地球.解:dv a =(1)建立微分方程 由牛顿第二定律 F =ma,其中 dt ,有l dv dv ds dvF =m一 = m一 一 二 m一 vdtds dt ds ,dv R2 mv = mg 故有 ds s ,初始条件为s = R时，v=v0.

12、(2)求通解 2 -2 1变量分离后为 vdv = -gRs ds 2-2 ,vdv = -gR s ds两边积分”22v gR 八一 二g C得2 sC = - Vo - 2gR（3）求特解把s = R时，v = v0,代入通解得2,/_2 2 2gR 2 v =v0 -2gR 故有s2gR2由此可见，当s很大时，s很小，当v0 -/2gR 时，速度v永远大于0,所以物体永远不会返回 地面.三、一阶线性微分方程案例1溶液的混合一容器内盛有50L的盐水溶液，其中含有 10g的盐.现将每升含盐 2g的溶液以 每分钟5L的速度注入容器，并不断进行搅拌， 使混合液迅速达到均匀，同时混合液以 3L升/

13、min的速度流 出溶液，问在任一时刻 t容器中含盐量是多少？解：（1）建立微分方程设t时刻容器中含盐量为 X克，容器中含盐量的变化率为dxdt =盐流入容器的速度盐流出容器的速度（4.3.1 ）其中，盐流入容器的速度 =2 （克/升）X 5 （升/分）=10（克/分）,3x盐流出容器的速度=50 + 2t （克/升）x 3 （升/分）=50+ 2t （克/分）由式（4.3.1 ）可得卜0-3x50 2tdx 3/c x - 10dt 50 2t由题意知初始条件为x t -0 =10（2）求通解直接应用求一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得一工dt50 2t I0e5032-tdtdt C二(50 2