数学高考导数难题导数零点问题导数新颖整理2017

1、标准文档标准文档含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。(1)因式分解求零点13,1、2例1讨论函数f(x)=-ax (a+)x +2x+1(aw R)的单调区间32解析：即求f(x)的符号问题。由f(x)=ax2 (2a+1)x+2 = (ax1)(x 2)可以因式分方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。x 1312例 4 讨论函数 f (x) =(x a 1)e + x (a+1)x +ax,

2、 aR,的极值情况32解析：f(x) = (xa)ex+x2(a+1)x+a = (xa)(ex+x-1),只能解出f(x)的一个零点为a,其它的零点就是ex +x -1 =0的根，不能解。例5 (2011高考浙江理科)设函数 f (x) = (x -a)2 In x,a w R(i)若x=e为y = f(x)的极值点，求实数 a(n)求实数a的取值范围，使得对任意的xw(0,3e,恒有f(x)M4e2成立(注：e为自然对数)，方法三：锁定区间，设而不求对于例5,也可以直接设函数来求，当0cxM1时，对于任意的实数a,恒有f(x)E04e2成立当1xW3e,由题意，首先有,、22 f. 1 -

3、 2e. 2ea ,、，f (3e) =(3e -a) ln(3e) 4e ,解得 3e,Ma 3e+ t=由 f (x) = (x-a)(2ln x + 1 -一)，但这时. ln(3e)ln(3e)xa会发现f(x)=0的解除了 x=a外还有2ln x+1 - =0的解，显然无法用特殊值猜出。 xa令 h(x) =2ln x +1 一一，注意到 h(1) = 1 - a 0 , xa且 h(3e) = 2ln(3 e) 1 - - - 2ln(3 e) 1 3e、ln(3e)3e=2(ln 3e13.ln(3e)0。故f(x) =0在(1,a)及(1, 3e)至少还有一个零点，又 h(x)

4、在(0, +m)内单调递增，所以函数 h(x)在(1,3e内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为 而，当 xw(0,X0)时，f (x)0;当 xw(x0,a)时，f(x)a ;当 xw(a, y)时，f(x)0,即 f(x)在(0, %)内单调递增，在 (x,a)内单调递减，在 (a,一)内单调递增。所以要使f(x)4e2对x三(1,3e 恒成立，只要r _9 ,9 f(xo) =(x。- a) In x 三 4e ,(1)成乂。f(3e) =(3ea)2ln(3e) 1 ,注意到函 x。数x2 ln3 x在1,+ 8)内单调递增，故1 x0 W e

5、。再由(3)以及函数 2xln x + x在(1.+ + 8)内单调递增，可得2e2e2e1 Ya W3e。由(2)解得，3e-a 3e + . o所以3e- ,= a三3e综上，a的取值范围为,ln(3e), ln(3e), ln(3e)2e3e - ,a 3e o,ln(3e)例6已知函数f (x) = ax+ x ln | x+b |是奇函数，且图像在 (e, f (e) (e为自然对数的底数)处的切线斜率为3(1) 求a,b的值(2) 若k w Z ,且k 上区对任意xa1恒成立，求k的最大值。x -12例7(2009局考全国n理科)设函数 f(x)=x+aIn(1十x)有两个极值点x

6、1、x2,1 -2In2且x1 1，4方法四：避开求值，等价替换。对于有些函数的零点问题，可能用方法一、二、三都无法解决，这是我们可以考虑回避求其零点。避开方法：放缩不等式例 8 设函数 f (x) =ex -1 -x -ax2(i)若a=0,求f(x)的单调区间(n)若当x0B1 f (x)之Q求a的取值范围。与例8类似，下面的2010高考全国n理科的最后一题，也是这样的处理方法。设函数f x =1-e.x(I)证明：当x-1时，f(x心x 1.x(n)设当x之0时，f (x ，求a的取值范围.ax 1例1、已知函数，）=111为常数）是实数集R上的奇函数,函数g（X）=；|/（盯十通工是区

7、间LL 1卜的减函效.（弧的值Ui若g（x）七/一川+ 1在*E L 1上恒成立，求t的取值范围一ni）讨论关于a的方程生 =/-2郎.的根的个数. fW变式1、若双工）二6111工+利问是否存在实数m,使得产f ix） =-/+附的图象与y=g x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的迫：若不存在，说明理曲变式2、已先函数1AM尸一一 +耻=6lnt+E（17求汉H在区间炉1上的最大使班让【II）铉否存在突数用，空得3弓代）的图象与=烈刈的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出揖的 取值范国；，若不存在r说明理由，例2、己知函物Rk）”/4工】一3k在x=l处取得极值一C I）求

8、函数式动的解析式；（II）求证：对于区间1, 1上任意两个自变量的值K1，K”都有网肛）一敢谢W4；（KD若过点A （1T m） （m-2）可作曲线产取）的三条切线，求实数m的取值范围.实用文案变式4.己知函数工）=61nx 公工8工十8g加为常数），且丫 二 3为外出的一个极值点一（I ）求为（11）求函数/（工）的单调区间事m）若y二/（t）的图象与工釉有且只有3个交点，求力的取值范围，例4,己知函数/00 = 1口、 I ）若F）=/+飞0,求尸（戈）的极大值； X 0）.函数y=g 9 的图像与戈轴有两个交点，其交点演坐标分别为/式/!毛）门）试证 y=/）在一1, 1）上是单调函数C

9、2）当时r设%3，也是方程m二一也=0的两实根，且马 工，试判断三,戈3，-七的 大小关系变式6.设函数二后.耐_工其中用毛艮（1）求函数的最值;C）判断，当汨：1时r函数/（好在区间（矶2州）内是否存在零点.例1设函数/= ，-小此一求实数的取值 范围，使得对任意的位:H,恒有/W4百成立.例2设函数/( =-(I)讨论/(1)的导函数尸(动的零点的个数;(2)证明：当“0时./(6二2HMit4例3 设函数/=一* - 1) - id.若当/r。0时. /0,求的取值范围.例4 已知函数/(x) = in1(l求函数I +#/的极值.例5已知国敬工厂见* U*耕t二271828- 是自然对

10、裁的底数).曲线1乎X)在点(1JU)处的切 线与1轴平行.(1)求&的值;(2)求/国的单调区间：(3)设#)=(/+*)/,其中f妆)是/的导数. 证明：对任意工 0 . g(x) 1时，恒有 x - 2aln x +.例2 (2008年湖南高考题)已知函数fM+#) /二,求函数/(#)的单调I + x区间.例3 已知函数/(工)=ax7 + 2x( a # 0) .晨x) = In#,是否存在实数口 , 0,使得方 程号2 金/ - (2 + 1)在区间内 有且只有两个不相等的实数根?若存在，求出 口的取值范围?若不存在，请说明理由.例4已知函数八切=m + &(。在R), Xg(G

11、= ln&若关于圈的方程晔 =/(x)-X2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根，求 的值,例6 （2010年海南与宁夏高考题）若Vn。0,/ 1 + + 求a的取值范围.例1 （2013年江苏省高考理科第20题第 （II ）题）设函数“1）= nx ax .g（ a- ） = ax .其中a为实数.（）若人）在（1*8）上是单调减函数,口 gG在（1.+8 ）上有最小值，求的取假范围f）若小、）在（一1 , + 8）卜一是单调增函 数.试求心）的零点个数.并证明你的结论.例2 （2013年陕西省高考理科笫21题第）题）已知函数/（a）= / .工e R.（I ）若宜线1=kx + 1与八X

12、 ）的反函数的图 象相切，求实数*的值：）设工0.讨论曲线y= fix）与|111线T =储，（用 0 ）公共点的个数.（111）设 鼠比较咤/与叫:3的大小，井说明理由b - a例3 （2013年广东省高考理科第21题第（11 ） 题）设函数/（比）= （x 1） * eJ kx .k R.（I）当*= in寸,求函数八工）的单调区间？）当LG（31.求函数/（I）在0 5上的最大值例5 （2013年安徽省高考理科第20题）设函数#(#)=一1L#g_ra2*( .Y GnW V 3证明：（I）对每个 E N,存在唯一的切 .1 .满足八（.Tn ） = 0 ：（11 ）对任意p G N .

13、山（1）中工”构成的数列 x 满足。V Kh 一工+ 0，存在唯一的s,使t =仆）.an ）设。1）中所确定的s关于i的函数为$ = 虱）.i正明:当t e时，有= 呼3 V .o In/ -例7 （2013年陕西省高考理科第21题第 （111）题改编）已知函数/LC= / .工6 R.对于给定的arb（a 中 .b - a例3 （2014年辽宁卷）已知函数真）=8（cos 4一式）（加 + 2工）一于（Mn 土 + 1） *国（3）= 3（x - it）cos x - 4（ 1 + &in x） In（3 - 2）求 证：存在唯一痂手卜使/（软）=0;（2）存在唯一/e （手e）,使双七）= 。，且对（1）中的事+孙 京例4 （2014年山东卷）设函数-4 R-正伶+ 1口小人为常数,e = 2, 718 28 是 自然对数的底数）.（1）当* W0时求函数/（4）的单调区间;（2）若函数人工）在（0,2）内存在两个极 值点，求儿的取值范围.例5 （2012年山东卷）已知函数/（G =为常数，*=2.718 28是自熬对数的底数），曲线y 二以冗）在点（1 J（1）处的 切线与需轴平行.（1）求&的值；（2）求的单调区间；（3）设式工）=妙（），其中广Q）为的导函数，证明:对任意戴0,式工） 1例7若实数满足等式工+ +k明? - / - / =